Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 25: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (Mức độ trên cơ bản) - Lê Cảnh Hoài (Có đáp án)

 DÂU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 (MỨC ĐỘ TRÊN CƠ BẢN)
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN
Bài 1: Cho O có bán kính OA R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. 
 a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? 
 b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳngOA tại E . Tính độ dài BE theo R. 
Bài 2: Từ điểm A ở ngoài O kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 
 a) Chứng minh rằng OA  BC. 
 b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng 
 c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB 2cm, OA 4cm. 
Bài tập về nhà: 
Bài 3: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn O . Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn đó 
(M, N là các tiếp điểm).
 a) Chứng minh rằng OA  MN. 
 b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC / / AO. 
 c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM 3cm, OA 5cm. 
Bài 4: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, 
E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MD, ME 
theo thứ tự ở P và Q . Biết MD 5cm. Tính chu vi tam giác MPQ.
Bài 5: Từ điểm A nằm bên ngoài O, 6cm có OA 10cm, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường 
tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. 
 a) Tính độ dài OH. 
 b) Tính độ dài AB. 
DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG 
TRÒN
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB 3, AC 4, BC 5. Vẽ B; BA . Chứng minh rằng AC là tiếp 
tuyến của đường tròn.
Bài 7: Cho O dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến tại 
 A của đường tròn ở điểm C. 
 a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
 b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB 24cm. Tính độ dài OC. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ phân giác trong của Bµ cắt AC tại I. Chứng minh 
rằng BC tiếp xúc với đường tròn I; IA . 
Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD µA Bµ 90 có I là trung điểm của AB và góc C· ID 90 . 
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB .
Bài tập về nhà: 
Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD µA Dµ 90 . AB 4cm, BC 13cm ,CD 9cm .
 a) Tính độ dài AD .
 b) Chứng minh rằng đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC .
DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
Bài 11: Cho I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA thứ tự tại D, E, F . 
 Chứng minh rằng:
 a) 2AD AB AC BC .
 b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
Bài 12: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp đường tròn I; r thì diện 
tích S của tam giác có công thức S pr .
Bài 13: Cho tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp I; r gọi a, b, c, ha , hb , hc thứ tự là độ dài 
 và chiều cao tương ứng của các cạnh BC, CA, AB . Chứng minh rằng:
 1 1 1 1
 a) .
 ha hb hc r
 1 1 1 
 b) ha hb hc 2 pr .
 a b c 
Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường 
tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường 
tròn cắt Ax, By thứ tự tại C và D . Chứng minh rằng: 
 a) C· OD 90 .
 b) CD AC BD .
 c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI DÂU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 (MỨC ĐỘ TRÊN CƠ BẢN)
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN
Bài 1: Cho O có bán kính OA R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. 
c) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? 
d) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳngOA tại E . Tính độ dài BE theo R. 
 Giải:
a) Trên hình 98 vì OA vuông góc với dây BC nên B
 BM MC; AM MO gt suy ra ABOC là hình thoi (vì có hai 
 E
 A
 đường chéo AO, BC vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung M O
 điểm của mỗi đường).
b) Vì ABOC là hình thoi nên AB BO OA R, hay tam giác ABO 
 C
 · ·
 đều OO 600. 
 Vì EB tiếp xúc với O tại B nên OB  BE hay tam giác OBE vuông tại B. Lúc đó cạnh BE 
 đối diện với góc 60 nên
 BE
 tan 60 BE BO.tan 60 R 3. 
 BO
Bài 2: Từ điểm A ở ngoài O kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 
d) Chứng minh rằng OA  BC. 
e) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng 
f) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB 2cm, OA 4cm. 
 Giải
a) Trên hình 99 ta có AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). 
 OB OC (vì bán kính của O ), suy ra OA là trung trực của đoạn BC nên 
 OA  BC. 1 B D
b) Vì tam giác BCD có cạnh CD là đường kính của đường tròn A
 ngoại tiếp nên tam giác BCD vuông tại B hay BC  BD 2 . I O
 Từ (1) và (2) suy ra BD / / AO. 
c) Do AB tiếp xúc với O tại B , nên AB  BO, hay tam giác ABO C
 Hình 99
 vuông tại B có cạnh huyền AO 2BO 4cm. 
 ·
 Suy ra A 30 , do đó B· AC 60 hay tam giác ABC là tam giác đều đồng thời B· OA 60 . 
 Trong tam giác ABO vuông tại B có cạnh AB đối diện với góc 60 nên
 AB 3
 sin 60 AB AO.sin 60 4. 2 3 cm . 
 AO 2
Bài tập về nhà: Bài 3: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn O . Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn đó 
(M, N là các tiếp điểm).
 a) Chứng minh rằng OA  MN. 
 b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC / / AO. 
 c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM 3cm, OA 5cm. 
Bài 4: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, 
E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MD, ME 
theo thứ tự ở P và Q . Biết MD 5cm. Tính chu vi tam giác MPQ.
Bài 5: Từ điểm A nằm bên ngoài O, 6cm có OA 10cm, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường 
tròn (B, C là các tiếp điểm).
 Gọi H là giao điểm của AO và BC. 
 c) Tính độ dài OH. 
 d) Tính độ dài AB. 
DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG 
TRÒN
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB 3, AC 4, BC 5. Vẽ B; BA . Chứng minh rằng AC là tiếp 
tuyến của đường tròn.
 Giải (H.100) 
 Vì AC đi qua điểm A thuộc đường tròn B; BA . Ta còn 
 phải chứng minh: BA  AC. B
 2 2 2 2 2 2
 Do 5 3 4 hay BC AB AC . 3
 5
 Suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lí đảo của Py-ta-
 go). A 4 C
 Hình 100
 Vậy BA  AC hay AC là tiếp tuyến của B . 
Bài 7: Cho O dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến tại 
 A của đường tròn ở điểm C. 
 c) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn. d) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB 24cm. Tính độ dài OC. 
 Giải (H.101) C
 a) Vì CB đi qua điểm B thuộc O . Ta còn phải chứng minh OB  BC 
 hay O· BC 90 . 
 Do OC vuông góc với dây AB nên B đối xứng A qua 
 OC; O đối xứng với O qua OC. C đối xứng với C qua OC 
 nên góc OBC đối xứng với gócOAC bằng 90 qua OC A 12 B
 suy ra O· BC 90 . I
 15
 Vậy CB là tiếp tuyến của O . O
 b) Trên hình 101 do OC vuông góc với dây AB tại I nên 
 AB
 AI 12 cm . 
 2 Hình 101
 Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác AOI vuông tại I có cạnh huyền OA 15cm, thu 
 được
 OA2 AI 2 IO2 hay 152 122 OI 2 
 OI 2 9.OC OC 25 cm . 
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ phân giác trong của Bµ cắt AC tại I. Chứng minh 
rằng BC tiếp xúc với đường tròn I; IA . 
 A
 Giải
 Trên hình 102 kẻ IH  BC thì IH là I
 khoảng cách từ tâm I của I; IA đến cạnh 
 BC. 
 Ta thấy IH IA (tính chất tia phân giác của B
 một góc). H C
 Hình 102
 Vậy BC tiếp xúc với I; IA . 
Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD µA Bµ 90 có I là trung điểm của AB và góc C· ID 90 . 
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . Giải (H.103) 
 Vì C· ID 90 nên DI  CE hay DI là đường cao của tam giác B C
 CDE ( E là giao điểm của CI và DA ). (1)
 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho BC / /EA thu được 
 CI BI
 1 hay CI IE . (2)
 IE IA H
 Từ (1) và (2) suy ra tam giác CDE cân tại D . Lúc đó : I
 µ ¶
 E C2 (tính chất tam giác cân). (3)
 µ µ
 Lại có C1 E (so le trong) (4). Từ (3) và (4) suy ra CI 
 là tia phân giác của góc BCD .
 Kẻ IH  CD thì IH là khoảng cách từ tâm I E
 A D
 của đường tròn đường kính AB đến CD . Ta thấy Hình 103
 IH IB (tính chất tia phân giác). Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB .
Bài tập về nhà: 
Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD µA Dµ 90 . AB 4cm, BC 13cm ,CD 9cm .
 a) Tính độ dài AD .
 b) Chứng minh rằng đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC .
DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
Bài 11: Cho I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA thứ tự tại D, E, F . 
 Chứng minh rằng:
c) 2AD AB AC BC .
d) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
 Giải
 a) Trên hình 104 có những đoạn tiếp tuyến bằng nhau: AD AF, BD BE, CE CF .
 Đặt: AD AF x , BD BE y , CE CF z thì A x y AB 1 , 
 y z BC 2 , z x CA 3 x
 F
 Cộng (1), (2), (3) theo vế, thu được D r
 AB BC CA z
 x y z . 4 I
 2
 B
 Trừ (4) cho (2) theo vế, thu được y E C
 Hình 104
 AB BC CA
 x BC .
 2
 Vậy 2AD AB AC BC . b) Nhờ tính đối xứng của AB, BC, CA theo câu a) ta có
 2BE BA BC CA, 2CF CA CB AB .
Bài 12: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp đường tròn I; r thì diện 
tích S của tam giác có công thức S pr .
 Giải
 Như hình 104. Vì IA, IB, IC chia tam giác ABC thành ba tam giác IAB, IBC, ICA 
 không có điểm trong chung.
 Nên S SIAB SIBC SICA 
 1 1 1 AB BC CA
 r.AB r.BC r.CA r. pr (đpcm)
 2 2 2 2
Bài 13: Cho tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp I; r gọi a, b, c, ha , hb , hc thứ tự là độ dài 
 và chiều cao tương ứng của các cạnh BC, CA, AB . Chứng minh rằng:
 1 1 1 1
c) .
 ha hb hc r
 1 1 1 
d) ha hb hc 2 pr .
 a b c 
 Giải
 a) Tính diện tích tam giác ABC bằng hai cách:
 a b c a b c
 Cách 1: 2S ah bh ch .
 a b c 1 1 1 1 1 1
 ha hb hc ha hb hc
 Cách 2: 2S 2 pr (theo Ví dụ 2).
 Do tam giác ABC chỉ có một diện tích nên
 2 p 1 1 1 1
 2 pr hay (đpcm).
 1 1 1 h h h r
 a b c
 ha hb hc
 b) Tương tự như cách làm ở câu a) ta có:
 h h h h h h
 2S ah bh ch a b c a b c 2 pr .
 a b c 1 1 1 1 1 1
 a b c a b c
 1 1 1 
 Vậy ha hb hc 2 pr .
 a b c Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa 
 D
đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp 
tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự tại C và D . Chứng minh rằng: 
 · 
 d) COD 90 . M
 e) CD AC BD .
 f) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa C
 đường tròn. 3
 2
 Giải (H.105) 4
 1
 Ta có: A O B
 Hình 105
 µ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ ¶ ¶ ¶ 
 O1 O2 O O O O O O O O 180 
 a) 1 4 3 2 1 2 3 4 90 .
 ¶ ¶ 1 1 2 2
 O3 O4
 hay C· OD 90 .
 CM CA
 b) CD CA BD .
 DM DB
 c) Gọi bán kính của nửa đường tròn là R thì OM R .
 Áp dụng hệ thức về đường cao h2 b c cho tam giác COD vuông tại O thu được: 
 OM 2 MC.MD AC.BD R2 (không đổi).