Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 23: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (Có đáp án)

 HỌC KÌ I –– TIẾT 23 – LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN 
 DÂY
Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Dây CD vuông góc với đường kính AB tại H 
thuộc bán kính OA . Gọi M là điểm thuộc bán kính OB , E và F theo thứ tự là giao điểm của 
 MC và MD với đường tròn ( E khác C , F khác D ). CMR: 
 a) MC MD b) ME MF 
Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB .Vẽ các dây BC và BD thuộc hai nửa mặt 
phẳng đối nhau bờ AB sao cho BD BC . So sánh độ dài AD và AC .
Bài 3: Cho đường tròn O ,hai dây AB và AC vuông góc với nhau có độ dài lần lược là 10cm 
và 24cm 
 a) Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi dây
 b) CMR ba điểm B,O và C thẳng hàng
Bài 4: Cho đường tròn O , dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm 
 M nằm ngoài đường tròn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho EA BM . Trên tia đối 
của CD lấy điểm F sao cho DF CM . Chứng minh rằng OE OF 
Bài 5: Cho đường tròn O dây AB và CD , AB CD . Các tia AB và CD cắt nhau tại M 
ngoài đường tròn . Gọi H và K lần lượt trung điểm của AB và CD . So sánh độ dài MH và 
 MK .
Bài 6: Cho O có các dây cung AB và CD bằng nhau và không song song, các tia AB và CD 
cắt nhau tại E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của của AB và 
 CD . Chứng minh 
 a) EH EK b) EA EC .
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A , nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R 3 .
 2
Biết sin B . 
 3
a) Hai dây AB và AC , dây nào gần tâm O hơn?
b) Một đường thẳng qua O song song với AC cắt AB tại I . Tính IB và IO .
Bài 8: Cho đường tròn O bán kính 5cm , dây AB 8cm. dây CD vuông góc với dây AB tại 
 I . Tính độ dài của IC và ID biết khoảng cách từ O đến CD bằng 3cm .
Bài 9: Cho đường tròn O . Điểm I nằm trong đường tròn I O , dựng 2 dây bằng nhau và 
vuông góc với nhau tại I . HỌC KÌ I –– TIẾT 23 – LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN 
 DÂY
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Dây CD vuông góc với đường kính AB tại H thuộc 
bán kính OA. Gọi M là điểm thuộc bán kính OB, E và F theo thứ tự là giao điểm của MC và MD 
với đường tròn (E khác C , F khác D). CMR: 
 a) MC = MD b) ME = MF 
Giải.
 C
 I F
 A O B
 H
 K E
 D
a) Đường kính AB vuông góc với dây CD nên CH = HD
 MA là đường trung trực của CD nên MC = MD
b) Kẻ OI  CE, OK  DF 
 MCD cân có MH là tia phân giác của góc CMD nên MO là tia phân giác của góc CMD, 
suy ra OI = OK
 Do đó CE = DF ( hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)
 Ta lại có MC = MD (CMT)
 Nên CE – MC = DF – MD
 Suy ra ME = MF
Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB.Vẽ các dây BC và BD thuộc hai nửa mặt phẳng đối 
nhau bờ AB sao cho BD > BC. So sánh độ dài AD và AC.
Giải.
 D
 K
 A B
 O
 I
 C
 Kẻ OI  BC ,OP  BD. Ta có BD > DC OP < OI ( dây gần tâm thì lớn hơn ) (1)
 ABC có OA = OB = R, IB = IC (đường kính vuông góc với dây) nên OI là đường trung 
bình. 
 1
 Suy ra OI = AC (2) 
 2
 1
 Chứng minh tương tự: OP= AD (3)
 2
 Từ (1), (2) và (3) suy ra AD < AC 
Bài 3: Cho đường tròn (O) ,2 dây AB và AC vuông góc với nhau có độ dài lần lược là 10cm và 
24cm
 a) Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi dây
 b) CMR 3 điểm B,O và C thẳng hàng
Giải.
 12 H
 A C
 5
 3
 K 2 4
 1
 O
 B
 a/ Kẻ OH  AC tại H, OK  AB tại K
 Xét (O) có:
 OH  AC tại H AH = HC = 12cm 
 OK  AB tại K AK = KB = 5cm 
 Xét tứ giác AHOK có: µA Hµ Kµ 900 
 Tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
 AH = OK = 12cm, AK = OH = 5cm b/ Ta có OA = OC AOC cân tại O
 ¶ ¶
 OH là tia phân giác góc AOC => O3 O4 
 µ ¶
 CMTT: O1 O2
 µ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 0 0
 Mà góc BOC = O1 O2 O3 O4 2O2 2O3 2(O2 O3 ) 290 180 nên B, O, C 
thẳng hàng
Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm 
ngoài đường tròn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho EA=BM. Trên tia đối của CD lấy điểm 
F sao cho DF= CM. Chứng minh rằng OE = OF
Giải.
 E H
 A B M
 O
 D
 K
 C
 F
Kẻ OH  AB tại H, OK  CD tại K
 AH = HB, CK = KD, OH = OK
 Xét OHM vuông tại H và OKM vuông tại K có:
 OH = OK
 OM cạnh chung
 OHM = OKM
 MH = MK
Ta lại có: MB = EA, BH = AH MH = EH
 MC = DF MD = CF MK = FK
 EH = FK
Xét OHE vuông tại H và OKF vuông tại K có:
 OH = OK
 EH = FK OHE = OKF
 EO = FO
Bài 5: Cho đường tròn (O) dây AB và CD, AB > CD. Các tia AB và CD cắt nhau tại M ngoài 
đường tròn . Gọi H và K lần lược trung điểm của AB và CD. So sánh độ dài MH và MK.
Giải.
 H B M
 A
 O
 D
 K
 C
Xét (O) có : 
 H là trung điểm AB 
 Dây AB không qua tâm
 OH  AB
 K là trung điểm CD 
 Dây CD không qua tâm
 OK  CD
 AB > CD OH OK OH 2 OK 2
Xét tam giác vuông OHM có: OM 2 OH 2 HM 2 
Xét tam giác vuông OKM có: OM 2 OK 2 KM 2 
 OH 2 HM 2 = OK 2 KM 2 HM 2 KM 2 HM KM
Bài 6: Cho (O) có các dây cung AB và CD bằng nhau và không song song, các tia AB và CD cắt 
nhau tại E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của của AB và CD. Chứng 
minh 
 a) EH = EK b) EA = EC.
Giải. E
 B
 H
 A
 D
 O
 K
 C
Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD nên OH  AB;OK  CD
a) OHE OKE ( Hai cạnh góc vuông) EH EK ( hai cạnh tương ứng)
b) Có HA = HB = KC = KD ( vì AB = CD) EH HA EK KC EA EC 
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 3.
 2
Biết sin B . 
 3
a) Hai dây AB và AC, dây nào gần tâm O hơn?
b) Một đường thẳng qua O song song với AC cắt AB tại I. Tính IB và IO.
Giải.
 A
 I
 C
 B O
a) Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) nên O là trung điểm của BC và BC 2R 6. 
 2
Ta có AC BC.sin B = 6. 4 .
 3
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC vuông tại A ta có 
 BC 2 AB2 AC 2 AB BC 2 AC 2 20 
Ta có AC AC 4 16 AB 20 . Vậy dây AB gần tâm hơn dây AC.
b) Ta có OI // AC và AC  AB nên OI  AB hay I là trung điểm của AB (đường kính vuông góc 
 AB
với dây cung) IB IA 5 
 2 1
Tam giác ABC có IO là đường trung bình nên IO AC 2 
 2
Bài 8: Cho đường tròn (O) bán kính 5cm, dây AB 8cm. dây CD vuông góc với dây AB tại I. Tính 
độ dài của IC và ID biết khoảng cách từ O đến CD bằng 3cm.
Giải.
 C
 I
 A H B
 K O
 D
 Kẻ OH  AB tại H, OK  CD tại K
 Xét (O) có:
 OH  AB tại H AH = HB = 4cm 
 CD
 OK  CD tại K CK = KD = 
 2
 Xét tứ giác IHOK có: I Hµ Kµ 900 
 Tứ giác IHOK là hình chữ nhật.
 IH = OK = 3cm, IK = OH 
 Mà OH AO2 AH 2 52 42 3cm nên OH = OK IHOK là hình vuông
 OH = OK = IK = 3cm AB = CD = 8cm CK = KD = 4cm
 Ta lại có IC = CK – IK = 4 – 3 = 1cm; ID = CD – IC = 8 – 1 = 7cm
Bài 9: Cho đường tròn (O). Điểm I nằm trong đường tròn I khác O, dựng 2 dây bằng nhau và vuông 
góc với nhau tại I.
Giải. C
 A I H B
 K O
 D
*Phân tích: Giả sử dựng được hình thỏa đề bài
Xét (O) có AB = CD OH = OK
Tứ giác OHIK có I Hµ Kµ 900 và OH = OK OHIK là hình vuông.
*Cách dựng:
 - Dựng đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn và I khác O
 - Dựng hình vuông OHIK nhận OI làm đường chéo.
 - Đường thẳng IH cắt (O) tại hai điểm A, B.
 - Đường thẳng IK cắt (O) tại hai điểm C, D.
 - Dây AB và CD là 2 dây cần dựng.
*Chứng minh: 
 Ta có: OHIK là hình vuông 
 OH = OK, IH  IK AB  CD
 Xét (O) có OH = OK AB = CD
 Vậy AB  CD và AB = CD