Một số dạng toán thi vào THPT

Mot so dang toan thi vao THPT
D¹ng 1: To¸n t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh nguyªn
VÝ dô 1Cho biÓu thøc: 
a, Rót gän
b, T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña a ®Ó M nguyªn
 Gi¶i
a, Rót gän 
 M = 	
b, §Ó M nguyªn th× a-1 ph¶i lµ ­íc cña 2
a – 1 = 1 => a = 2
a – 1 = -1 => a = 0 ( lo¹i )
a – 1 = 2 => a = 3
a – 1 = -2 => a = -1 ( lo¹i )
VËy M nguyªn khi a = 2 hoÆc a = 3
2, VÝ dô 2:
 Cho biÓu thøc: 
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn 
 Gi¶i
§Ó A nguyªn th× a – 1 lµ ­íc cña 2
Tæng qu¸t : §Ó gi¶i to¸n t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc nguyªn ta lµm theo c¸c b­íc sau:
 B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn
 B­íc 2: Rót gän vÒ d¹ng 
 NÕu th× f(x) lµ béi cña a
 NÕu th× f(x) lµ ­íc cña a
 B­íc 3: C¨n cø vµo ®iÒu kiÖn lo¹i nh÷ng gi¸ trÞ ngo¹i lai
D¹ng 6: To¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa c¨n nhiÒu tÇng
VÝ dô : TÝnh 
Ta cã : 
D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh v« tû
I.§Þnh nghÜa : Ph­¬ng tr×nh v« tû lµ ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë biÓu thøc d­íi c¨n bËc hai .
II. C¸ch gi¶i: 
C¸ch 1: §Ó khö c¨n ta b×nh ph­¬ng hai vÕ
C¸ch 2: §Æt Èn phô 
III. VÝ dô 
1,VÝ dô 1:
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
C¸ch 1: B×nh ph­¬ng hai vÕ
	x – 5 = x2 – 14x + 49
	x2 – 14x – x + 49 + 5 = 0
	x2 – 15x + 54 = 0
	x1 = 6 ; x2 = 9 
L­u ý : 
* NhËn ®Þnh kÕt qu¶ : x1 = 6 lo¹i v× thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm . VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 9
* Cã thÓ ®Æt ®iÒu kiÖn ph­¬ng tr×nh tr­íc khi gi¶i : §Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× :
kÕt hîp
Sau khi gi¶i ta lo¹i ®iÒu kiÖn kh«ng thÝch hîp 
C¸ch 2 §Æt Èn phô 
§­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng : 
§Æt ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 
y = y2 – 2 
y2 – y – 2 = 0 
Gi¶i ta ®­îc y1 = - 1 ( lo¹i) y2=2
2, VÝ dô 2:
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 Gi¶i: 
§Æt ®iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa:
Chó ý : Kh«ng nªn b×nh ph­¬ng hai vÕ ngay v× sÏ phøc t¹p h¬n mµ ta nªn chuyÓn vÕ.
B×nh ph­¬ng hai vÕ ta ®­îc :
B×nh ph­¬ng hai vÕ (x + 1) 2 = 4( x+ 1)
	x2- 2x – 3 =0 cã nghiÖm x1 = -1; x2 = 3
C¶ hai gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
D¹ng 3: Ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VÝ dô.
1, VÝ dô 1:
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 §Æt ®iÒu kiÖn 
* NÕu 2x + 1 ≥ 0 ta cã ph­¬ng tr×nh x2 – ( 2x + 1 ) + 2 = 0
	x2 – 2x – 1 + 2 = 0
	x2 – 2x +1 = 0
=> x1 = x2 = 1
* NÕu 2x + 1 ≤ 0 ta cã ph­¬ng tr×nh x2 – ( -2x -1 ) + 2 =0
	x2 + 2x + 3 = 0
	Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm 
VËy ph­¬ng tr×nh ( 1) cã nghiÖm x= 1
2, VÝ dô 2: 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
( §Ò thi häc sinh giái líp 7 1999 – 2000)
3, VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
D¹ng 3 : HÖ ph­¬ng tr×nh
C¸ch gi¶I mét sè hÖ ph­¬ng tr×nh phøc t¹p
1, VÝ dô 1: 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
 Gi¶i :
 §Æt Èn phô : 
Ta cã hÖ : 
2, VÝ dô 2:
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
3, VÝ dô 3: 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 
H­íng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)
4, VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
H­íng dÉn: Nh©n (1) víi 4 råi trõ cho (2)
=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
 x2 – 4x + y2 -4y + z2 - 4z + 12 = 0
 ( x2 – 4x + 4 ) + ( y 2 – 4y + 4 ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0
 ( x – 2 )2 + ( y – 2 )2 + ( z – 2 )2 = 0 
=> x = y = z = 2
5, VÝ dô 5: 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
	 ( §Ò thi vµo 10 n¨m 1998 – 1999)
6, VÝ dô 6: 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :
	 ( §Ò thi vµo 10 n¨m 2002 – 2003 )
D¹ng 4: To¸n cùc trÞ
1.VÝ dô 1: 
 Cho biÓu thøc: 
Rót gän A.
Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhá nhÊt.
 Gi¶i: 
a. Rót gän ®­îc: 
b. A nhá nhÊt nÕu mÉu lµ lín nhÊt
Gäi ta cã K(1- K) = -K2+ K
	-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)
	 = -[(K-1/4)2 – 1/4] 
MÉu nµy lín nhÊt khi: -[(K-1/4)2- 1/4] lµ nhá nhÊt
Vµ nã nhá nhÊt khi: K= 1/4
	Hay 
=>A nhá nhÊt =4
2.VÝ dô 2:
 Cho biÓu thøc: 
a, Rót gän
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M vµ gi¸ trÞ t­¬ng øng cña x
3. VÝ dô 3:
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 
 Gi¶i:
 Ta nhËn thÊy x = 0 => M = 0. VËy M lín nhÊt x≠ 0.
Chia c¶ tö vµ mÉu cho x2
	 VËy M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt
	MÉu nhá nhÊt khi nhá nhÊt
	 VËy nhá nhÊt x =1
VËy 
4.VÝ dô 4: 
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
 Gi¶i: 
	BiÕt r»ng |A| + |B| ≥|A + B|
VËy Y nhá nhÊt lµ 2 khi 
D¹ng 5: To¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa c¨n nhiÒu tÇng
VÝ dô : TÝnh 
Ta cã : 
Lo¹i 7: BiÖn luËn ph­¬ng tr×nh
1.VÝ dô 1: 
 Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – ( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x lµ Èn ) 
a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi 
b, T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c, Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm ph­¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ m ®Ó :
 x1( 1 – 2x2 ) + x2( 1 – 2x1 ) = m2 
 Gi¶i
a, Thay vµo ta cã ph­¬ng tr×nh :
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :
b, Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi x1x2 =
hay a.c < 0 
1(m + 1) < 0
m < -1
c, x1( 1 – 2x2) + x2 ( 1 – 2x1) = m2 
Theo viet ta cã : 
Thay vµo (*) ta cã :
2(m + 2 ) – 4 ( m + 1 ) = m2
2m + 4 – 4m – 4 = m2
m2 + 2m = 0
m ( m + 2 ) = 0
2.VÝ dô 2: 
Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1, Ch­ng tá ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm víi mäi m
2, §Æt 
a. Chøng minh A = 8m2 – 18m + 9
b. T×m m sao cho A = 27
3, T×m m sao cho nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia
	Gi¶i
1. XÐt 
=> Ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m
a. = 
Theo viet ta cã : => ®iÒu ph¶i chøng minh
b, T×m m ®Ó A = 27 chÝnh lµ gi¶I ph­¬ng tr×nh
	8m2 – 18m + 9 = 27
	8m2 – 18m – 18 = 0 
	4m2 – 9m – 9 = 0
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m1 = 3 , m2 = -3/4
2.T×m m ®Ó x1 = 2x2
Theo viet ta cã : x1 + x2 = -b/a = 2m
Hay 2x2 + x2 = 2m
	3x2 = 2m
x2 = 2m/3
x1 = 4m/3
Theo viet:
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m1 = 3/2; m2 = 3/4
VÝ dô : §Ò 8 ( trang 91)
	§Ò 17 ( trang 121)
	§Ò 18 ( trang 124)
H­íng dÉn gi¶i c¸c ®Ò thi vµo 10
phÇn h×nh häc
§Ò 1 ( §Ò thi vµo líp 10 n¨m 2000 – 2001)
 GT
®Òu ; 
OB = OC
 KL
a, ®ång d¹ng víi 
BC2 = 4BM
b, MO lµ tia ph©n gi¸c 
c, §­êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi ®­êng trßn cè ®Þnh khi quay O
 Gi¶i
a, Trong cã 
	=> ( v× 
V× 
V× ®Òu 
Tõ (1) vµ (2) => ®ång d¹ng víi 
=>
b, Ta cã 
	mµ 
=> ®ång d¹ng víi 
=> CM lµ tia ph©n gi¸c cña 
c, ThËt vËy khi quay tíi vÞ trÝ ( h×nh vÏ ®á ) lóc ®ã M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC 
®­êng cao AO ┴ MN t¹i H vµ HO = 1/2AO
Nh­ vËy ®­êng trßn cè ®Þnh ®ã cã t©m t¹i O , b¸n kÝnh b»ng AO/2
§Ò 2 ( §Ò thi vµo líp 10 n¨m 2002 – 2003 )
1, Chøng minh AC // MO
ThËy vËy c©n t¹i O 
 ( hai gãc ë ®¸y )
Theo chøng minh tÝnh chÊt 2 cña tiÕp tuyÕn th× 
Theo ®Þnh lÝ 7 (gãc ngoµi b»ng tæng hai gãc trong) 
Hay AC // MO
2, Chøng minh 5 ®iÓm M, B, O, A, D cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 
* XÐt tø gi¸c MBOA cã 
=> MBOA néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh MO
* XÐt tø gi¸c MDAO 
Trong ( tæng hai gãc nhän trong tam gi¸c vu«ng )
Trong 
Theo chøng minh trªn : 
Trong tøc gi¸c MDAO cã D vµ M nh×n AO ®­íi gãc b»ng nhau α0 
VËy M, D thuéc cung AO chøa gãc α0 
Hay MDAO néi tiÕp 
Ta l¹i cã => MO lµ ®­êng kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 
VËy 5 ®iÓm M, B, O, A, D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh MO
3, T×m M trªn d ®Ó ®Òu , h·y chØ ra c¸ch x¸c ®Þnh M.
ThËy vËy ®Ó AOC lµ tam gi¸c ®Òu nghÜa lµ 
§Ó x¸c ®Þnh M tõ O quay mét cung cã b¸n kÝnh b»ng 2R c¾t d t¹i M .
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nãi trªn.
§Ò 3 ( §Ò thi vµo 10 n¨m 1998 - 1999 )
a, AE lµ ph©n gi¸c cña 
ThËt vËy BC ┴ EOF => 
( gãc néi tiÕp ch¾n hai cung nhau )
=>AE lµ ph©n gi¸c cña 
b, BD // AE
 c©n t¹i A =>
c, NÕu I lµ trung ®iÓm cña BC => 
Ta l¹i cã ( gãc néi tiÕp ch¾n ®­êng trßn)
Tõ (1) (2) =>
=>I, A, F th¼ng hµng 
§Ò 4 ( §Ò 3 trong bé ®Ò «n vµo 10 )
 a, Chøng minh tam gi¸c POQ vu«ng 
XÐt theo chøng minh tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn ta cã 
=>OP lµ ph©n gi¸c cña 
=> OQ lµ ph©n gi¸c cña 
Mµ lµ 2 gãc kÒ bï do ®ã t¹i O ( theo ®Þnh lÝ )
=>tam gi¸c POQ vu«ng t¹i O
b, Chøng minh ®ång d¹ng víi 
Êy tam gi¸c CED lµ tam gi¸c vu«ng t¹i E ( gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn )
Cã ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung ED ) 
=>Tam gi¸c POQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c CED
c, TÝnh tÝch CP . DQ theo R 
Theo tÝnh chÊt 2 cña tiÕp tuyÕn ta cã : CP = PE
	DQ = EQ
XÐt cã OE lµ ®­êng cao b»ng R
Theo hÖ thøc l­îng : OE2 = PE . EQ
	hay OE2 = CP . DQ 
	R2 = CP . DQ
d, Khi PC = R/2 h·y chøng minh r»ng 
Tõ ý c ta cã DQ= R2/CP = 
V× tæng sè diÖn tÝch hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tæng sè ®ång d¹ng 
VËy 
Mµ PQ = PE + EQ = PE + DQ 
=>PQ = R/2 + 2R = 5R/2
Thay vµo (1) ta cã 
§Ò 5 ( Bé ®Ò trang 17 )
a, Tø gi¸c BHCD, BCDE lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
* XÐt t/g BHCD cã 
=> BH // DC 
CM t­¬ng tù ta cã CH // BD 
VËy BHCD lµ h×nh b×nh hµnh 
*XÐt t/g BCDE 
Ta cã BC // ED ( v× cïng vu«ng gãc víi AE) => BCDE lµ h×nh thang 
Do BC // ED => => BE = CD 
=>BCDE lµ h×nh thang c©n 
b, Chøng minh H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c A’B’C’ vµ EFI
thËt vËy H lµ giao c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong 
=>H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c
c, Chøng minh M lµ giao 2 ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AC’HB’ vµ ®­êng trßn O
( gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn )
LÊy O’ lµ trung ®iÓm cña AH => O’M =1/2 AH
Mµ AH lµ ®­êng kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tg AC’HB’ 
VËy M lµ giao cña 2 ®­êng trßn nãi trªn 
d, NÕu tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu th× kÕt luËn 
- h×nh thoi
- KÕt qu¶ kh«ng thay ®æi 
H×nh thang c©n biÕn thµnh tam gi¸c BDC