Một vài kinh nghiệm vận dụng vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học trong chương trình hình học THCS

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT VÀI KINH NGHIỆM VẬN DỤNG VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
ĐỂ GIẢI DẠNG TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC THCS
MÃ SKKN: 2TL
NĂM HỌC: 2008 - 2009 
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
 Ở trường THCS, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của học sinh. Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, người giáo viên cần trang bị tốt cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hình thành kĩ năng, tư duy thuật giải và phát triển năng lực tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo.
 Bên cạnh việc nâng cao chất lượng học sinh đại trà còn cần phải phát huy trí lực cho học sinh khá – giỏi. Bởi vì, hiện nay trong các nhà trường công tác bồi dưỡng học sinh giỏi rất được quan tâm và trở thành mũi nhọn của mục tiêu phấn đấu chất lượng, trong đó bồi dưỡng học sinh giỏi Toán giữ một vai trò thiết yếu. 
 Ngoài những thuận lợi, tạo điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh, vẫn còn những vấn đề cần lưu ý về mặt phương pháp. Ở đây tôi muốn đề cập đến việc giảng dạy phân môn Hình học với những yêu cầu nhằm phát huy khả năng nhận thức của học sinh, đó là yêu cầu vẽ yếu tố phụ trong quá trình giải các bài tập Hình học. Việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải bài toán. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn ngọn và hay là vấn đề khiến cho chúng ta phải đầu tư suy nghĩ.
 Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà là cả một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. 
 Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh còn rất lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh Hình học, nhất là những bài toán cần phải kẻ thêm đường phụ. Các em chưa định hướng được vấn đề, đôi khi còn chưa biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ hình phụ như thế nào ? có cơ sở nào giúp các em tìm ra hướng đi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ra lời giải của bài toán. 
 Thiết nghĩ đây là vấn đề rất trăn trở, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán của người giáo viên. Không chỉ là định hướng và rèn luyện cho các em, mà thực sự đây còn là cách để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh, nâng cao khả năng suy luận logic, khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn. 
 Với mục đích như vậy, tôi đã viết và áp dụng sáng kiến với đề tài: “ Một vài kinh nghiệm vận dụng vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học trong chương trình Hình học THCS”. 
 Năm học 2008 – 2009, sáng kiến này đã được hội đồng khoa học của ngành cơng nhận. tính hiệu quả của sáng kiến đã được khẳng định qua chất lượng học tập của học sinh tăng lên rõ rệt. Nếu học sinh cĩ được 
 N¨m häc 2004 - 2005, s¸ng kiÕn nµy ®· ®­ỵc héi ®ång khoa häc cđa tr­êng c«ng nhËn. TÝnh hiƯu qu¶ cđa s¸ng kiÕn ®· ®­ỵc kh¼ng ®Þnh qua chÊt l­ỵng häc tËp cđa häc sinh ®­ỵc t¨ng lªn râ rƯt. NÕu häc sinh cã ®­ỵc sù ®Þnh h­íng c¸ch häc ë nhµ th× c¸c em rÊt høng thĩ häc tËp; kh¶ n¨ng tiÕp thu kiÕn thøc cã sù tiÕn bé v­ỵt bËc.
 Do ®ã, t«i tiÕp tơc triĨn khai s¸ng kiÕn kinh nghiƯm nµy. Tuy nhiªn, cã bỉ sung thªm phÇn h­íng dÉn häc sinh häc ë nhµ cho häc sinh líp 9 vµ häc sinh kh¸ - giái. 
II. MỤC ĐÍCH CHỌN ĐỀ TÀI: 
 Đề tài này nhằm giúp học sinh lớp 8, 9, đặc biệt là học sinh khá - giỏi có phương pháp và phương hướng để giải quyết các bài toán về chứng minh đẳng thức Hình học. Đồng thời qua đề tài giúp học sinh được rèn luyện, củng cố một cách vững chắc kiến thức, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày lời giải học đặc biệt là có tư duy vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải các bài toán Hình học.
 Đề tài này chính là nguồn tư liệu bổ ích phục vụ cho các thầy cô giáo trong việc định hướng và bồi dưỡng học sinh Giỏi ở trường THCS; nguồn tư liệu cho các em học sinh khá – giỏi chủ yếu là học sinh lớp 8, 9 tự bồi dưỡng kiến thức môn Toán. 
PHẦN II:
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. PHƯƠNG HƯỚNG TÌM TÒI CÁCH VẼ THÊM HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC:
 Khi giải các bài toán Hình học, việc vẽ thêm hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là dễ. Trong đề tài này tôi muốn đưa ra một cách phân tích có chủ ý để tìm được cách vẽ thêm hình phụ thích hợp khi giải quyết một số bài toán chứng minh đẳng thức hình học dạng: x = a + b; xy = ab + cd; x2 = ab + cd; x2 = ab – cd; x2 = a2 + cd; x2 = a2 + b2. 
 Ta xuất phát từ một bài toán đơn giản: 
 Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng khác, chẳng hạn: AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bởi điểm K sao cho AK = CD, công việc còn lại là chứng minh KB = EF.
 Ý tưởng trên cũng được sử dụng để chứng minh đẳng thức: xy = ab + cd và các dạng: x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + c2 v.v như sau:
 Bước 1: Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn bởi điểm chia K để có x = x1 + x2 sao cho x1y = ab (1)
 Bước 2: Chứng minh hệ thức x2y = cd (2)
 Bước 3: Cộng vế theo vế (1) và (2) để được đẳng thức cần chứng minh: 
 x1y + x2y = ab + cd ĩ xy = ab + cd
 Sau đây, xin đề cập đến một số cách vẽ thêm hình phụ để xác định điểm K từ đó giải quyết bài toán thông qua các ví dụ cụ thể sau.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:
 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD ^ AB( DỴAB), kẻ ME ^ AC ( EỴAC), kẻ BH ^ AC ( HỴAC). CMR: MD + ME = BH
 DABC cân tại A.
 GT M Ỵ BC
 MD^AB(DỴAB).
 ME^AC(EỴAC).
 BH^AC(HỴAC) 
 KL MD + ME = BH
*Phân tích: Lấy điểm KỴBH sao cho BK = MD. Vì cạnh MD là cạnh góc vuông trong DMDB vuông tại D nên đoạn thẳng BK cũng phải là cạnh góc vuông của tam giác DBKM. Từ đó K phải là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BH.
*Lời giải: Qua M, kẻ MK ^ BH(KỴBH).
 + Vì MK ^ BH; AC^BH => MK // AC => ( ở vị trí đồng vị)
 + DMDB và DBKM có: ; ( cùng bằng ); cạnh BM chung
 => DMDB = DBKM(g.c.g) => MD = BK ( 2 cạnh tương ứng) (1)
 + Tứ giác MKHE có: nên là hình chữ nhật => ME = KH (2)
 + Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : MD + ME = BK + KH = BH ( đpcm)
*Nhận xét: 
 1) Vì MD là cạnh góc vuông của DMDB, để có BK = MD thì điểm phụ K được xác định chính là chân đường vuông góc của M đến BH.
 2) Từ đẳng thức: MD + ME = BH, ta thấy khoảng cách từ điểm M đến 2 cạnh AB, AC không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Ta có thể phát biểu lại bài toán dưới dạng: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: Tổng khoảng cách từ M đến hai cạnh AB, AC không phụ thuộc vào vị trí của nó.
 Ví dụ 2: (Chứng minh định lí Pitago). Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2
 GT DABC, vuông tại A
 KL BC2 = AB2 + AC2
*Phân tích:
 Lấy điểm KỴBC sao cho BK.BC = AB2 DKBA đồng dạng với DABC nên . Từ đó, K là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống cạnh BC.
*Lời giải:
 Kẻ AK ^ BC. Vì các góc B, C đều nhọn nên KỴ BC
 + DKBA và DABC có: ; chung 
 => DKBA đồng dạng với DABC (g.g) 
 (1)
 + DKAC và DABC có: ; chung 
 => DKAC đồng dạng với DABC (g.g) 
 (2)
 + Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: (đpcm)
*Nhận xét: Vì DABC vuông tại A. Do đó, để DKBA đồng dạng với DABC thì điểm K cần xác định chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống cạnh BC. 
 Ví dụ 3:(Đề thi HSG Thành phố Pleiku năm học 2005 – 2006)
 Cho hình bình hành ABCD có nhọn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ C xuống các đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng: 
 AC2 = AB.AE + AD.AF 
 ABCD là hình hành(< 900 )
 GT CE ^ AB; CF ^ AD
 KL AC2 = AB.AE + AD.AF 
*Phân tích: Lấy KỴAC sao cho AK.AC = AB.AE
DABK đồng dạng với DACEBK ^ AC.
 Vậy điểm K cần tìm là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AC.
*Lời giải:
 Kẻ BK ^ AC. Vì nhọn nên K thuộc đoạn AC.
 + DABK và DACE có: ; chung
 => DABK đồng dạng với DACE (g.g) 
 (1)
 + DCBK và DACF có: ; (vị trí so le trong)
 => DCBK đồng dạng với DACF (g.g) 
 + Mà: BC = AD do ABCD là hình bình hành => CK.AC = AD.AF (2)
 + Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: 
 Hay: AC2 = AB.AE + AD.AF (đpcm)
*Nhận xét: 
 1) Do DACE vuông tại E, để DABK đồng dạng với DACE thì điểm phụ K cần xác định chính là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống cạnh AC.
 2) Nếu hình bình hành ABCD là hình thoi, lúc đó AB = AD. Do đó kết luận của bài toán là: AC2 = AB.(AE + AF).
 3) Nếu hình bình ABCD là hình chữ nhật , lúc đó E º B; F º D và AE º AB; AF º AD. Như vậy, hiển nhiên ta có: AC2 = AB2 + AD2 ( theo định lí Pitago)
 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A
 Chứng minh rằng: AD2 = AB.AC – BD.CD
 GT DABC
 AD là phân giác
 KL AD2 = AB.AC – BD.CD
*Phân tích: Lấy KỴAD sao cho: AK.AD = AB.AC
 DABK đồng dạng với DADC
 Do đó: . Như vậy ta xác định được điểm K.
*Lời giải: Trên AD lấy điểm K sao cho: . Dễ thấy AD = AK – DK
 + DABK và DADC có: ; (AD là phân giác của góc A)
 => DABK đồng dạng với DADC (g.g) 
 (1)
 + DBDK và DADC có:(đối đỉnh); (DABK đồng dạng DADC)
 => DBDK đồng dạng với DADC (g.g) 
 (2) 
 + Trừ vế theo vế (1) và (2), ta được: 
 Hay: AD2 = AB.AC - BD.DC (đpcm)
*Nhận xét: 
 1) DABK và DADC đã có ( do AD là phân giác của góc A), để hai tam giác này đồng dạng với nhau ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau (). Do đó, điểm phụ K thuộc AD sao cho . 
 2) Nếu AD là đường phân giác ngoài của góc A ( D Ỵ BC) thì ta có hệ thức: AD2 = DB.DC – AB.AC.
 3) Bài toán tổng  ... BC2 + AB.AC
 GT DABC có: 
 KL AB2 = BC2 + AB.AC
*Phân tích: Giả sử điểm K thuộc cạnh AB sao cho:
 BK.AB = BC2 
 => DBKC đồng dạng với DBCA => 
 Mặt khác, ta có:=> 
 hay .
 Mà: là góc ngoài của DBCK. Do đó, (tính chất góc ngoài)
 => hay tam giác ACK cân tại A. Vậy điểm phụ K được xác định.
*Lời giải: 
 Vì: => AB > AC
 Trên cạnh AB lấy điểm K sao AK = AC => tam giác ACK cân tại A.
 Ta có: , => hay 
 Mà: DACK cân tại A => và( tính chất góc ngoài ).
 Từ đó ta được: 
 + DBCK và DBAC có: (cmt); góc B chung
=> DBCK đồng dạng với DBAC (g.g) 
=> (1)
 + Mặt khác: Do AB = AK + BK; AK = AC => BK = AB – AC (2)
 + Từ (1) và (2), ta có: (AB – AC).AB = BC2 hay AB2 – AC.AB = BC2
 => AB2 = BC2 + AC.AB (đpcm)
*Nhận xét: 
 DBCK và DBAC đã có góc B chung, để hai tam giác này đồng dạng với nhau ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau (). Do đó, điểm phụ K thuộc AB sao cho AK = AC hay DACK cân tại A . 
 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Chứng minh rằng: 
 DABC nội tiếp (O)
 D thuộc cung BC
GT DI ^ BC(IỴBC); DE ^ AB(EỴAB)
 DF ^ AC(EỴAC ) 
 KL 
 Cách 1: 
*Phân tích: Giả sử điểm K thuộc cạnh BC 
sao cho: 
=> DCDK đồng dạng với DADB => 
Như vậy, ta xác định được điểm phụ K. 
*Lời giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho: 
 + DCDK và DADB có: 
 (cách vẽ)
 (góc nội tiếp chắn cung BD)
=> DCDK đồng dạng với DADB (g.g)
Mà DI, DE thứ tự là hai đường cao của DCDK và DADB nên:
 => (1)
+ Mặt khác: ; và do: 
 => 
 + DDBK và DDAC có: ; (góc nội tiếp chắn cung CD )
 => DCDK đồng dạng với DADB (g.g)
 Mà DI, DF thứ tự là hai đường cao tương ứng của DDBK và DDAC nên:
 => (2)
 + Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được: hay: 
 Cách 2:
*Phân tích:
 Giả sử điểm K thuộc cạnh BC sao cho: => DABK đồng dạng với DEDI => ; 
 Mà: tứ giác BIDE nội tiếp được đường tròn nên:
 (do góc nội tiếp cùng chắn cung DI )
=>=> sđ = sđ
(với N là giao điểm khác A của AK với (O)).
 Từ đó, DN // BC.
 Vậy ta xác định được các điểm phụ N và K.
*Lời giải: 
Qua D kẻ đường thẳng song song với BC,
 đường thẳng này cắt đường tròn (O) 
tại điểm thứ hai là N ( N có thể trùng với D).
 AN cắt BC tại K.
 + Ta có: sđ = sđ(do DN // BC) => sđ + sđ = sđ + sđ
 Hay: sđ = sđ
 => (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).
 + Mặt khác, tứ giác BIDE nội tiếp được đường tròn (do )
 => (do góc nội tiếp cùng chắn cung DI ) 
 + Vậy: 
 + DABK và DEDI có: ; ( cùng bù với )
 => DABK đồng dạng với DEDI (g.g) (1) 
 + Tứ giác DIFC nội tiếp được đường tròn (do )
 => (góc nội tiếp chắn cung FI )
 + Do DABK đồng dạng với DEDI => . 
 Mà: (kề bù); (kề bù) 
 => 
 + DCKA và DDIF có: ; 
 => DCKA đồng dạng với DDIF(g.g) (2) 
 + Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: 
 Hay: (đpcm)
*Nhận xét: 
 Trong cách giải 1, do DI, DE thứ tự là hai đường cao của DCDK và DADB.
Vậy để có DCDK đồng dạng với DADB ta chỉ cần xác định điểm phụ K trên BC sao cho .
 Trong cách giải 2, ta cần đi xác định vị trí 2 điểm phụ: bằng cách qua D kẻ đường thẳng song song với BC ( với N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng với đường tròn) và K là giao điểm của AN với BC, để từ đó mới có DABK đồng dạng với DEDI. 
 Rõ ràng, cách giải thứ 2 phức tạp hơn cách thứ 1. Do đó, trong quá trình phân tích tìm kiếm lời giải bài toán cần khai thác hết các giả thiết bài toán để định hướng cách giải ngắn gọn, sáng tạo. Đây chính là một trong những kĩ năng mà người giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh.
 Ví dụ sau giúp chúng ta thấy rõ hơn yêu cầu này:
 Ví dụ 9: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm trên cung nhỏ CD. Chứng minh rằng: PA + PC = .PB
 GT ABCD nội tiếp (O;R)
 P thuộc cung nhỏ CD.
 KL PA + PC = .PB
*Phân tích: 
 Để chứng minh: PA + PC = .PB, ta đi chứng minh:
 Mà ABCD là hình vuông, do đó ta có: 
 Vậy mấu chốt để giải quyết bài toán là ta cần chứng minh: 
 Giả sử điểm K thuộc cạnh AC sao cho => tam giác PCK đồng dạng với tam giác PBA => . Vậy K phải thuộc PB.
 Như vậy điểm phụ K cần xác định chính là giao điểm của PB và AC.
*Lời giải: Gọi K là giao điểm của PB và AC.
 + DPCK và DPBA có:
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD);
 ( hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau). 
 => DPCK đồng dạng với DPBA (g.g) 
 (1)
 + DPAK và DPBC có: 
 (góc nội tiếp cùng chắn cung CP);
 ( hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
 => DPAK đồng dạng với DPBC(g.g) 
 (2) 
 + Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: 
 Hay: PA + PC = .PB (đpcm)
 Tóm lại: 
 Cở sở của phương pháp trên là dựa vào sự xác định điểm phụ K một cách hợp lí để đưa đẳng thức cần chứng minh về dạng a.b = c.d hoặc a2 = b.c, từ đó có thể dùng phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng để giải quyết bài toán.
 Các hình phụ: Kẻ đường vuông góc( ví dụ 1, 2, 3); tạo góc bằng góc cho trước ( ví dụ 4, 5, 6, 7, 8) thường là các hình phụ được ưu tiên khi xác định vị trí điểm phụ K vì khi kẻ các đường phụ sẽ tạo thêm vào giả thiết yếu tố góc bằng nhau, từ đó dễ dàng cho việc chứng minh hai tam giác đồng dạng.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E tuỳ ý. Tia phân giác của cắt BC tại K. Chứng minh rằng: AE + CK = DE.
 Bài 2: Cho tam giác ABC có: ; BC = a; CA = b; AB = c.
 Chứng minh rằng: a2 = b2 + bc
 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại C. Lấy điểm E trên đường cao CH. Kẻ BD vuông góc với AE tại D. Chứng minh rằng:
AE.AD + BA.BH = AB2
AE.AD – HA.HB = AH2
 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có: . Chứng minh rằng:
 CD2 = DI.DB + CI.CA
 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HD, HE lần lượt là các đường cao của tam giác ABH và ACH. Chứng minh rằng: AH3 = AD.AE.BC.
 Bài 6: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AH.AC + BH.BD = AB2
 Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: EA.ED + FA.FB = EF2
 Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
 Chứng minh rằng: AH.AD + BE.BH + CF.CH = 
 Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: AB2 = AM2 + MB.MC.
 Bài 10: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi M là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. 
Chứng minh rằng: MA = MB + MC.
Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng: 
PHẦN III:
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
 Trên đây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng vẽ yếu tố phụ cho học sinh. Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy Bồi dưỡng Học sinh giỏi của trường đã thu được một số kết quả khả quan: 
 Đa phần các em đã có thể phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết từ đó định hướng được cách giải bài toán Hình học. 
 Học sinh, đặc biệt là các em trong đội tuyển Toán đã bớt đi những lúng túng khi phải kẻ thêm đường phụ. Nhiều em đã tạo cho mình khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải bài toán chứng minh Hình học. Hơn nữa, các em đã tự tin vào khả năng giải toán của mình. 
 Điều quan trọng hơn là khi giáo viên hướng dẫn học sinh cách phân tích có chủ ý cách vẽ thêm yếu tố phụ để tìm cách giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau, các em đã biết quan sát nhạy bén, linh hoạt và từ đó làm cho tư duy Hình học của các em được phát triển.
 Thành tích các em học sinh đạt học sinh Giỏi cấp thành phố và cấp Tỉnh của trường không ngừng tiến bộ qua từng năm, cụ thể:
Năm học
Cấp TP
Cấp Tỉnh
Lớp 8
Lớp 9
SL
SL
2003- 2004
3/4
2004 – 2005
6/6
1/4
1/1
2005 – 2006
3/6
2/2
2006 – 2007
2/4
1/2
2007 - 2008
2/4
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
 Qua việc vận dụng những kinh nghiệm trên vào công tác giảng dạy và kết quả đạt được, tôi rút ra một số bài học kinh nghiệm như sau:
 - Điều đầu tiên, bản thân giáo viên phải tâm huyết, trăn trở với bài dạy, tìm hiểu kiến thức, tìm ra phương pháp và hình thức phù hợp trong giảng dạy tạo ra môi trường giúp học sinh hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi kiến thức. 
 - Trong quá trình giảng dạy, người giáo viên ngoài năng lực, khả năng sư phạm còn cần phải tích luỹ, rút kinh nghiệm dù rất nhỏ. Phải tìm tòi học tập kinh nghiệm ở sách báo, tài liệu tham khảo và chính trong quá trình giảng dạy trên lớp của bản thân sau mỗi tiết dạy.
 - Từ cách áp dụng các kinh nghiệm trên vào giảng dạy hướng dẫn học sinh giải bài tập Hình, đã phát huy được ở các em óc tư duy linh hoạt và sáng tạo, tìm tòi. Và điều quan trọng là đã gây được cho các em sự hứng thú yêu thích ham học hơn. 
 - Bồi dưỡng cho học sinh biết cách tư duy hình học, đứng trước một bài toán phải biết phân tích đầu bài, kết hợp với vẽ yếu tố phụ thích hợp để tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó xác định được hướng giải quyết và từ một dạng toán đã làm có thể mở rộng được ra các dạng toán khác.
 - Nghề dạy học là nghề cao quý trong những nghề cao quý, với lương tâm và lòng yêu nghề, với sự đầu tư thời gian và trí tuệ thì không có gì vui bằng kết quả gặt hái được những mùa bội thu. 
 Do khuôn khổ và trình độ có hạn, đề tài này chỉ đề cập chủ yếu đến thao tác vẽ thêm yếu tố phụ bằng những phân tích có chủ ý khi giải các bài toán về chứng minh đẳng thức Hình học trong chương trình Hình học THCS. Mong rằng những kinh nghiệm giảng dạy đúc kết được qua đề tài này phần nào tháo gỡ những khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh Giỏi ở trường THCS. Kính mong đồng nghiệp: bổ sung, góp ý để đề tài tiếp tục hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.