Phiếu bài tập số 4 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 3: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Nguyễn Đức Kiên (Có đáp án)

 Phiếu số 4 – Hình học 9
Tiết 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Tổ 3 – GV: Nguyễn Đức Kiên
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1. Cho ABC vuông tại A AB AC , có đường cao AH và đường phân giác AD. Tính độ dài 
 AB 3
đoạn thẳng AD, biết BC 125cm; 
 AC 4
Bài 2. Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Tính độ dài các cạnh của 
 HB 9
 ABC , biết AH 48cm; 
 HC 16
Bài 3. Cho ABC vuông tại A có AB a, BC 2a . Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính diện 
tích của các tam giác ABC và ADC.
 AB 20
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi tam 
 AC 21
giác ABC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết 
 AB 2 13,OA 6 , tính diện tích hình thang ABCD.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức độ dài
Bài 1. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, Flaanf lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. 
Chứng minh AE.AB AF.AC .
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH và BK. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với 
BC, đường thẳng này cắt AC tại D. 
 a) Chứng minh BD 2AH
 1 1 1
 b) Chứng minh 
 BK 2 BC2 4AH 2
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt 
lấy các điểm M, N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh: AM = AN.
 Bài 4. Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC, AB.
 a) Chứng minh rằng CM.CA.BM.BA AH 4
 AH 3
 b) Chứng minh rằng AM.AN 
 BC
 HƯỚNG DẪN Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1. 
 B H
 D
 A C
 AB 3 AB2 9 AB2 9 9
Ta có: 
 AC 4 AC2 16 AB2 AC2 9 16 25
Xét ABC vuông tại A, có
 BC2 AB2 AC2 ( Định lý Py – ta – go )
 9 9
 AB2 BC2 1252 AB 75cm AC BC2 AB2 100cm
 25 25
Xét ABC vuông tại A, đường cao AH, có:
 AB2 752
 2 BH 45cm
 AB BH.BC BC 125
 AH.BC AB.AC AB.AC 75.100
 AH 60cm
 BC 125
Xét ABC có AD là đường phân giác nên có: 
 DB AB 3 DB DC BC 125 375
 BD cm
 DC AC 4 3 4 7 7 7
 375
Có: HD BD BH 45 60cm
 7
Xét AHD vuông cân tại H, có: AD2 AH 2 DH 2 2.602 AD 60 2cm
Bài 2. 
 B H
 M
 A C HB 9 9
 Có: HB HC
 HC 16 16
 Xét ABC vuông tại A có đường cao AH nên: 
 9 3 9
 AH 2 HB.HC HC2 AH HC HC 64cm HB HC 36cm
 16 4 16
 BC HB HC 64 36 100cm
 AB2 HB.BC 64.100 AB 80cm; AC2 HC.BC 36.100 AB 60cm
 Bài 3. 
 D
 B H
 A C
Xét ABC vuông tại A, có:
 ) BC2 AB2 AC2 Py ta go AC2 BC2 AB2 3a2 AC a 3
 1 1 a2 3
 S AB.AC a.a 3 
 ABC 2 2 2
 AB.AC a2 3 a 3
+) Gọi H là giao điểm của AD và BC. Có: AH.BC AB.AC AH 
 BC 2a 2
D là điểm đối xứng của A qua BC nên BC là đường trung trực của AD
 H là trung điểm của AD AD 2AH a 3
 AC2 3a 1 3a2 3
Có : AC2 CH.BC CH S CH.AD 
 BC 2 ACD 2 4
Bài 4. B H
 A C
 AB 20 AB AC AB AC AB 20k
 Có: . Đặt k 
 AC 21 20 21 20 21 AC 21k
 Xét ABC vuông tại A, có: 
 BC2 AB2 AC2 841k 2 BC 29k
 Có: AH.BC AB.AC 420.29k 20.21.k 2 k 29 AB 580; AC 609;BC 841
 Chu vi của ABC là: AB AC BC 2030
 Bài 5.
 A B
 O
 D C
Xét AOB vuông tại O, có:
 AB2 AO2 OB2 Py ta go OB2 AB2 AO2 16 OB 4cm
Xét DAB có đường cao AO nên:
 AB2 BO.BD BD 13cm
 AB.AD AO.BD AD 3 13cm
 OD BD BO 9cm
Xét AOB và COD , có: · · 0
 AOB COD 90
 · ·
 OAB OCD(slt)
 AOB ∽ COD(g.g)
 AB OB 4 9 13
 CD 
 CD OD 9 2
 AD 3 13 9 13 507
 S AB CD 2 13 cm2
 ABCD 
 2 2 2 4
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức độ dài
Bài 1.
 B
 H
 E
 A F C
Xét AHB vuông tại H, có đường cao HE nên: AH 2 AE.AB (1)
Xét AHC vuông tại H có đường cao HF nên: AH 2 AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE.AB AF.AC
Bài 2. 
 D
 A
 K
 B H C a) Có ABC là cân tại A và AH là đường cao của ABC nên AH cũng là đường trung tuyến của 
 ABC H là trung điểm của BC
Có: AH  BC; BD  BC AH / /BD
Xét BCD , có: H là trung điểm của BC ( cmt); AH / /BD A là trung điểm của CD AH là đường 
 1
trung bình của BCD AH BD BD 2AH
 2
b) Xét BCD vuông tại B, có đường cao BK nên: 
 1 1 1 1 1
 ( vì BD 2AH )
 BK 2 BC2 BD2 BC2 4AH 2
Bài 3.
 A
 D
 E H
 N
 M
 B C
Xét AMC vuông tại M có đường cao MD nên: MA2 AD.AC (1)
Xét ANB vuông tại N có đường cao NE nên: NA2 AE.AB (2)
Xét ADB và AEC , có:
 A· DB A· EC 900
 B· AC Chung
 AD AB
 ADB ∽ AEC(g.g) AD.AC AE.AB (3)
 AE AC
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN.
Bài 4. 
 B
 H
 N
 A M C
a) Xét AHB vuông tại H có đường cao HN nên: BH 2 BN.BA (1)
Xét AHC vuông tại H có đường cao HM nên: CH 2 CM.CA (2)
Xét ABC vuông tại A, có đường cao AH nên: BH.CH AH 2 (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra: CM.CA.BM.BA AH 4 (4)
b) Ta có: AB.AC AH.BC(5)
 AH 3
Từ (4) và (5), suy ra : CM.BM.AH.BC AH 4 CM.BM 
 BC