Phiếu bài tập số 4 môn Đại số Lớp 9 - Tuần 15, Tiết 30: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Nguyễn Thanh Dung (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 4– ĐẠI SỐ 9
 TIẾT 30 – HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì 
sao.
 ì
 ï y = 3- 2x ïì 1
 a) í ; ï y = x + 3
 ï ï
 îï y = 3x- 1 b) íï 2 ;
 ï 1
 ï y = - x + 1
 îï 2
 ì ì
 ï 2y = - 3x ï 3x- y = 3
 c) í ; ï
 ï 3y = 2x d) í 1 .
 î ï x- y = 1
 îï 3
Bài 2. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao.
 ì ì
 ï x + y = 2 ï 3x- 2y = 1
 a) í ; b) í ; 
 îï 3x + 3y = 2 îï - 6x + 4y = 0
 ì ì
 ï 4x- 4y = 2 ï 1 2
 c) í ; ï x- y =
 ï - 2x + 2y = - 1 d)í 3 3 . 
 î ï
 îï x- 3y = 2
Bài 3. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay 
không?
 ì ì
 ï 7x- 5y = - 53 ï 0,2x + 1,7y = - 18,1
 a) (- 4 ; 5), í ; b) (3 ; - 11), í ; 
 îï - 2x + 9y = 53 îï 3,2x- y = 20,6
 ì ì
 ï 10x- 3y = 9 ï 5x + 2y = 9
 c) (1,5 ; 2), (3 ; 7), í ; d) (1 ; 8), í . 
 îï - 5x + 1,5y = - 4,5 îï x- 14y = 5
Bài 4. Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đoán nhận số nghiệm của mỗi 
hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao (không vẽ đồ thị).
 ì ì
 ï 4x- 9y = 3 ï 2,3x + 0,8y = 5
 a) í ; b) í ; 
 îï - 5x- 3y = 1 îï 2y = 6
 ì ì
 ï 3x = - 5 ï 3x- y = 1
 c) í ; d) í . 
 îï x + 5y = - 4 îï 6x- 2y = 5
Bài 5. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: ïì 2x + y = 3 ïì 3x + 2y = 0 ïì 3x + 0y = 6
 a) íï ; b) íï ; c) íï ;
 îï 3x- y = 1 îï 2x- 3y = 0 îï 2x + y = 1
 ïì x- y = 4 ïì x + 2y = 3 ïì x + y = 1
 d) íï ; e) íï ; ï
 ï 0x- y = 2 ï 2x + 4y = 1 f) í x y 1 .
 î î ï + =
 îï 2 2 2
 ì
 ï 3x- y = 1
Bài 6. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: í
 îï ax + 2y = 3
a) Có nghiệm duy nhất với a = - 2 ;
b) Vô nghiệm với a = - 6
 ì
 ï 3x- 2y = a
Bài 7. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: í
 îï 15x + 10y = 5
a) Có vô số nghiệm với a = 1 ;
b) Vô nghiệm với a = 1 .
Bài 8. Cho các hệ phương trình sau:
 ì ì
 ï x = 2 ï x + 3y = 2
 a) í ; b) í .
 îï 2x- y = 3 îï 2y = 4
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm 
tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Bài 9. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối lien hệ giữa các hằng số 
 ì
 ï ax + by = c
a, b, c và các hằng số a'; b'; c' để hệ phương trình í 
 îï a' x + b' y = c'
a) Có nghiệm duy nhất;
b) Vô nghiệm;
c) Có vô số nghiệm.
Áp dụng:
a) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.
b) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm.
c) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Dạng 2: Hai hệ phương trình tương đương
Bài 1. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.
ì ì
ï x- y = 1 ï ax- 2y = 2
í vaø í 
îï 2x + y = 2 îï x + ay = 1
Bài 2. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.
ì ì
ï 2x- 3y = 5 ï 2x- 3y = 5
í vaø í 
îï 4x + y = 3 îï 12x + 3y = a
Bài 3. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.
ì ì
ï x- y = 2 ï 2ax- 2y = 1
í vaø í 
îï 3x + y = 1 îï x + ay = 2 
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì 
sao.
 a) Xét (d): y = 3- 2x có a = - 2; b = 3 ;
 (d’): y = 3x – 1 có a’ = 3; b’ = - 1 ; 
 Có a ¹ a’ Þ (d) caét (d');
 ì
 ï y = 3- 2x
 Þ Hệ í ; có nghiệm duy nhất.
 îï y = 3x- 1
 1 1
 b) Xét (d): y = - x + 3 coù a = - ; b = 3 ;
 2 2
 1 1
 (d’): y = - x + 1 có a’ = ; b’ = 1;
 2 2
 Có a = a’; b ¹ b’ Þ (d)//(d’);
 ïì 1
 ï y = x + 3
 ï
 Þ Hệ í 2 vô nghiệm.
 ï 1
 ï y = - x + 1
 îï 2
 ì
 ï 3
 ì ï y = - x
 ï 2y = - 3x ï
 c) Ta có í Û í 2
 ï 3y = 2x ï 2
 îï ï y = x
 îï 3
 3 3
 Xét (d): y = - x coù a = - ; b = 0;
 2 2
 2 2
 (d’): y = x có a’ = ; b’ = 0 ;
 3 3
 Có a ¹ a’ Þ (d) caét (d'); ì
 ï 2y = - 3x
 Þ Hệ í có nghiệm duy nhất.
 îï 3y = 2x
 ì
 ï 3x- y = 3 ì
 ï ï y = 3x- 3
 d) Ta có í 1 Û í
 ï x- y = 1 îï y = 3x- 3
 îï 3
 Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau
 ïì 3x- y = 3
 ï
 Þ Hệ í 1 có vô số nghiệm.
 ï x- y = 1
 îï 3
Bài 2. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao.
 ì
 ì ì ï y = - x + 2
 ï x + y = 2 ï y = - x + 2 ï
 a) Ta có: í Û í Û í 2 ;
 îï 3x + 3y = 2 îï 3y = - 3x + 2 ï y = - x +
 îï 3
 Xét (d): y = - x + 2 coù a = - 1; b = 2 ;
 2 2
 (d’): y = - x + có a’ = - 1; b’ = ;
 3 3
 Có a = a’; b ¹ b’ Þ (d)//(d’);
 ì
 ï x + y = 2
 Þ Hệ í vô nghiệm.
 îï 3x + 3y = 2
 ì
 ï 3 1
 ì ì ï y = x-
 ï 3x- 2y = 1 ï 2y = 3x- 1 ï
 b) Ta có: í Û í Û í 2 2 ;
 ï - 6x + 4y = 0 ï 4y = 6x ï 3
 îï îï ï y = x
 îï 2
 3 1 3 1
 Xét (d): y = x- coù a = ; b = - ;
 2 2 2 2
 3 3
 (d’): y = x coù a = ; b = 0 ;
 2 2 Có a = a’; b ¹ b’ Þ (d)//(d’);
 ì
 ï 3x- 2y = 1
Þ Hệ í vô nghiệm.
 îï - 6x + 4y = 0
 ì
 ï 1
 ì ì ï y = x-
 ï 4x- 4y = 2 ï 4y = 4x- 2 ï
c) Ta có: í Û í Û í 2 ;
 ï - 2x + 2y = - 1 ï 2y = 2x- 1 ï 1
 îï îï ï y = x-
 îï 2
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;
 ì
 ï 4x- 4y = 2
Þ Hệ í có vô số nghiệm.
 îï - 2x + 2y = - 1
 ì
 ì ì ï 1 2
 ï 1 2 ï 1 2 ï y = x-
 ï x- y = ï y = x- ï 3 3
d) Ta có: í 3 3 Û í 3 3 Û í ;
 ï ï ï 1 2
 îï x- 3y = 2 îï 3y = x- 2 ï y = x-
 îï 3 3
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;
 ïì 1 2
 ï x- y =
Þ Hệ í 3 3 có vô số nghiệm.
 ï
 îï x- 3y = 2
Bài 3. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay 
không.
 ì
 ï 7x- 5y = - 53
a) Thay x = - 4 ; y = 5 vào từng phương trình của hệ í ta được: 
 îï - 2x + 9y = 53
ì
ï 7.(- 4)- 5.5 = - 53 ïì - 28- 25 = 53
íï Û íï
ï - - + = ï 8 + 45 = 53
îï 2.( 4) 9.5 53 îï
 ì
 ï 7x- 5y = - 53
Vậy cặp (- 4 ; 5)là nghiệm của hệ phương trình í .
 îï - 2x + 9y = 53
 ì
 ï 0,2x + 1,7y = - 18,1
b) Thay x = 3 ; y = - 11 vào từng phương trình của hệí ta được:
 îï 3,2x- y = 20,6 ì ì
ï 0,2.3+ 1,7 (- 11)= - 18,1 ï 0,6 – 18,7 = - 18,1
í Û í 
ï ï
îï 3,2.3+ 11= 20,6 îï 9,6 + 11= 20,6
 ì
 ï 0,2x + 1,7y = - 18,1
Vậy cặp (3 ; - 11)là nghiệm của hệ phương trình í .
 îï 3,2x- y = 20,6
 ì
 ï 10x- 3y = 9
c) Thay x = 1,5 ; y = 2 vào từng phương trình của hệ í ta được:
 îï - 5x + 1,5y = - 4,5
ì ì
ï 10.1,5 – 3.2 = 9 ï 15 – 6 = 9
í Û í .
îï - 5.1,5+ 1,5.2 = - 4,5 îï - 7,5+ 3 = - 4,5
 ì
 ï 10x- 3y = 9
Vậy cặp (1,5 ; 2) là nghiệm của hệ phương trình í .
 îï - 5x + 1,5y = - 4,5
 ì
 ï 10x- 3y = 9
Thay x = 3 ; y = 7 vào từng phương trình của hệ í ta được:
 îï - 5x + 1,5y = - 4,5
ì ì
ï 10.3 – 3.7 = 9 ï 30 - 21 = 9
í Û í 
ï ï
îï - 5.3 + 1,5.7 = - 4,5 îï - 15 + 10,5 = - 4,5
 ì
 ï 10x- 3y = 9
Vậy cặp (3 ; 7) là nghiệm của hệ phương trìnhí .
 îï - 5x + 1,5y = - 4,5
 ì
 ï 5x + 2y = 9
d) Thay x = 1 ; y = 8 vào từng phương trình của hệ í , ta được:
 îï x- 14y = 5
ì ì
ï 5.1 + 2.8 = 21 ï 5 + 16 = 21
í Û í 
ï ï - =
îï 1- 14.8 = 5 îï 1 14.8 5 (voâ ly)ù
 ì
 ï 5x + 2y = 9
Vậy cặp (1 ; 8) không phải là nghiệm của hệ phương trình í .
 îï x- 14y = 5
Bài 4.
 ì
 ï 4 1
 ì ì ï y = x-
 ï 4x- 9y = 3 ï 9y = 4x- 3 ï
a) Ta có: í Û í Û í 9 3
 ï - 5x- 3y = 1 ï 3y = - 5x- 1 ï 5 1
 îï îï ï y = - x-
 îï 3 3
 4 5
 ¹ -
Vì 9 3 nên hai đường thẳng cắt nhau. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 ì
 ì ì ï 23 25
 ï 2,3x + 0,8y = 5 ï 0,8y = - 2,3x + 5 ï y = - x +
b) Ta có: í Û í Û í 8 4 ;
 îï 2y = 6 îï y = 3 ï
 îï y = 3 23 25
 y = - x +
Đường thẳng 8 4 cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = 3 song song với trục hoành 
nên 2 đường thẳng trên cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 ì
 ì ï 5
 ì ï 5 ï x = -
 ï 3x = - 5 ï x = - ï 3
c) Ta có: í Û í 3 Û í ;
 îï x + 5y = - 4 ï ï 1 4
 îï 5y = - x- 4 ï y = - x-
 îï 5 5
 5 1 4
 x = - y = - x-
Đường thẳng 3 song song với trục tung mà đường thẳng 5 5 cắt hai trục tọa độ 
nên 2 đường thẳng đó cắt nhau;
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 ì
 ì ì ï y = 3x- 1
 ï 3x- y = 1 ï y = 3x- 1 ï
d) Ta có: í Û í Û í 5
 îï 6x- 2y = 5 îï 2y = 6x- 5 ï y = 3x-
 îï 2
 5
 - 1¹ -
Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng 3, có tung độ gốc khác nhau: 2 nên 
chúng song song với nhau. Nên hệ vô nghiệm;
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 5. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
 ì ì
 ï 2x + y = 3 ï y = - 2x + 3
a) Ta có: í Û í ;
 îï 3x- y = 1 îï y = 3x- 1
Vì - 2 ¹ 3 nên hai đường thẳng cắt nhau. 
 ì
 ï 2x + y = 3
Vậy hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
 îï 3x- y = 1
 ïì 3
 ï y = - x
 ïì 3x + 2y = 0 ïì 2y = - 3x ï
b) Ta có: íï Û íï Û íï 2 ;
 ï 2x- 3y = 0 ï 3y = 2x ï 2
 îï îï ï y = x
 îï 3
 3 2
 - ¹
Vì 2 3 nên hai đường thẳng cắt nhau. 
 ì
 ï 3x + 2y = 0
Vậy hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
 îï 2x- 3y = 0
 ì ì ì
 ï 3x + 0y = 6 ï 3x = 6 ï x = 2
c) Ta có: í Û í Û í ;
 îï 2x + y = 1 îï y = - 2x + 1 îï y = - 2x + 1 y = - 2x + 1
Đường thẳng x = 2 song song với trục tung mà đường thẳng cắt hai trục tọa độ nên 
2 đường thẳng đó cắt nhau;
 ì
 ï 3x + 0y = 6
Vậy hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
 îï 2x + y = 1
 ïì x- y = 4 ïì y = x- 4
d) Ta có: íï Û íï ;
 îï 0x- y = 2 îï y = - 2
 y = x- 4
Đường thẳng cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành nên 
2 đường thẳng trên cắt nhau.
 ì
 ï x- y = 4
Vậy hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
 îï 0x- y = 2
 ïì 1 3
 ï y = - x +
 ïì x + 2y = 3 ïì 2y = - x + 3 ï
e) Ta có: íï Û íï Û íï 2 2 ;
 ï 2x + 4y = 1 ï 4y = - 2x + 1 ï 1 1
 îï îï ï y = - x +
 îï 2 4
 1 1 3
Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng- , có tung độ gốc khác nhau: ¹ nên 
 2 4 2
chúng song song với nhau. Nên hệ vô nghiệm;
 ì
 ï x + 2y = 3
Vậy hệ phương trình í vô nghiệm.
 îï 2x + 4y = 1
 ì
 ï x + y = 1 ì ì
 ï ï y = - x + 1 ï y = - x + 1
f) Ta có: í x y 1 Û í Û í ;
 ï + = îï x + y = 1 îï y = - x + 1
 îï 2 2 2
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;
 ïì x + y = 1
 ï
Vậy hệ í x y 1 có vô số nghiệm.
 ï + =
 îï 2 2 2
Bài 6. 
 ì ì
 ï 3x- y = 1 ï 3x- y = 1
a) Thay a = - 2 vào hệ phương trình í , ta được: í
 îï ax + 2y = 3 îï - 2x + 2y = 3
Do 3x- y = 1 Û y = 3x- 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường 
thẳng (d1): y = 3x- 1 ; 3
Do - 2x + 2y = 3 Û 2y = 2x + 3 Û y = x + nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu 
 2
 3
diễn bởi đường thẳng (d ): y = x + ;
 2 2
Hai đường thẳng (d1)và (d2 )có hệ số góc khác nhau (1 ¹ 3 ) nên chúng cắt nhau. Do đó hệ 
ì
ï 3x- y = 1
í có nghiệm duy nhất;
îï - 2x + 2y = 3
 ì
 ï 3x- y = 1
Vậy với a = - 2 thì hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
 îï ax + 2y = 3
 ì ì
 ï 3x- y = 1 ï 3x- y = 1
b) Thay a = - 6 vào hệ phương trình í , ta được: í
 îï ax + 2y = 3 îï - 6x + 2y = 3
Do 3x- y = 1 Û y = 3x- 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường 
thẳng (d1): y = 3x- 1 ;
 3
Do - 6x + 2y = 3 Û 2y = 6x + 3 Û y = 3x + nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được 
 2
 3
biểu diễn bởi đường thẳng (d ): y = 3x + ;
 3 2
 3
Hai đường thẳng (d )và (d )có tung độ góc khác nhau (- 1¹ ) và có cùng hệ số góc là 3 nên song 
 1 3 2
 ì
 ï 3x- y = 1
song với nhau. Do đó, hệ í vô nghiệm;
 îï - 6x + 2y = 3
 ì
 ï 3x- y = 1
Vậy với a = - 6 thì hệ phương trình í vô nghiệm.
 îï ax + 2y = 3
 ì
 ï 3x- 2y = a
Bài 7. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: í ;
 îï 15x + 10y = 5
a) Có vô số nghiệm với a = 1 ;
b) Vô nghiệm với a = 1
 ì ì
 ï 3x- 2y = a ï 3x- 2y = 1
a) Thay a = 1 vào hệ phương trình í , ta được: í ;
 îï 15x + 10y = 5 îï 15x + 10y = 5
 3 1
Do 3x- 2y = 1 Û 2y = 3x- 1 Û y = x- nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu 
 2 2
 3 1
diễn bởi đường thẳng (d ): y = x- ;
 1 2 2
 3 1
Do 15x- 10y = 5 Û 10y = 15x- 5 Û y = x- nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được 
 2 2
 3 1
biểu diễn bởi đường thẳng (d ): y = x- ;
 2 2 2