Phiếu bài tập số 2 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 2: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Có đáp án)

 HỌC KÌ I – TUẦN 2 – TIẾT 2 – MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho DABC vuông ở A , AB = 30cm, AC = 40cm , đường caoA H , trung tuyến AM . 
 a) TínhBH, HM , MC . b) TínhA H . 
Bài 2: Cho DABC vuông ở A , đường caoA H . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của
 AB, AC . Biết HM = 15cm ,HN = 20cm . Tính HB, HC, AH. 
Bài 3: Cho hình thang ABCD, Aµ Dµ 90o , hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. 
Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.
Bài 4: Cho hình thang cân ABCD, AB // CD, AD  AC. Biết AB = 7cm, CD = 25cm. Tính diện 
tích hình thang.
Bài 5: Cho hình thang ABCD, Aµ Dµ 90o. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết 
OB = 5,4cm; OD = 15cm.
 a) Tính diện tích hình thang;
 b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và 
 N. Tính độ dài MN.
Bài 6: Cho ABC có đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC. C/m: 
 AB.AM AC.AN
Bài 7: Cho ABC vuông tại A. Từ trung điểm D của AC kẻ DE  BC tại E. C/m:
 a) BE 2 CE 2 BD2 CD2 b) AB2 BE 2 CE 2
Bài 8: Cho ABC nhọn, O là 1 điểm tuỳ ý ở miền trong tam giác. Kẻ OH, OK, OL lần lượt vuông 
góc AB,BC,AC tại H,K,L. C/m:
 a) AH 2 BK 2 CL2 OA2 OB2 OC 2 OH 2 OK 2 OL2
 b) AH 2 BK 2 CL2 AL2 BH 2 CK 2
Bài 9: Tại một vị trí trên bờ, bạn An có thể xác định được B
khoảng cách hai chiếc thuyền ở vị trí A, vị trí B bằng cách 
như sau: Trước tiên, bạn chọn một vị trí trên bờ ( điểm I) 
sao cho ba điểm I, A, B thẳng hàng. Sau đó, bạn di chuyển A
theo hướng vuông góc với IA đến vị trí điểm K cách điểm 
 150
I khoảng 380m. Bạn dùng giác kế nhắm vị trí điểm A, 
điểm B thì đo được góc 150 . Còn khi bạn nhắm vị trí điểm 500
A, điểm I thì đo được góc 50 0. Hỏi khoảng cách hai chiếc I 380m K
thuyền là bao nhiêu? Bài 10:
Cầu Cần Thơ là cầu nối qua sông Hậu cũng là cầu dây văng lớn nhất Đông Nam Á. Cầu 
được khởi công năm 2004 và nối liền thành phố Cần Thơ và tỉnh Vĩnh Long. Cầu có 4 làn 
dành cho xe hơi và 2 làn dành cho xe gắn máy. 
Nếu vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích 1: 20000 thì chiều dài của cây cầu trên bản đồ là 7,676cm. Biết 
độ cao từ điểm cao nhất của mặt cầu và mặt sông là 37,5m. Em hãy tính góc tạo bởi mặt 
cầu và mặt sông? (hình minh họa) HỌC KÌ I – TUẦN 2 – TIẾT 2 – MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho DABC vuông ở A , AB = 30cm, AC = 40cm , đường caoA H , trung tuyến AM . 
 a) TínhBH, HM , MC . b) TínhA H . 
Giải.
a) Xét tam giác ABC vuông tại A 
 BC AC 2 AB2 50 cm
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
 AB2 302
 AB2 BC.BH BH 18cm.
 BC 50
 AH AB2 BH 2 24 cm
 1
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên AM BC 25 cm
 2
 HM AM 2 AH 2 7 cm.
 1
 MC BC 25cm ( M là trung điểm của BC ).
 2
b) AH.BC AB.AC AH 24 cm
Bài 2: Cho DABC vuông ở A , đường caoA H . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của
 AB, AC . Biết HM = 15cm ,HN = 20cm . Tính HB, HC, AH. 
Giải.
 Xét tam giác ABH vuông tại H có HM là trung 
 1
tuyến nên HM AB A
 2
 AB 2HM 30 cm.
 M N
Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung 
 1
tuyến nên HN AC 
 2 B
 H C
 AC 2HN 40 cm.
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
 1 1 1 1 1 1 1
 AH 24 cm
 AH 2 AB2 AC 2 AH 2 302 402 576
 HB AB2 AH 2 18cm HC AC2 AH 2 32 cm AB.AC
PP khác: Tính BC = = 50 cm ( hoặc tính theo Pytago tam giác vuông ABC)
 AH
 AB 2
 AB 2 = BH.BC Þ BH = = 18 cm ; HC = BC - BH = 50 - 18 = 32 cm .
 BC
Bài 3: Cho hình thang ABCD, Aµ Dµ 90o , hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. 
Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.
Giải.
 ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có: 
AC2 = AD2 + DC2 = 122 + 162 = 400. 
Suy ra AC = 20 (cm).
 ADC vuông tại D, DO là đường cao nên 
AD.DC = AC.DO (hệ thức 3).
 AD.DC 12.16
Suy ra OD 9,6 (cm).
 AC 20
 AD2 122
Ta lại có AD2 = AC.AO (hệ thức 1) nên OA 7,2 (cm).
 AC 20
Do đó OC = 20 – 7,2 = 12,8 (cm).
Xét ABD vuông tại A, AO là đường cao nên AO2 = OB.OD (hệ thức 2).
 AO2 7,22
 OB 5,4 (cm).
 OD 9,6
Bài 4: Cho hình thang cân ABCD, AB // CD, AD  AC. Biết AB = 7cm, CD = 25cm. Tính diện 
tích hình thang.
Giải.
Vẽ AH  CD, BK  CD. 
Tứ giác ABKH là hình chữ nhật, suy ra HK = AB = 7cm.
 ADH = BCK (cạnh huyền, góc nhọn). 
Suy ra DH = CK = (CD – HK) : 2 = (25 – 7) : 2 = 9 (cm).
Từ đó tính được HC = CD – DH = 25 – 9 = 16 (cm).
Xét ADC vuông tại A, đường cao AH ta có: AH2 = HD.HC (hệ thức 2).
Do đó AH2 = 9.16 = 144 AH = 12 (cm).
Diện tích hình thang ABCD là: 
 (AB CD)AH (7 25).12
 S 192 (cm2).
 2 2 Bài 5: Cho hình thang ABCD, Aµ Dµ 90o. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết 
OB = 5,4cm; OD = 15cm.
 a) Tính diện tích hình thang;
 b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và 
 N. Tính độ dài MN.
Giải.
* Tìm cách giải
Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC
là có thể tính được diện tích hình thang. 
Muốn vậy phải tính OA và OC.
* Trình bày lời giải
a) Xét ABD vuông tại A có AO  BD nên OA2 = OB.OD (hệ thức 2).
Do đó OA2 = 5,4.15 = 81 OA = 9 (cm).
 Xét ACD vuông tại D có OD  AC nên OD2 = OA.OC (hệ thức 2).
 OD2 152
 OC 25 (cm).
 OA 9
Do đó AC = 25 + 9 = 34 (cm); BD = 5,4 + 15 = 20,4 (cm).
 AC.BD 34.20,4
Diện tích hình thang ABCD là: S 346,8 (cm2).
 2 2
 OM AO
b) Xét ADC có OM // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (1)
 CD AC
 ON BN
Xét BDC có ON // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (2)
 CD BC
 AO BN
Xét ABC có ON // AB nên (định lí Ta-lét). (3)
 AC BC OM ON
Từ (1), (2), (3) suy ra . 
 CD CD
Do đó OM = ON.
 1 1 1
Xét AOD vuông tại O, OM  AD nên (hệ thức 4).
 OM2 OA2 OD2
 1 1 1
Do đó OM 7,7 (cm). 
 OM2 92 152
Suy ra MN 7,7.2 = 15,4 (cm).
Bài 6: Cho ABC có đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC. C/m: 
 AB.AM AC.AN
Giải.
Cho ABC có đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC. C/m: 
 AB.AM AC.AN
Áp dụng hệ thức lượng trong:
 ABH vuông tại H, HM là đường cao: AH 2 AB.AM
 ACH vuông tại H, HM là đường cao: AH 2 AC.AN
Suy ra AB.AM AC.AN
Bài 7: Cho ABC vuông tại A. Từ trung điểm D của AC kẻ DE  BC tại E. C/m:
 a) BE 2 CE 2 BD2 CD2 b) AB2 BE 2 CE 2
Giải.
a) 
 BD2 DE 2 BE 2
Áp dụng định lý Pitago trong BED, CED ta có: BD2 BE 2 CD2 CE 2
 2 2 2
 CD DE CE
 BD2 CD2 BE 2 CE 2 b) 
 ABD vuông tại A: AB2 AD2 BD2
 AB2 BD2 AD2 BD2 CD2 , sử dụng câu a ta có ngay AB2 BE 2 CE 2 ( BD2 CD2 )
Bài 8: Cho ABC nhọn, O là 1 điểm tuỳ ý ở miền trong tam giác. Kẻ OH, OK, OL lần lượt vuông 
góc AB,BC,AC tại H,K,L. C/m:
 a) AH 2 BK 2 CL2 OA2 OB2 OC 2 OH 2 OK 2 OL2
 b) AH 2 BK 2 CL2 AL2 BH 2 CK 2
Giải.
a) 
 AH 2 OH 2 OA2 AH 2 OA2 OH 2
 2 2 2 2 2 2
Ta có AOH, BOK, COL vuông tại H,K,L: BK OK OB BK OB OK , 
 2 2 2 2 2 2
 CL OL OC CL OC OL
cộng vế theo vế ta có đpcm
b) 
 AL2 OL2 OA2 AL2 OA2 OL2
 2 2 2 2 2 2
Ta có BOH, COK, AOL vuông tại H,K,L: BH OH OB BH OB OH , 
 2 2 2 2 2 2
 CK OK OC CK OC OK
cộng vế theo vế ta có AL2 BH 2 CK 2 OA2 OB2 OC 2 OH 2 OK 2 OL2 , kết hợp với câu a 
ta có đpcm
Bài 9: Tại một vị trí trên bờ, bạn An có thể xác định được B
khoảng cách hai chiếc thuyền ở vị trí A, vị trí B bằng cách 
như sau: Trước tiên, bạn chọn một vị trí trên bờ ( điểm I) 
sao cho ba điểm I, A, B thẳng hàng. Sau đó, bạn di chuyển A
theo hướng vuông góc với IA đến vị trí điểm K cách điểm 
 150
I khoảng 380m. Bạn dùng giác kế nhắm vị trí điểm A, 
điểm B thì đo được góc 150 . Còn khi bạn nhắm vị trí điểm 500
A, điểm I thì đo được góc 50 0. Hỏi khoảng cách hai chiếc I 380m K
thuyền là bao nhiêu?
Giải. · · · 0 0 0
Do KA nằm giữa KI và KB nên: BKI BKA AKI 15 50 65 B
Xét tam giác vuông AKI, vuông tại I, ta có: 
 AI
 tan AKI AI AK.tan AKI 380.tan 500 mét 
 AK
 A
Xét tam giác vuông BKI, vuông tại I, ta có: 
 BI 0
 tan BKI BI IK.tan BKI 380.tan 650 mét 15
 IK
 500
Khoảng cách hai chiếc thuyền chính là độ dài đoạn AB:
 I 380m K
 AB BI AI 380.tan 650 380.tan 500 380. tan 650 tan 500 362 mét 
Bài 10:
Cầu Cần Thơ là cầu nối qua sông Hậu cũng là cầu dây văng lớn nhất Đông Nam Á. Cầu 
được khởi công năm 2004 và nối liền thành phố Cần Thơ và tỉnh Vĩnh Long. Cầu có 4 làn 
dành cho xe hơi và 2 làn dành cho xe gắn máy. 
Nếu vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích 1: 20000 thì chiều dài của cây cầu trên bản đồ là 7,676cm. Biết 
độ cao từ điểm cao nhất của mặt cầu và mặt sông là 37,5m. Em hãy tính góc tạo bởi mặt 
cầu và mặt sông? (hình minh họa)
Giải.
Do vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích 1: 20000 nên khi chiều dài của cây cầu trên bản đồ là 7,676cm 
thì chiều dài thực tế của cây cầu Cần Thơ là: 7,676 . 20000 = 153520 cm = 1535,2m
 Từ hình minh họa đề cho, ta có cây cầu được chia thành hai đoạn AB và AC bằng nhau. 
 1535,2
 AB AC 767,6m
 2
Xét tam giác vuông AHB, vuông tại H, ta có:
 AH 37,5
 sin ABH 0,05 ·ABH 2,80
 AB 767,6