Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 34: Ôn tập chương II - Huy Huân (Có đáp án)

 HH9 TIẾT 34 – ÔN TẬP CHƯƠNG II – HUY HUÂN
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AH, BK. Gọi D là giao điểm 
thứ hai của AH và đường tròn (O).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng CD2 = DH.AD;
c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, 
BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh MAB là tam giác vuông.
b) Chứng minh NE  AB
c) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 3: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của đoạn thẳng OA.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC là hình thoi.
b) Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Biết OA = 3 cm. tính độ dài các cạnh của tam giác MBC.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại điểm D và E. 
Gọi H là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
 a) Bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.
 b) CH  AB.
 c) AH.AE + BH.BD = AB2.
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn AB AC , có các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi O là trung 
điểm của BC. Chứng minh rằng:
 a) Bốn điểm B, M , N,C cùng thuộc một đường tròn.
 b) ON là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AH.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm (O;R), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của 
nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C 
đến AB. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABNM là hình thang vuông.
b) AC là tia phân giác của B· AM .
c) CH2 = AM.BN.
Bài 7: Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB và điểm M thuộc đường tròn (M khác A và B). Gọi Ax, By 
là các tia vuông góc với AB (Ax, By và M cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M, kẻ tiếp 
tuyến với đường tròn (O) cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) OC cắt AM tại H, OD cắt BM tại K. Chứng minh: tứ giác OHMK là hình chữ nhật.
c) Chứng minh: AC.BD = R2.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với đoạn AB tại A 
và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M 
thuộc nửa đường tròn tâm O ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự 
tại C và D.
 1. Chứng minh rằng C· OD 900
 2. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
 3. Gọi H là hình chiếu của M trên AB, điểm I là giao điểm của BC và MH. Chứng minh rằng IM = 
 IH.
Bài 9: Cho một góc nhọn xBy.Từ một điểm A trên tia Bx (A B) Vẽ AH  By (H By) 
 và vẽ AD vuông góc với tia phân giác của góc xBy tại D.
a) Chứng minh bốn điểm A,B,H,D cùng thưộc một đường tròn; xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Chứng minh OD  AH
c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BD, BH lần lượt tại E và F.Chứng minh : BDH BFE
Bài 10: Cho đường tròn O; R và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của O; R , 
( B,C là các tiếp điểm). 
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B,O,C cùng thuộc một đường tròn;
b) Lấy điểm I trên đường tròn O; R sao cho tia OI nằm giữa hai tia OA và OB. Qua I vẽ đường thẳng tiếp 
xúc với đường tròn O; R cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MB NC MN;
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng 
 PQ2
PM.QN .
 4
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AH, BK. Gọi D là giao điểm 
thứ hai của AH và đường tròn (O).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng CD2 = DH.AD;
c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).
Hướng dẫn giải 
 A
 O
 K
 B H C
 D
a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K cùng thuộc một đường tròn đường kính AB.
b) Khẳng định AD là đường kính của đường tròn (O).
Tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O).
 ACD vuông tại C (định lý) 
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACD ta có:
CD2 = DH.AD (điều phải chứng minh)
 BC 24
c) Tính được BH = HC = 12 (cm)
 2 2
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHC
Tính được AH = 16 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACD
Tính được AD = 25 (cm)
Vậy AH = 16 (cm) và bán kính đường tròn (O) bằng 12,5 cm
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, 
BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh MAB là tam giác vuông.
b) Chứng minh NE  AB
c) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng dẫn giải N
 F C
 M
 E
 A O B
 1
a) Có OM=OA=OB (Cùng là bán kính) => MO = AB => Tam giác MAB vuông tại M
 2
b) Tương tự tam giác CAB vuông tại C 
Theo chứng minh trên thì suy ra AC và BM là đường cao của tam giác NAB, chúng cắt nhau tại E. Suy ra 
NE cũng là đường cao nên NE  AB 
c) Khẳng định tứ giác AFNE là hình thoi. Suy ra AF // NE nên AF  AB
Suy ra AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
Bài 3: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của đoạn thẳng OA.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC là hình thoi.
b) Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Biết OA = 3 cm. tính độ dài các cạnh của tam giác MBC.
 Hướng dẫn giải
 B
 M A
 H O
 C
a) Vì BC vuông góc với OA tại trung điểm H của đoạn thẳng OA nên 
BC là đường trung trực của đoạn OA (gt) Do đó: AB = OB; OC = AC (tính chất) (1)
Mà OB = OC (đều là bán kính của đường tròn (O)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC = AC = AB
Xét tứ giác ABOC có OB = OC = AC = AB (cm trên) nên tứ giác ABOC là hình thoi (dấu hiệu nhận biết) 
b) Vì M là điểm đối xứng với O qua A (gt) nên AO = AM (tính chất), mà AB = OA (cm trên). 
Do đó AB = AM = AO 
Xét tam giác MOB có AB = AM = AO => Tam giác MOB vuông tại B 
=> M· BO = 900 hay MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
c) Tương tự phần b) ta chứng minh được: MC cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Vì MB và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên MB = MC (tính chất)
Tam giác AOB có OA = OB = AB => Tam giác AOB đều => A· OB = 600
Trong tam giác MOB vuông tại B, ta có: MB = OB.tan 600 3. 3 3 => MC = MB = 3 (cm)
 1
Vì BC  OA tại H (gt) nên theo định lí về đường kính vuông góc với dây, ta có: HB = HC = BC
 2
 3 3
Trong tam giác OBH vuông tại H, ta có: BH = OB.Sin600 3. (cm) => BC = 2BH = 3 (cm)
 2 2
Vậy tam giác MBC có MB = MC = BC = 3 (cm)
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại điểm D và E. 
Gọi H là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
 a) Bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.
 b) CH  AB.
 c) AH.AE + BH.BD = AB2.
Hướng dẫn giải
: 
 C
 E
 D
 H
 A
 K B
a) Các tam giác ABD và ABE nội tiếp đường tròn đường kính AB nên các tam giác ABD và ABE là các tam 
giác vuông
 Do đó: A· DB A· EB 900 H· DC H· EC 900
Khẳng định bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn đường kính CH
b) Do các tam giác ABD và ABE là các tam giác vuông nên
BD  AC; AE  BC
Mà H là giao điểm của AE và BD nên H là trực tâm của tam giác ABC
Do đó: CH  AB
c) Giả sử: CH  AB tại K
Chứng minh được: AEB AKH (g.g) 
 AE AB
=> = AE.AH = AB.AK (1)
 AK AH
Chứng minh tương tự: BDA BKH (g.g) 
=> BH.BD = AB.BK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
AH.AE + BH.BD = AB(AK + BK) = AB.AB = AB2 
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn AB AC , có các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi O là trung 
điểm của BC. Chứng minh rằng:
 a) Bốn điểm B, M , N,C cùng thuộc một đường tròn.
 b) ON là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AH.
Hướng dẫn giải A
 I
 N
 M
 H
 B Q O C
a) Chỉ ra B· MC 900 , B· NC 900
Tam giác BMC vuông tại M nên ba điểm B, M ,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC 1 
Chứng minh tương tự ba điểm B, N,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC 2 
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, M , N,C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC.(điều phải chứng minh)
 AH
b) Gọi I là trung điểm của AH thì đường tròn đường kính AH có tâm là I, bán kính 
 2
 AH 
HS chứng minh được N I, 
 2 
Gọi Q là giao điểm của AH và BC thì AQ  BC tại Q
Chứng tỏ được I·NH I·HN B· HQ
Chứng tỏ được O· NB O· BN
O· BN B· HQ 900
Chỉ ra được O· NI I·NH O· NB 900 ON  NI tại N
Từ đó lập luận được ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm (O;R), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của 
nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C 
đến AB. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABNM là hình thang vuông.
b) AC là tia phân giác của B· AM .
c) CH2 = AM.BN.
Hướng dẫn giải d
 N
 C
 M
 A H O B
a) Vì M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d (gt) nên
AM  d, BN  d => AM // BN 
Xét tứ giác ABNM có: AM // BN ; A· MN 900 (do AM  d )
Do đó, tứ giác ABNM là hình thang vuông.
b) Xét AOC có: OA = OC = R => Tam giác AOC cân tại O.
Tam giác AOC cân tại O nên C· AO = O· CA (1)
Do AM // OC (cùng vuông góc với d) nên M· AC = O· CA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: M· AC = C· AO => AC là tia phân giác của góc BAM.
c) AMC AHC (cạnh huyền – góc nhọn) => AM = AH (3)
Tương tự: BN = BH (4)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: CH2 = AH.BH (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: CH2 = AM.BN 
Bài 7: Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB và điểm M thuộc đường tròn (M khác A và B). Gọi Ax, By 
là các tia vuông góc với AB (Ax, By và M cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M, kẻ tiếp 
tuyến với đường tròn (O) cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) OC cắt AM tại H, OD cắt BM tại K. Chứng minh: tứ giác OHMK là hình chữ nhật.
c) Chứng minh: AC.BD = R2.
Hướng dẫn giải D
 M
 C
 H K
 A B
 O
a) Ta có: AC = MC và BD = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> AC + BD = MC + MD
=> AC + BD = CD
b) Ta có: OA = OM = R và CA = CM (chứng minh trên)
=> OC là đường trung trực của AM => OC  AM
Chứng minh tương tự ta có OD  MB
 AMB nội tiếp đường tròn (O) có đường kính là cạnh AB 
=> AMB vuông tại M
Tứ giác OHMK có: M· HO H· MK M· KO 900
Vậy tứ giác OHMK là hình chữ nhật 
c) COD vuông tại O (tứ giác OHMK là hình chữ nhật), có đường cao OM
=> OM2 = MC.MD
Mà MC = AC, MD = BD (chứng minh trên)
=> AC.BD = OM2 = R2
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với đoạn AB tại A 
và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M 
thuộc nửa đường tròn tâm O ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự 
tại C và D.
 4. Chứng minh rằng C· OD 900
 5. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
 6. Gọi H là hình chiếu của M trên AB, điểm I là giao điểm của BC và MH. Chứng minh rằng IM = 
 IH.
Hướng dẫn giải 
 x y
 N D
 M
 C
 I
 A H O B
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
OC và OD là các tia phân giác của A· OM và B· OM , mà A· OM và B· OM là hai góc kề bù. Do đó OC  OD
Vậy C· OD 900 (đpcm).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
 CA = CM ; DB = DM 
Mặt khác: CD = CM + MD ( vì M nằm giữa C và D ) 
Do đó: CD = AC + BD (đpcm)
Ta có: CA = CM (cm trên) => Điểm C thuộc đường trung trực của AM (1)
 OA = OM = R => Điểm O thuộc đường trung trực của AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM => OC  AM , mà BM  AM . Do đó OC // BM .
Gọi BM  Ax N . 
Vì OC // BM => OC // BN 
Xét ABN có: OC // BN, mà OA = OB = R => CA = CN. (3)
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào hai tam giác BAC và BCN, ta có:
 IH BI IM BI
 = và =
 CA BC CN BC
 IH IM IH CA
Suy ra = hay = 1 (4)
 CA CN IM CN
Từ (3) và (4) suy ra IH = IM 
Bài 9: Cho một góc nhọn xBy.Từ một điểm A trên tia Bx (A B) Vẽ AH  By (H By)