Một số dạng toán thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính điện tử casio”

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
“GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”
	Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính điện tử Casio”. Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở mỗi tỉnh gồm 5 thí sinh. Những thí sinh đạt giải được cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được bảo lưu kết quả trong suốt cấp học. Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài 5 điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm trong 150 phút.
	Quy định: Thí sinh tham dự chỉ được dùng một trong bốn loại máy tính (đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép sử dụng trong trường phổ thông) là Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS.
	@ Yêu cầu các em trong đội tuyển của trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên chỉ sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS. 
	@ Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các ví dụ và bài tập của tài liệu phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính. 
	@ Các dạng toán sau đây có sử dụng tài liệu của TS.Tạ Duy Phượng – Viện toán học và một số bài tập được trích từ các đề thi (đề thi khu vực, đề thi các tỉnh, các huyện trong tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ 2.
A. SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
I. Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH 
	Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian. Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ của máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ.
Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: 
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e.Tìm x biết: 
	f. Tìm y biết: 
Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a. 
b. 
Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị)
a. Tìm 12% của biết: 
b. Tính 2,5% của 
c. Tính 7,5% của 
d. Tìm x, nếu: 
Thực hiện các phép tính:
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
k. 
Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính:
a. 
b. 
Bài 5: (Thi khu vực 2001)
a. Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: 
b. Tính giá trị của biểu thức sau: 
c. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Nhận xét: @ Dạng bài kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này. Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện. Để tránh vấn đề này yêu cầu trước khi dùng máy tính để tính cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ.
	Ví dụ: Tính T = 
Dùng máy tính trực tiếp cho kết quả là: 9,999999971 x 1026
Biến đổi: T=, 
	Dùng máy tính tính =999 999 999
	Vậy 
	Như vậy thay vì kết qủa nhận được là một số nguyên thì thế trực tiếp vào máy tính ta nhận được kết quả là số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số của a).
	@ Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, trong các kỳ thi cấp khu vực dạng này chiếm khoảng 20% - 40%.
	@ Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862;  thí sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó.
II. Dạng 2: ĐA THỨC
Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức 
	Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
	Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
	Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
	Giải trên máy: 	- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: 	@ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
	Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
	@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
	Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= 
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6.
- Giải - 
Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
	Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
	Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. 
Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét: 	@ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, .
	@ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. 
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9) 
a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
a. Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính Q(10), Q(11), Q(12),  ... 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010n2010) sao cho cũng là số tự nhiên.
-- Giải --
Vì 1010 n 2010 nên 203,5 » an » 249,82. 
Vì an nguyên nên 204 n 249. Ta có an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n.
Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n).
Do đó, chia hết cho 7.
Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7. Vậy an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1.
* Nếu an = 7k – 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,42 k 35,7. Do k nguyên nên . Vì chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 32; 33; 35. Ta có:
k
30
32
33
35
n
1118
1406
1557
1873
an
209
223
230
244
k
30
32
33
35
n
1118
1406
1557
1873
an
209
223
230
244
* Nếu an = 7k + 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,14 k 35,57. Do k nguyên nên . Vì chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 31; 33; 34. Ta có:
Như vậy ta có tất cả 8 đáp số.
Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993
-- Giải --
Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.
Từ đó ta có quy luật: 
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị) 
a. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều bằng 1, tức là n3 = .
b. Tìm số tự nhiên n sao cho (1000 n 2000) sao cho là số tự nhiên.
c. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 = , các dấu * ở vị trí khác nhau có thể là các số khác nhau.
d. Tìm tất cả các số n có ba chữ số sao cho n69 = , n121 = 
Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)
a. Tìm các chữ số a, b, c để ta có: 
b. Tìm các số có không quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng lên gấp 5 lần.
c. Hãy tìm 5 chữ số cuối cùng của số (Số Fecma thứ 24)
d. Giải phương trình x2 – 2003+ 2002 = 0 với là phần nguyên của x.
Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư khi chia 20012010 cho số 2003.
Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10) 
a. Tìm các ước số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142.
b. Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng chia hết cho 7.
Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 312 – 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó?
Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN của hai số sau: a = 24614205; b = 10719433.
Bài 7: Kiểm nghiệm trên máy tính các số dạng 10n + 1 là hợp số với n = 3, , 10. Chứng minh rằng, số dạng 10n + 1 có thể là số nguyên tố chỉ khi n có dạng n = 2p. (Giả thiết: 10n + 1 là số nguyên tố khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2).
Bài 8: Tìm tất cả các cặp số và sao cho khi đổi ngược hai số đó thì tích không đổi, tức là: (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504)
Bài 9: Tìm phân số xấp xỉ tốt nhất là nhỏ nhất), trong đó m, n là số có hai chữ số.
Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 8040) sao cho an = cũng là số tự nhiên.
a. an phải nằm trong khoảng nào?
b. Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau: an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1 (với kN)
Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 +  + a100 và . Tính k?
Nhận xét: 	@ Dạng bài này thực chất là bài thi học sinh giỏi toán, nó nâng cao ý nghĩa của mục đích đưa máy tính vào trường phổ thông, phù hợp với nội dung toán SGK đổi mới. Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới những giải thuyết, những quy luật toán học, những nghiên cứu toán học nghiêm túc.
	@ Trong các kỳ thi tỉnh dạng bài này chiếm khoảng 20% - 40%, các kỳ thi khu vực khoảng 40% - 60% số điểm bài thi. Có thể nói dạng toán này quyết định các thí sinh tham dự kỳ thi có đạt được giải hay không. Như vậy, yêu cầu đặt ra là phải giỏi toán trước, rồi mới giỏi tính. 
	@ Hiện nay, đa số thí sinh có mặt trong đội tuyển, cũng như phụ huynh nhận định chưa chính xác quan điểm về môn thi này, thường đánh giá thấp hơn môn toán (thậm chí coi môn thi này là một môn học không chính thức, chỉ mang tính chất hình thức “thử cho biết”) nhưng thực tế hầu hết các thí sinh đạt giải là các thí sinh hoàn thành được các bài tập dạng này. Trong khi xu hướng của toán học hiện đại là kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học và máy tính điện tử (vi tính), ngay cả trong chương trình học chính khóa, SGK luôn có bài tập về sử dụng máy tính điện tử. 
IX. Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó (nghiệm thường là những số thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng trong cuộc sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên chỉ là hữu hạn mà thôi. 
Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = 0 có nghiệm trong .
Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1). Lấy một giá trị x1 (đủ lớn) nào đó tùy ý trong khoảng nghiệm . Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1)	(2). Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), , cứ tiếp tục như vậy cho đến bước n + 1 mà sao cho các giá trị liên tiếp  = xn-1 = xn = xn+1 thì giá trị x đó là nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x16 + x – 8 = 0.
-- Giải --
Ta có: x16 + x – 8 = 0 x = . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 
Ấn các phím: 2 
	Kết quả: 1,128022103
Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng 
-- Giải --
Ta có: x = 1 + . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 1 + 
Ấn các phím: 2
	Kết quả: 2,618033989
Nhận xét: 	@ Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, xét về cách làm tương đối đơn giản, chỉ cần thay những vị trí có x trong g(x) bằng biến nhớ Ans, sau khi ấn phím giá trị kế tiếp theo lại được thay thế vào g(x). Nhưng đây là dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý do là cách biến đổi để nhận được biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức g(x) càng phức tạp thì sai số càng lớn dẫn đến những đáp số không chính xác, có trường hợp do chọn biểu thức x = g(x) khi thực hiện phép lặp làm tràn bộ nhớ máy tính hoặc quá tải.
	Ví dụ: Ở ví dụ 1 nếu biến đổi x = 8 – x16, cho x = 2 là giá trị ban đầu thì sau ba lần thực hiện phép lặp máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR. Ở ví dụ 2, nếu biến đổi và chọn x = 2 là giá trị ban đầu thì có hai nghiệm 0 và 1 nhưng đều là số nguyên, còn nếu chọn x = 15 thì sau một số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR. Nhưng x = 1 + thì x ban đầu lớn bao nhiêu máy vẫn cho nghiệm là 2,618033989 sau một số lần lặp và hiển nhiên không thể chọn x ban đầu là âm được.
	@ Như vậy khi dùng phép lặp để tìm một nghiệm gần đúng của x = g(x), việc hội tụ của dãy (các giá trị x1 > x2 > > xn-1 = xn = xn+1)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ của hàm x = g(x) và giá trị ban đầu x1 trên đoạn chứa nghiệm có thỏa mãn thì mới có kết quả. Một phường trình đa thức có thể tìm được nhiều nghiệm gần đúng, do đó khi làm bài cần ghi rõ là dùng phép lặp nào và cẩn thận biến đổi các hàm x = g(x) cho phù hợp.
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
X. Dạng 10: THỐNG KÊ MỘT BIẾN
	Đây là một dạng toán cơ bản được nói đến rất nhiều trong cách sách tham khảo. Yêu cầu các thành viên trong đội tuyển tự nghiên cứu về phương pháp giải dạng toán này và các vấn đề có liên quan đến bộ nhớ máy tính khi giải dạng toán này.
Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm mỗi lần bắn và số lần bắn theo bảng sau:
Điểm số
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42
14
15
4
Hãy tính ?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Đọc các số liệu
	(= 8,69)
	()
	()
	()
	()
Chú ý: - Trước khi nhập một bài toán thống kê khác nên xóa dữ liệu cũ trong máy.
	- Nếu số liệu cho chưa được lập dưới dạng bảng tần số cần lập bảng tần số mới giải.
	- Không để máy nhận những số liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy.
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
XI. Dạng 11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN
	Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
-- Giải --
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy A = a(1 + r)n	(*)
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
1) ; 2); 3) ; 4) 
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phímấn trực tiếp)
Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
-- Giải --
Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 61 328 699, 87
Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
-- Giải --
Số tháng tối thiểu phải gửi là: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 27,0015 tháng
Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng.
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là 28 tháng)
Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
-- Giải --
Lãi suất hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 0,7%
Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
--Giải--
Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:	
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 6028055,598
Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
-- Giải --
Số tiền gửi hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 9674911,478