Hình học 9 - Ôn tập phần đường tròn

Bài tập Hình tổng hợp
I/ Nhắc lại một số định lí liên quan đến đường tròn: 
1.Tam giác vuông:
a/Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy
b/ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
c/ Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tamgiác vuông.
2. Tính chất đối xứng:
a/Trong một đường tròn,đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b/ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.
c/Trong một đường tròn,đường kính vuông góc với một dây và đi qua trung điểm của dây ấy thì đi qua điểm chính giữa của cung. 
d/Trong một đường tròn,đường kính đi qua trung điểm của dây và đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với một dây ấy.
e/Trong một đường tròn,đường kính đi qua điểm chính giữa của cung và vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
3. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đường tròn:
a/ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b/ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
c/ Dây nào lớn hơn thì dâyđó gần tâm hơn.
d/ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn 
4. Tiếp tuyến của đường tròn:
a/ Nếu một đường thẳng mà vuông góc tại đầu mút của bán kính thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
b/ Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
*Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
*Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến 
*Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
* Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là trục đối xứng của dây nối hai tiếp điểm.
5. Đường nối tâm:
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
6.Quan hệ giữa dây và cung:
a/Trong một đương tròn hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau 
b/ Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
* Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
* Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
* Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
* Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
7. Góc nội tiếp :
a/ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
b/ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm
c/ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
d/ Các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. 
e/ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
f/ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
8.Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
* Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn
* Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
9.Góc có đỉnh trong đường tròn: 
Góc có đỉnh trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
10.Góc có đỉnh ngoài đường tròn:
Góc có đỉnh ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
11.Tứ giác nội tiếp: 
*Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 1800.
*Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp trong đường tròn.
* Tứ giác có các đỉnh nằm trên đường tròn thì tứ giác đó nội tiếp.
II. bài tập luyện tập:
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). 
Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. 
Chứng minh:
1/Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2/Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh éCOD = 900.
Chứng minh OC // BM
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Chứng minh MN ^ AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5 
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Bài 6 
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Bài 7 
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
Chứng minh BM // OP.
Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
Bài 8 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
Bài 9 
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
Chứng minh é ABD = é DFB.
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB.
Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn
Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân.
Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn .