Phiếu số 4 ĐẠI SỐ 9 : Tiết 66 : ÔN TẬP CUỐI NĂM
x x 2 x 3 x 2
Bài 1: Cho biểu thức: A 1 và B
x 1 x x 6 2 x x 3
a) Tính giá trị của A khi x 7 4 3
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Biết P A:B . Tìm x để P 2 x 1.
d) Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
Bài 2 : Giải hệ phương trình :
7 4 5
1 1 5
2
x 2 y 1 6 x y 3 x 7 y 6 3
a ) . b) 3 . c) .
3 2 5 3 13
1 2 x 3 y 19
x 2 y 1 x 7 y 6 6
x my m 1
Bài 3 : Cho hệ phương trình
mx y 3m 1.
a) Giải hệ phương trình với m 2.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 3y 1.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x.y có giá trị nhỏ nhất.
x 2y
e ) Tìm các giá trị m nguyên để nhận giá trị nguyên
2x 5y
Bài 4 : Giải các phương trình
a ) x x 15 17 ; b ) x2 x 1 x2 x 12 12
Bài 5: Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 2 0 .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
2 2
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1x2 2 .
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia.
x x
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1 2 5 .
x2 x1
f) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt, hãy tìm một hệ thức độc
lập với m liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình.
Bài 6 : Cho hàm số (P): y x2 và đường thẳng (d): y mx m 1
a) Tìm tọa độ giao điểm của P và d khi m 3
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn x1 x2 2 ( x1 , x2 là hoành
độ giao điểm của (d) và (P). d) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
e) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để
2 2
x1 mx2 m 2016 0
Bài 7 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m . Nếu tăng chiều dài 3m và tăng chiều
rộng 2m thì diện tích mảnh đất tăng 45m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lúc
đầu.
Bài 8 : Một tàu thủy đang chạy trên một khúc sông dài 150km . Cả đi lẫn về mất tất cả 11h15
phút. Tính vận tốc riêng của tàu biết vận tốc dòng nước là 3km/h .
Đáp án ( Một số cách giải )
Bài 1: a ) Đkxđ: x 0
2
Ta có: x 7 4 3 4 4 3 3 2 3 (tmđk) x 2 3
Thay x 2 3 vào biểu thức A , ta được:
2 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3
A 1 1
2 3 1 3 3 3 3 3 3 6
3 3
Vậy A khi x 7 4 3 .
6
b ) Rút gọn B :
Đkxđ: x 0, x 4
x 2 x 3 x 2
B
x x 6 2 x x 3
x 2 x 3 x 3 x 2 x 2
B
x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3
x 2 x 9 x 4
B
x 2 x 3
x 3 1
B
x 2 x 3 x 2
1
Vậy B với x 0, x 4 .
x 2
c ) Đkxđ: x 0, x 4
P A:B
x 1 x 1 x 1 x 2
P 1 : . x 2 . x 2
x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2
Để P 2 x 1 thì 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1
x 1
1
x 2 2x 2 x x 1 2x 1 x (ktmđk)
2
Vậy không có giá trị nào của x để P 2 x 1.
x 2 3
d ) Ta có P 1 (đk: x 0, x 4 )
x 1 x 1
3
Để P ¢ thì 1 ¢
x 1
3
Mà 1 ¢ nên ¢ x 1 Ư(3) x 1 1; 3
x 1
Lập bảng ta có:
x 1 3 1 1 3
x 0 4
NX Loại Loại Chọn Loại
Vậy để P ¢ thì x = 0.
x 2 3
e ) Ta có P 1 (đk: x 0, x 4 )
x 1 x 1
3
Vì x 0,x 0, x 4 x 1 1,x 0, x 4 3,x 0, x 4
x 1
3
1 1 3 2,x 0, x 4
x 1
Dấu “=” xảy ra khi x 0 x 0 (tmđk)
Vậy Pmin 2 khi x 0 .
Bài 2 : a ) *ĐK: x 2; y 1
1 1 5 2 2 10 1 2 1
2 x 2 3 x
x 2 y 1 6 x 2 y 1 6 x 2 3 2
3 2
3 2 3 2 3 2 1 5
1 1 1 x 2 y 1 y
x 2 y 1 x 2 y 1 x 2 y 1 3
1 5
Vậy hpt có nghiệm là ; .
2 3
b ) *ĐK: x 0; y 0.
2 4 13
x y 3 2 x y 6 y 13 y 3 y 9
3 3 3
2 x 3 y 19 x 25
2 x 3 y 19 2 x 3 y 19 2 x 3 y 19
Vậy hpt có nghiệm là 9;25 . 1 1
c ) *ĐK: x 7; y 6. Đặt a; b;
x 7 y 6
5 41 1
7a 4b 21a 12b 5 41a a
3 3 3
Vậy hpt tương đương 26
13 20a 12b 13 1
5a 3b 3 5a 3b b
6 6 2
1 1
x 7 3 x 7 3 x 16
(TMĐK)
1 1 y 2
y 6 2
y 6 2
Vậy hpt có nghiệm là 16; 2 .
Bài 3 : a ) Với m 2 hệ trở thành
x 2y 1 y 8 y 8 y 8 x 15
x y 7 x 2y 1 x 2y 1 x 2.8 1 y 8
x 15
Vậy khi m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
y 8
a b 1 m
b ) Hệ có nghiệm duy nhất
a' b' m 1
2
m 1
2
m 1 0
(m 1)(m 1) 0
m 1 0
m 1 0
m 1
m 1
Vậy với m 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
c ) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x – 3y 1 1
m(m 1) m 1
Hệ có nghiệm duy nhất m 1 ; khi m 1
m 1 m 1
m(m 1) m 1 2
(1) m 1 3 1 m 1 m(m 1) 3(m 1) m 1
m 1 m 1
3 m 0 m 3(t/m)
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x – 3y 1 thì m 3 .
3m 1 m 1
d ) Với m 1, hệ có nghiệm duy nhất x và y
m 1 m 1 3m 1 m 1 3m2 2m 1
nên ta có x.y đặt
m 1 2 m2 2m 1
3m2 2m 1
p 3 p m2 2 2 p m 1 p 0 , phương trình này có nghiệm
m2 2m 1
m khi ' 4 1 p 0 p 1 , vậy giá trị nhỏ nhất của p là 1 , khi đó m 0
(thỏa mãn m 1).
Vậy m 0 thì hệ có nghiệm duy nhất sao cho x.y có giá trị nhỏ nhất.
3m 1 m 1
e ) Với m 1, hệ có nghiệm duy nhất x và y
m 1 m 1
3m 1 2m 2 m 3 6m 2 5m 5 m 7
Ta có x 2y ; 2x 5y .
m 1 m 1 m 1 m 1
x 2y m 3 m 7 m 3 4
A : 1
2x 5y m 1 m 1 m 7 m 7
4
A ¢ ¢ m 7 là các ước số nguyên của 4 m 7 1; 2; 4.
m 7
Ta có bảng sau:
Vậy m 11; 9; 8; 6; 5; 3 .
Bài 4 : a ) x x 15 17 DK : x 15 (1)
Đặt x 15 t t 0 t2 x 15 x t2 15 .
Phương trình trở thành : t 2 15 t 17
t 2 t 2 0
t 1 tm
t 2 loai
Vơi t 1 x 15 1 x 16 tm
Vậy tập nghiêm của phương trình là: S {16}
b ) x2 x 1 x2 x 12 12
Đặt x2 x t . Phương trình (1) trở thành :
t 1 t 12 12
t2 13t 12 12
t2 3t 0
t 0
t 3
2 x 0
Với t 0 x x 0
x 1
Với t 3 x2 x 3 x2 x 3 0 Có 11 0 Vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S {0; 1}
Bài 5: Ta có : x2 2 m 1 x m2 2 0 có a 1 0 .
a ) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m2 2 0 2 m 2
' 0
b ) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0
S 0
3
m
2
2m 3 0
2 m 2
m 2 0 m 2 .
m 2
2 m 1 0
m 1
3
c ) * Phương trình có hai nghiệm ' 0 2m 3 0 m .
2
2 2 2
* x1 x2 x1x2 2 x1 x2 x1x2 2
m 2 (L)
2 2
4 m 1 m2 2 2 3m2 8m 4 0 2 m .
m TM 3
3
3
d ) * Phương trình có hai nghiệm m .
2
* Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì x1 3x2 hoặc x2 3x1
Giả sử x1 3x2 (trường hợp ngược lại chỉ đảo vai trò của x1, x2 )
x1 x2 2 m 1 1
2
Giải hệ các phương trình: x1x2 m 2 2
x1 3x2 3
3 m 1
x1
2
Giải (1) và (3) ta được:
m 1
x
2 2
3 m 1 m 1
Thay vào (2) ta được: . m2 2 m2 6m 11 0
2 2 m 3 2 5
TM
m 3 2 5
3
e ) * Phương trình có hai nghiệm m .
2
2
2 2
x x x x x x x1 x2 2x1x2
* 1 2 5 1 2 2 5 1 2 3 3
x2 x1 x2 x1 x1x2 x1x2
4 m 1 2 2 m2 2
2 m 4 30
2 3 m 8m 14 0 TM
m 2 m 4 30
x1 x2 2 m 1 1
x x m2 2 2
f ) Theo Viet ta có: 1 2
x x
Từ (1) ta có m 1 2 1
2
Thay vào (2) ta được:
2 2
x1 x2 x1 x2 2 2
x1x2 1 2 x1x2 2 4x1x2 x1 x2 2 8
2 4
2
Vậy hệ thức độc lập giữa các nghiệm là: 4x1x2 x1 x2 2 8.
Bài 6 : Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
2 2
x mx m 1 x mx m 1 0 (1)
a ) Khi m 3 , ta có phương trình: x2 3x 2 0 có: a b c 1 3 2 0
2 2
x1 1 ; x2 2 y1 ( 1) 1 ; y2 ( 2) 4
Vây khi m 3 thì tọa độ giao điểm của (d) và (P) là A 1;1 và B 2;4 .
b ) Xét phương trình: x2 mx m 1 0 (1)
Có: ( m)2 4.1( m 1) m2 4m 4 (m 2)2
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì pt (1) phải có hai nghiệm phân biệt
0 (m 2)2 0 m 2 0 m 2
x1 x2 m
c ) Theo định lý Vi - ét ta có:
x1.x2 m 1
2 2 2 2
x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 4x1.x2 4 m 4( m 1) 4 m 4m 0
m 0 m 0
m(m 4) 0 (tm)
m 4 0 m 4
Vậy m 0 hoặc m 4 .
d ) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1)
phải có hai
nghiệm trái dấu ac 0 m 1 0 m 1 x1 x2 m x1 m x2
e ) Ta có:
x1.x2 m 1 x1.x2 m 1
Do đó:
2 2
x1 mx2 m 2016 0 x1 m x1 m mx2 2016 0 x2 x1 m mx2 2016 0
x1.x2 mx2 mx2 2016 0 x1.x2 2016 0 m 1 2016 0 m 2015
Vậy m 2015;m 2.
Bài 7 : Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 34 2 17 m
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x (m), y (m) . ĐK: 0 x, y 17
.
Vì mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m nên ta có phương trình x y 17 (1).
Nếu tăng chiều dài thêm 3 m , tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích mảnh vườn tăng
2
thêm 45 m . Do đó ta có phương trình: x 3 y 2 xy 45 2x 3y 39 (2).
x y 17 x 12
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (t/m).
2x 3y 39 y 5
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là 12 m và 5 m .
Bài 8 : Gọi vận tốc riêng của tàu là x ( x 3, km/h )
Vận tốc khi xuôi dòng là : x 3 (km/ h)
Vận tốc khi ngược dòng là : x 3 (km/ h)
150
Thời gian đi khi xuôi dòng là : (h)
x 3
150
Thời gian đi khi ngược dòng là : (h)
x 3
45
Vì thời gian cả đi lẫn về là 11h15 phút (h) nên ta có phương trình:
4
150 150 45 10 10 3
x 3 x 3 4 x 3 x 3 4
40(x 3) 40(x 3) 3(x 3)(x 3)
80 x 3(x2 9) 3x2 80x 27 0 3x2 x 81x 27 0
x(3x 1) 27(3x 1) 0 (x 27)(3x 1) 0
x 27(tmdk)
x 27 0
1
3x 1 0 x (ktmdk)
3
Vậy, vận tốc riêng của tàu là 27 km/h .Tài liệu đính kèm: