Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán môn Toán 8

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giảI toán
Môn Toán 8
Mục lục
Stt
Nội dung
Từ trang
đến trang
Phần thứ nhất: đặt vấn đề
1
Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên cứu
2 đến 3
Phần thứ hai: giải quyết vấn đề
1
Các hệ thống kiến thức cơ bản
3 đến 4
2
Những vấn đề cần giải quyết
Phần I - các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng.
Phần II - Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
4 đến 22
22 đến 31
3
Kết quả
31 đến 32
4
Bài học kinh nghiệm
32 đến 33
5
Phạm vi áp dụng - Hướng đề xuất
33 đến 34
Phần thứ ba: kết luận
1
Kết luận 
35
2
Bài tập đề nghị
36
3
Danh mục tài liệu tham khảo 
37
A/ Đặt vấn đề
	ở trường phổ thông học sinh được học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một trong những bộ môn được các em yêu thích đó là môn toán bởi lẽ nó là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt những môn khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết.
	Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức... Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này?". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Vì vậy việc tập hợp hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:
- Đặt nhân tử chung, 
- Dùng hằng đẳng thức, 
- Nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. 
Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên mà giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải.
 	Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán. Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề: 
“Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
B/GiảI quyết vấn đề
I-Các hệ thống kiển thức cơ bản
 Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán ”Phân tích đa thức thành nhân tử ”.
1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. 
2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường 
	a. Đặt nhân tử chung 
	b. Dùng hằng đẳng thức 
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A - B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
c. Nhóm các hạng tử 
	d. Phối hợp các phương pháp trên 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác 
	a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
	b. Thêm, bớt cùng một hạng tử 
	c. Đặt ẩn phụ 
	d. Dùng phương pháp hệ số bất định
	e. Nhẩm nghiệm 
f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
g. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + ..... + a1x + a0 
Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0.
II- Những vấn đề cần giải quyết
Như đã nêu trong phần đầu các bài toán phân tích thành nhân tử được sắp xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 5 tiết lí thuyết và 1tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đó.
Để rèn kĩ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tôi đã phân dạng các bài toán thành hai loại:
- Bài tập thông thường và các bài tập được khai thác từ đó.
- Các bài toán ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng
I - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường
(đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử . . .)
	Đây là các phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước 
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
	a. x2- 3x 	b. 12x3 - 6x2 + 3x 
	c. x2 + 5x3 + x2y	d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2
Giải
	a. x2- 3x = x(x - 3)
	b. 12x3 - 6x2 + x = 3x(4x2 -2x +3)
	c. x2 + 5x3 + x2y	= x2( + 5x + y)
	d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
	a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y)
	b. x(x + y) + 4x + 4y
Giải
 a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) 
 	= (x - 2y)(5x2 - 15xy) 
 	= (x - 2y)5x(x - 3y)
 b. x(x + y) + 4x + 4y 
 	= x(x + y) + (4x + 4y) 
 	= x(x + y) + 4(x + y) 
 	= (x+ y)(x + 4)
Nhận xét: ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như ví dụ sau: 
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
	a. 10x(x - y) - 8y(y - x)
	b. 5x(x - 2000) - x + 2000
Giải
	 a.10x(x - y) - 8y(y - x) 
	= 10x(x - y) + 8y(x - y
	= (x - y)(10x + 8y)
	=2(x - y)(5x + 4y)
	b. 5x(x - 2000) - x + 2000
	= 5x(x - 2000) - (x - 2000)
	= (x - 2000)(5x - 1)
Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài toán ở dạng này chính là không biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện được một cách dễ dàng.
Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài toán nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có một cố gắng nhất định thì mới thực hiện được:
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
	a. (a - b)x + (b - a)y - b + a
	b. (a + b - c)x2 - (c - a - b)x
Giải:
	a. (a - b)x + (b - a)y - b + a 
	= (a - b)x - (a - b)y + (a - b) 
	= (a - b)(x - y + 1)
	b.(a + b - c)x2 - (c - a - b)x
	= (a + b - c)x2 + (a + b - c)x 
 	= (a + b - c)x(x + 1)
Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu thì trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi dấu ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nhưng đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ví dụ thứ hai.
	Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ 
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
	a. x2- 6x +9 
	b. x2- 6 
	c. 1- 27x3 
	d. x3 + 
	e. -x3 + 9x2 - 27x + 27
Giải
 a. x2- 6x + 9 = (x-3)2
 b. x2- 6 = (x- ) (x+) 
 c. 1- 27x3 = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x2)
 d. x3 + = (x + )(x2 - 1 + )
 e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 = -(x3 - 9x2 + 27x - 27) = -(x - 3)3
	ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng được hằng đẳng thức thì các em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 a. (x + y)2 - 6(x + y) + 9
 b. 16a2 - 49(b - c)2
 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 
Giải
 a.(x + y)2 - 6(x + y) + 9 
	= (x + y)2 - 6(x + y) + 32 
	= (x + y - 3)2
 b.16a2 - 49(b - c)2 = (4a)2 - 
 = (4a - 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 
Ta có thể thấy trong ba ví dụ trên không khó nhưng vấn đề ở chỗ là học sinh không nhận dạng được hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khó khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn các em nhận dạng sau đó thì phân tích.
Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phương pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2
 c. x2 - 3x + xy - 3y d. 2xy + 3z + 6y + xz
Giải
 a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2
 =( x2 - y2 ) - (x + y) = (x2 - 2xy + y2) - z2
 = (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)2 - z2
 =(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z)
 c, x2 - 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz
 =(x2 + xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz)
 =x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x)
 =(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z)
	ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức. 
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
	b. a3(b2 - c 2) + b(c2- a2) + c(a2 - b2)
Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b
Giải
 a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
 = b2c + bc2 + c2a - ca2 - ab(a + b)
 = (b2c - ca2)  ...  + a2) - (a + c)(a2 + ab + b2)]
= (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca).
Vì 0 0, c - b > 0 và ab + bc + ca > 0 do đó 
(a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < 0 
Vậy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 với a < b < c.
Xét hiệu:
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 
= [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3]
= a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2]
= a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c)
= (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2)
= (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2)
= (a + b - c)[c2 - (a - b)2]
= (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên : a + b - c > 0 ; c + a - b > 0 ; 
b + c - a > 0 do đó: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > 0
Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
Nhận xét : Trong hai ví dụ trên ta nhận thấy vấn đề quan trọng nhất chính là phân tích được các đa thức thành nhân tử sau đó sử dụng các kết quả bất dẳng thức trong tam giác để kết luận.
Tóm lại:
Qua việc hướng dẫn học sinh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, khai thác các kết quả của bài toán từ đó có hướng đề xuất và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các cách giải hay giúp cho học sinh hứng thú trong học tập. Việc khai thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toán ở THCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được.Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá giỏi lớp 8 thì các em đã tiếp thu tốt và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặc cảm với dạng toán này thì các em đã có hứng thú học hơn.
III./ Kết quả:
Chuyên đề "Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán" này tôi đã sử dụng nhiều trong quá trình giảng dạy học sinh và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Kết quả thu được là 100% các em đã biết khai thác , phân tích kết quả của các bài toán để tổng kết thành các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Đối với học sinh đại trà, sau khi được hướng dẫn , chữa các bài tập có nội dung đơn giản (Bài tập trong SGK) thì hầu hết các em đã:
- Nắm được các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
- Biết phân loại và sử dụng các phương pháp thích hợp
- Tự chọn được cách giải và biết trình bày bài làm.
Thông qua bảng số liệu sau chúng ta có kết quả (Số liệu thống kê qua các năm học đối với học sinh khá giỏi và học sinh đại trà)
Bảng số liệu thống kê
NĂM
học
Số hS
Phân loại học sinh
Khá - giỏi
Đại trà
Tổng
Số
Đạt
Khôngđạt
Tổng
Số
Đạt
Không đạt
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2006-2007
56
26
26
100
0
0
30
23
76,66
7
23,34
2007-2008
50
26
26
100
0
0
24
19
79,16
5
20,84
2008-2009
61
30
30
100
0
0
31
26
83,9
5
16,1
Qua phân tích bảng số liệu có thể nhận thấy các kết quả khi áp dụng cho HS khá giỏi thì tỉ lệ đạt rất cao, đồng thời khi áp dụng cho HS đại trà thì các em đã vận dụng tốt các kết quả và biết vận dụng vào trong các bài toán một cách tương đối có hiệu quả. Song các kết quả đã thu được chưa phải là mĩ mãn, cần phải có một thời gian để học sinh vận dụng kiến thức cơ bản và nhận dạng, phân loại bài toán một cách thành thạo. Trên cơ sở đó các em sẽ tìm ra một phương pháp giải thích hợp và sáng tạo hơn.
IV. Bài học kinh nghiệm
Đích cuối cùng của dạy học toán là học sinh có phương pháp học toán, tìm ra cách giải toán và vận dụng vào thực tế. Để đạt được điều ấy người giáo viên cần chú trọng đến phương pháp tổ chức hoạt động cho học sinh ở mỗi dạng toán, loại toán. Từ chuyên đề này bài học kinh nghiệm sâu sắc là:
* Đối với giáo viên:
Trước hết giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho bài dạy. Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán: "Phân tích đa thức thành nhân tử" giáo viên phải đưa ra cho học sinh các phương pháp giải để từ đó học sinh có thể lựa chọn cách giải thích hợp nhất. 
Đầu tiên giáo viên đưa ra hệ thống bài tập có tính chất đơn giản sau đó mới nâng cao dần lên để học sinh tư duy một cách có hệ thống. Trong bất kỳ dạng toán nào học sinh phải tìm cho mình một cách giải thích hợp nhất phù hợp với khả năng của mình. Giáo viên phải năng động biết phối hợp các phương pháp vào từng phần từng bài cụ thể để học sinh chủ động giải toán có hiệu quả.
* Đối với học sinh:
Đối với học sinh thì học sinh là người chủ động tích cực làm việc. Biết phân tích bài toán để tìm hướng giải từ đó có thể kết luận được bài toán. Bên cạnh đó học sinh phải luôn có ý thức tự giác học tập trên lớp, làm bài tập ở nhà, phân tích, đánh gía, tìm tòi để đi đến kết quả đúng và chính xác. Phải có kiến thức cơ bản luôn tìm ra hướng giải quyết thích hợp.
*Bài học chung:
- Thày phải trang bị cho học sinh vốn kiến thức tổng hợp phong phú để làm phương tiện giải toán. Trong mỗi trường hợp, mỗi bài toán đều có điều kiện rõ ràng và dữ kiện chưa rõ nên giáo viên cần giúp cho học sinh phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố đó để biến cái chưa rõ thành cái đã rõ.
-Cuối cùng mỗi người giáo viên cần phải hiểu tâm lí đối tượng học sinh để chuyển tải những nội dung kiến thức cho phù hợp, vừa sức tạo ra bầu không khí thoả mái trong lớp học, tránh sự gò bó áp đặt đối với học sinh.
V- Phạm vi áp dụng - Hướng đề xuất
1. Phạm vi áp dụng:
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử chỉ chiếm một thời lượng khá khiêm tốn song nó chứa đựng nhiều kiến thức cơ bản, trọng tâm và khá quan trọng. Tuy nhiên đối với học sinh khá, giỏi thì áp dụng chuyên đề này hoàn toàn hữu ích, với học sinh đại trà thì khi hướng dẫn các em ở các dạng từ 1 - 4 thì các em dễ hiểu hơn còn cá dạng 5 - 7 thì các em gặp rất nhiều khó khăn nên giáo viên giảng dạy cần chú ý.
Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tôi cần có các điều kiện sau:
- Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia hoặc trao đổi lẫn nhau. Phải có sự phối hợp chặt chẽ trao đổi, bàn bạc tập thể giữa các giáo viên giảng dạy của tổ, của khối lớp 8. 
Giáo viên phải kiên trì biết sử dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt. Thường xuyên kiểm tra học sinh theo phương pháp mới. Giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài dạy để đạt được hiệu quả cao.
-Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sách giáo khoa. Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên và hăng hái tham gia nêu những ý kiến đánh gía của mình. Nắm chắc kiến thức từng phần có liên quan đến dạng toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" như quy tắc dấu ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức...
2. Hướng đề xuất
Giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy các bài toán khó nói riêng là một vấn đề đang được quan tâm nhiều của phụ huynh, của giáo viên dạy ...Trong tình hình hiện nayviệc học tập của học sinh còn gặp nhiều khó khăn, do vậy việc kích thích học sinh chịu khó học tập, phấn đấu vươn lên đang còn là vấn đề mà nhà trường và xã hội quan tâm nếu chỉ những giáo viên dạy thì không thể đạt được những kết quả cao. Song một yếu tố chủ quan hết sức quan trọng quyết định nhất là người giáo viên dạy toán.
* Đối với giáo viên dạy toán:
- Phải nhận thức đúng vị trí, vai trò quan trọng của bộ môn Toán trong toàn bộ hệ thống kiến thức. Người giáo viên trực tiếp giảng dạy phải nắm vững nội dung, phương pháp giảng dạy sát đối tượng học sinh để sử dụng hpương pháp thích hợp.
- Phải thường xuyên trao đổi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm giảng dạy, biết tổ chức cho học sinh học tập có nề nếp... và đặc biệt phải biết lựa chọn phương pháp giảng dạy một cách thích hợp.
* Đối với nhà trường:
- Trước hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc, tin cậy cho giáo viên trong việc cải tiến phương pháp giảng dạy, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ.
- Nhà trường cần cung cấp đủ tài liệu tham khảo. Thường xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
C - Kết luận
Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề bản thân tôi thấy kết quả học tập của các em được nâng lên rõ rệt cả về chất lượng lẫn kỹ năng giải toán. Tôi thấy đây là việc làm thiết thực và quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho học sinh. Học sinh phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập. 
Có được kết quả cao trong việc dạy và học môn toán đặc biệt là dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử từ đó vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phương pháp giải tôi luôn đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó . Đối với bài dễ dùng cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá giỏi để các đối tượng học sinh không cảm thấy chán. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đưa ra cần lưu ý cho học sinh không chỉ có một cách giải trong mỗi bài toán đưa ra cần tìm tòi những lời giải khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phương pháp giải tôi đều đưa ra các bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển bài toán .
	Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa các phương pháp giải bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thay cho lời kết tôi xin đưa ra một vài bài toán để các thày cô chúng ta cùng tham khảo. Mong được sự góp ý trao đổi của các thày cô.
Bài tập đề nghị
1- Chứng tỏ rằng đa thức :
A = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 - x2 - 31. Luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x.
2 - Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng:
B = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x + 9 là bình phương của một số nguyên.
3 - Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
C = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương.
4 - Chứng minh rằng 5n3 + 15n2 + 10n luôn luôn chia hết cho 30 với mọi n là số nguyên.
5- Tìm số tự nhiên n đẻ giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
P = n3 - n2 - n - 2
6- Cho đa thức:
A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz.
a- Phân tích A thành nhân tử.
b- Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì A - 3xyz chia hết cho 6.
7- Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số:
B = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hết cho 105
danh mục tài liệu tham khảo
Stt
Tên tài liệu tham khảo
1
- Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn toán THCS 	
2
- Sách giáo viên lớp 8 môn Toán - Nhà xuất bản GD 2008
3
- Sách giáo khoa môn Toán lớp 8 - Nhà xuất bản GD 2008
4
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số lớp 8 - Nhà xuất bản GD 2004
5
- Những bài toán cơ bản, nâng cao chọn lọc lớp 8 - Nhà xuất bản Đại học sư phạm 2004