Một số bài tập Hình học 9 điển hình

Một số bài tập hình học 9 điển hình
(Dùng cho ôn tập HKIi và ôn thi vào 10)
Người sưu tầm: Nguyễn Đức kiên- THCS minh tân-tn-hp
Bài 1: (95/sgk/105)
Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H ( goác C khác 900) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE	b) Tam giác BDH cân	c) CD = CH
Bài 2: (96/sgk/105) 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
OM đi qua trung điểm dây BC
AM là tia phân giác của góc OAH
Bài 3: (97/sgk/105) 
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đtr đkinh MC. Kẻ BM cắt đtr tại D. Đường thẳng DA cắt đtr tại S. Chứng minh rằng:
ABDC là tứ giác nội tiếp b)
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC, điểm A thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng một phía với điểm A đối với BC các nửa đtr (I ), ( K ) có đường kính theo thứ tự là HB, HC, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E.
Tứ giác ADHE là hình gì?
C/m tứ giác BDEC nội tiếp được
C/mr: DE là tiếp tuyến chung của hai đtr (I) và (K)
Tính diện tích hình giới hạn bởi 3 nửa đtr biết HB = 10cm; HC = 40cm.
Bài 5.Từ một điểm A ở bên ngoài đtr (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đtr. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đtr tại điểm N. Tia AN cắt đtr tại điểm D.
CMR: MB2=MC.MN
CMR: AB//CD
Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích của hình thoi đó.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AC< AB), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD)
CMR: AHEC là tứ giác nội tiếp
CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC
CMR: CH là tia phân giác của góc ACE
Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đtr nói trên biết AC = 6cm, góc ACB = 300.
Bài 7: Thi vào THPT năm 2009-2010
           Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Một đường trũn (O) đi qua B và C cắt cỏc cạnh AB, AC của tam  giỏc ABC lần lượt tại D và E  (BC khụng là đường kớnh của (O)). Đường cao AH của tam giỏc ABC cắt DE tại K.
1.      Chứng minh 
2.      Chứng minh K là trung điểm của DE.
3.      Trường hợp K là trung điểm AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường trũn đường kớnh BH và đường trũn đường kớnh CH.
Bài 8: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp được.
b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đường tròn cố định.
Bài 9: Cho D ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ AC, Cx là tia qua M.
a) Chứng minh: MA là tia phân giác của góc tia BMx.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Trên tia đói của tia MB lấy MH = MC. Chứng minh: MD // CH. 
c) Gọi K và I theo thứ tự là trung điểm của CH và BC. Tìm điểm cách đều bốn điểm A, I, C, K.
Khi M chuyển động trên cung nhỏ AC, tìm tập hợp các trung điểm E của BM.
Bài 10: Cho D ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì ? tại sao?
b) Kéo dài đường cao CH của D ABC cắt BD tại E. Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đường tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đường tròn. 
c) Các đường thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác àGM là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh: D MBG cân.
Bài 11: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đường tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tương ứng là B, C. Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt đường tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng
a) AMON là hình chữ nhật
b) MN // BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp được trong đường tròn.
d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 12: Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d ở ngoài đường tròn. Kẻ OA ^ d. Từ một điểm M di động trên d người ta kẻ các tiếp tuyến MP1, MP2 với đường tròn, P1P2 cắt OM, OA lần lượt tại N và B
a) Chứng minh: OA. OB = OM. ON
b) Gọi I, J là giao điểm của đường thẳng OM với cung nhỏ P1P2 và cung lớn P1P2. 
c) Chứng minh: I là tâm đườngtròn nội tiếp D MP1P2 và P1J là tia phân giác góc ngoài của góc MP1P2.
d) Chứng minh rằng: Khi M di động trên d thì P1P2 luôn đi qua một điểm cố định.
Tìm tập hợp điểm N khi M di động.
Bài 13: Cho nửa đường tròn đường tròn đường kính AB = 2R, góc vuông xOy cắt nửa đường tròn tại hai điểm C và D sao cho ; E là điểm đối xứng của A qua Ox.
a) Chứng minh: Điểm E thuộc nửa đường tròn (O) và E là điểm đối xứng với B qua Oy
b) Qua E vẽ tiếp tuyến của nửa đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt các đường thẳng OC, OD thứ tự tại M và N.
Chứng minh : AM, BN là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
c)Tìm tập hợp điểm N khi M di động.
Bài 14: Xét D ABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cát nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A lần lượt cắt hai đường tròn nói trên tại M, N. 
a) Chứng minh: H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì? Tại sao?
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn.
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất. 
Bài 15: Xét đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và C là một điểm bất kì nằm giữa Avà B. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh: MA2 = MC. MD
b) Chứng minh: MB. BD = BC. MD
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. 
d) Chứng minh khi M di động trên AB thì các đường tròn (O1), (O2) ngoại tiếp các tam giác BCD và ACD có tổng bán kính không đổi.
Bài 16: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn.
Bài 17:( Đề thi tốt nghiệp năm học 1999 – 2000).
Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đưởng tròn.
a) C/m : Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đường tròn.
b) C/m : góc AOC bằng góc BIC
c) C/m : BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 18: 
Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp 
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành
Bài 19: Cho đường tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO ; OM tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
b) Chứng minh SA2 = SD. SC. 
c) Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA.
Bài 20: 
Cho đường tròn (0) bán kính R, một dây AB cố định ( AB < 2R) và một điểm M bất kỳ trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của dây AB và (0’) là đường tròn qua M tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (0) và (0’) thứ tự tại N, P.
a) Chứng minh : IA2 = IP . IM
b) Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP.
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một cung tròn cố định.
Bài 21: 
Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM ( K khác M và B ). AK cắt MO tại I.
Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp được trong một đường tròn.
Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : 
a)Tứ giác AMHO nội tiếp .
b)Tam giác HMK là tam giác gì ?
c) Chứng minh : OH là phân giác của góc MOK.
d) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB)
Bài 22: ( Đề thi tuyển vào trường Hà Nội – Amsterdam năm học 97 – 98)
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C cắt đường tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh: các tam giác EBF, DAF cân.
b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.
Bài 23: 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I. 
Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được
a) Chứng minh: IK // AB.
b) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp được
c) Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC
d) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
Bài 24 
	Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đường thẳng EC , DF cắt nhau tại P .
Chứng minh rằng : BE = BF .
Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF .
Tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn khi AB = R .
Bài 25 
	 Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC lấy 1 điểm M . Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn đường kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E . 
a) Chứng minh E, N , C thẳng hàng .
b) Gọi F là giao điểm của BN và DC . Chứng minh 
c) Chứng minh rằng MF vuông góc với AC .
Bài 26 
	 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N .
a) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
b) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
c) Tứ giác CMIN là hình gì ? 
Bài 27 
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Kẻ đường cao AH , gọi trung điểm của AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đường kính AD .
a)Chứng minh rằng MN vuông góc với HE .
b) Chứng minh N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF .
Bài 28 
	 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F .
a)Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
b)Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .
c)Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
Bài 29: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 
	1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 
	2) Chứng minh 
	3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . 
Bài 30 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : 
	a) CEFD là tứ giác nội tiếp . 	b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 	
 c) BE . DN = EN . BD 
Bài 31
Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M ạ B ; M ạ C ) . Gọi D , E , F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 
1) Chứng minh : 
	a) MECF là tứ giác nội tiếp . 
	b) MF vuông góc với HK . 
2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . 
Danh ngôn
“Ngu dốt khụng đỏng thẹn bằng thiếu ý chớ học hỏi”
B.Franklin
“Cỏc yếu tố của nghệ thuật học tập là ý chớ,  trật tự và thời gian”
M. Prộvost
“Cú 3 thứ ngu dốt: khụng biết những gỡ mỡnh cần biết, khụng rành những gỡ mỡnh biết và biết những gỡ mỡnh khụng cần biết”
La Rochefoucould