Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 31: Ôn tập học kì 1 (Có đáp án)

 TIẾT 31: ÔN TẬP HỌC KỲ I
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, biết BC = 9cm, Bµ = 300
 a) Giải tam giác ABC.
 b) Kẻ đường cao AH của ABC . Tính AH, BH.
 b) Vẽ AD là tia phân giác góc A (D BC). Tính AD. 
 Hướng dẫn B
 a) ABC (Â = 900) có: 
 30°
 Cµ 900 Bµ 900 300 600 
 D
 H
 AB = BC. sin C = 9. sin 600 7,79 (cm)
 0
 AC = BC. sin B = 9. sin 30 = 4,5 (cm) A C
 b) ABC (Â = 900), AH  BC
 AB.AC 7,79.4,5
 Ta có: AH. BC = AB. AC. Suy ra: AH 3,9(cm)
 BC 9
 AB2 7,792
 Lại có: AB2 = BH. BC BH 6,74 (cm)
 BC 9
 1 1
c) Ta có: B· AD B· AC .900 450 (AD là tia phân giác Â)
 2 2
 ·ADH ·ABH B· AD 300 450 750 
 AH AH 3,9
 ADH (Hµ 900 ) có: sin ·ADH AD 4,04(cm)
 AD sin ·ADH sin 750
Bài 2: ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC, AH, Bµ,Cµ ?
 AB2 BH
b) Chứng minh 
 AC 2 CH
 HE 2 HF 2
c) Chứng minh 1
 BH 2 HC 2
 Hướng dẫn
 a) ABC Aµ 900 , AH  BC A
 F
 +) BC2= AC2+AB2 => BC= 10 (cm)
 +) AH.BC=AB.AC => AH= 4,8 (cm) E
 C
 8
 +) sin B = Bˆ 530 B H
 10 
 +) Bˆ + Cˆ = 900 Cˆ 370
b) Ta có: AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 
 AB2 BH.BC AB2 BH
 Suy ra . Vậy 
 AC 2 CH.BC AC 2 CH
 HE HE 2
c) +) sin B sin2 B 
 BH BH 2
 HF HF 2
 +) sin C sin2 C 
 CH CH 2
 HE 2 HF 2
 Suy ra: sin2B + sin2C = 
 BH 2 HC 2
 HE 2 HF 2 HE 2 HF 2
 Do đó: sin2B + cos2B 1 1
 BH 2 HC 2 BH 2 HC 2
Bài 3 Cho ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại H
 a) Chứng minh: AH  BC
 b) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O)
 c) Tia phân giác của H· AC cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Chứng minh: DA. DE = DC2
 Hướng dẫn
 a) AHC nội tiếp (O), AC là đường kính
Nên AHC vuông tại H B
Vậy AH  BC H
b) AHB vuông tại H, HM là đường trung tuyến M D
 1 E
Suy ra: HM = AM (= AB)
 2
 A C
 AMO và HMO có: O
 AM =HM, MO chung, OA=OH(=R)
Nên: AMO = HMO (c.c.c) Suy ra: M· HO = ·MAO = 900 
Do đó: MH  OH tại H, mà H (O)
Vậy: MH là tiếp tuyến của (O)
c) ADC nội tiếp (O), AC là đường kính
Nên ADC vuông tại D => A· DC = 900
 AHE và CDE có: 
 A· EH = D· EC (đối đỉnh), A· HE = ·EDC (=900 ) 
Nên: H· AE = D· CE 
Mà: H· AE = D· AC(AD là tia phân giác H· AC ) 
Suy ra: D· CE = D· AC
 DAC và DCE có: D· CE = D· AC ; A· DC chung
Nên: DAC ∽ DCE (g.g)
 DA DC
Suy ra: = 
 DC DE
Vậy: DA. DE = DC2
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. M là một điểm tuỳ ý trên đường 
tròn ( M A, M B). Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường 
tròn cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường 
tròn cắt Ax và By tại C và D.
 a. Chứng minh: CD = AC + BD và tam giác COD vuơng tại O .
 b. Chứng minh: AC.BD = R2
 c. Cho biết AM =R Tính theo R diện tích BDM .
 d. AD cắt BC tại N. Chứng minh MN // AC .
 y
 x
 Hướng dẫn
a/. CA = CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) D
 M
 DB = DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 C
 CD = CM + MD = CA + DB
 N
Hay CD = AC + BD
* Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM A O B OD là tia phân giác của góc BOM 
Mà góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù 
Nên: CÔD = 900 
Vậy tam giác COD vuông tại O 
b/Tam giác COD vuông tại O có OM  CD 
 OM2 = CM.MD (2) 
 Suy ra: AC.BD = R2 
 3R2 3
c)Tam giác BMD đều => S = (đvdt) 
 BMD 4
d) Chứng minh MN song song với AC bằng Talet đảo 
Bài 5: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là 
tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M là 
tiếp điểm).
 a. Chứng minh rằng : Tam giác ABM là tam giác vuông
 b. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O). Chứng minh 3 điểm A; M; C thẳng hàng.
 c. Biết AB = 8cm; AC = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM
 Hướng dẫn
 B
a/Theo giả thiết IM,IB là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
 I
=>IM = IB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) O
 A
 1
Mà IA = IB (gt) suy ra MI = AB
 2 M
 C
Vậy tam giác AMB vuông tại M
 1
b/Trong tam giác BMC ta có OM = OB = OC ( Bán kính đường tròn (O)) => MO = BC
 2
 => BMC vuông tại M 
 Ta có ·AMB B· MC 900 900 1800
 Vậy A· MC 1800 Nên 3 điểm A,M,C thẳng hàng
c/Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) => AB  OB( T/c tiếp tuyến)
 ABC vuông tại B ta có BM  AC
 B
 I
 O
 A
 M
 C => AB2 AM.AC ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 AB2
 => AM Thay số được AM = 6,4
 AC
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa 
đường tròn ,từ một điểm M trên nửa đường tròn( M khác Avà B) vẽ tiếp tuyến với nửa 
đường tròn và cắt Ax ; By theo thứ tự ở D và C .Chứng minh :
a) C· OD 900 b) DC = DA + BC 
c) Tích AD.BC không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O
d) Cho biết AM =R Tớnh theo R diện tớch BMC
e) Gọi N là giao điểm của AC và BD .Chứng minh MN  AB
 Hướng dẫn
a) Ta có : D OD là tia phân giác của A· OM
 C
Tương tự : OC là tia phân giác của B· OM
Mà : A· OM và B· OM là hai góc kề bù 
Nên : OC  OD ( tính chất tia phân giác của hai góc kề bù ) M
 · 0
Hay : COD 90 D
b) DA = DM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau ) N
 CB = CM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )
 A 0 B
Vậy : DA + CB = DM + CM = DC 
c ) AD.BC = R2 , mà R không đổi. Do đó AD.BC không đổi khi M di chuyển trên nửa đường 
tròn tâm 0
 3R2 3
d) BMC đều => S = đvdt 
 BMC 4
e ) Xét VBNC có DA // CB ( cùng vuông góc với AB ) 
 AD DN
Suy ra : (hệ quả của ĐL Talet )
 CB NB
Mà : DA = DM ( cmt ) CB = CM ( cmt )
 DM DN
Do đó : 
 CM NB
 DM DN
Trong tam giác BDC có (cmt) MN // CB ( ĐL Talet đảo )
 CM NB
Mà : CB  AB ( do CB là tiếp tuyến ) 
Vậy : MN  AB 
Bài 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có O; O’cố định ; bán kính thay đổi ; tiếp xúc ngoài 
nhau tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D (O), E (O’) (D, E là các tiếp điểm). Kẻ tiếp 
tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của 
O’I và AE.
a/ Chứng minh I là trung điểm của DE.
b/ Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.Từ đó suy ra hệ thức IM. IO = IN.IO’
c/ Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE
d/ Tính DE, biết OA = 5cm , O’A = 3cm
e) Khi D, E lần lượt chuyển động trên (O) và (O’) thì I chạy trên đường nào? Vì sao?
 Hướng dẫn 
a/ Tính được ID = IA ; IE = IA ID = IE 
b/ Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật 
Suy ra: IA2 = IM . IO
 IA2 = IN . IO’
 IM.IO = IN.IO’ 
c/ Do IA = ID = IE I là tâm đường tròn ngoại tiếp ADE 
Nêu lí do OO’  IA 
 OO’ là tiếp tuyến của (I) 
d/ Tính đúng IA = 15 (cm) Suy ra DE = 2 15 (cm) 
e/ IOO' vuông tại I , O, O’ cố định OO’ không đổi , nên I chạy trên đường tròn đường 
kính OO’. Bài 8: Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho MAB 
= 600. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
 1. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):
 2. Chứng minh MN2 = 4 AH .HB .
 3. Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
 4. Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.
 Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng. 
 Hướng dẫn 
 M
 60
 A  B
 H O
 N E F
1. ΔAMB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên ΔAMB vuông ở M.
Điểm M (B;BM), AM  MB nên AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM)
Chứng minh tương tự ta được AN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM)
 1
2. Ta có: AB  MN ở H MH = NH = MN (1) (tính chất đường kính và dây cung) 
 2
ΔAMB vuông ở B, MH  AB nên: 
 MH2 = AH . HB ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 2
 MN 2
 Hay AH. HB MN 4AH.HB (đpcm) 
 2 
3) Từ (1) suy ra AB là là đường trung trực MN nên BM = BN.
 M· AB N· MB 600 (cùng phụ với M· BA ). Suy ra BMN đều
 OAM có OM = OA = R và M· AO 600 nên OAM đều . 
 OA OB
 MH  AO nên HA = HO = = 
 2 2 1
 MBN có BH là đường trung tuyến (vì HM = HN) và OH = OB nên O là trọng tâm 
 2
của tam giác . 
4) ΔMNE nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB nên ΔMNE vuông ở N MN  EN
ΔMNF nội tiếp đường tròn (B) đường kính MF nên nó vuômg ở N MN  FN
 Do đó ba điểm N, E, F thẳng hàng.