Phiếu bài tập số 5 môn Đại số Lớp 9 - Tiết 58: Luyện tập Hệ thức vi-ét và ứng dụng (Có đáp án)

 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét:
 b
 S x1 x2 
 2 a
 ▪ Thuận : Khi phương trình ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì : 
 c
 P x .x 
 1 2 a
 S x y
 ▪ Đảo : Nếu x, y là hai số thỏa : thì x, y là nghiệm của phương trình : 
 P x.y
 X 2 – SX + P = 0
II. Áp dụng
 1. Hai trường hợp đặc biệt về nghiệm của phương trình bậc hai:
 c
 ▪ Khi a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = .
 a
 c
 ▪ Khi a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = –1 ; x2 = – .
 a
 2. Tìm hai số biết tích và tổng của chúng:
 Nếu hai số có tổng là S và tích bằng P (với S2 – 4P 0) thì hai số đó là nghiệm của phương 
 trình : X 2 – SX + P = 0
 3. Viết phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 và x2:
 ▪ Tính tổng S = x1 + x2 và P = x1.x2.
 ▪ Phương trình cần viết là: x2 – Sx + P = 0
 ❖ Có thể viết phương trình như sau: (x – x1)(x – x2) = 0
 ▪ Khai triển để đưa về dạng phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
 4. Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức liên quan đến 2 nghiệm:
 ▪ Chứng minh phương trình có nghiệm.
 ▪ Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2 của phương trình.
 ▪ Biểu diễn biểu thức theo S và P rồi tính giá trị theo giá trị của S và P.
 ❖ Cần nhớ các biểu thức sau:
 2 2 2 2
 ✓ A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P
 2 2 2 2 2
 ✓ B (x1 x2 ) x1 x2 2x1x2 (x1 x2 ) 4x1x2 S 4P
 2 2
 ✓ C x1 x2 (x1 x2 )(x1 x2 ) rồi tính x1 x2 như tính B.
 3 3 3 3
 ✓ D x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3PS
 5. Tìm các giá trị của tham sô để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước:
 ▪ Tìm điều kiện của tham số để phương trình là phương tình bậc hai và có nghiệm (a 0 
 và 0) (1) ▪ Tính S và P theo tham số m.
 ▪ Biểu diễn điều kiện của nghiệm cho trước theo S và P ta được phương tình theo ẩn m.
 ▪ Giải phương trình (tính m) và chọn giá trị m thỏa điều kiện (1).
 6. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
 2
 Cho phương trình : ax + bx + c = 0 (a 0). Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1, 
 x2 (x1 < x2) thỏa mãn:
 ▪ Hai nghiệm trái dấu P < 0
 0
 ▪ Hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 P 0
 0
 ▪ Hai nghiệm phân biệt dương P 0
 S 0
 0
 ▪ Hai nghiệm phân biệt âm P 0
 S 0
 Chú ý : Nếu đề bài yêu cầu phương trình có hai nghiệm thì trong các trường hợp trên ta thay 
 > 0 thành 0.
DẠNG 1: NHẨM NGHIỆM
Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 4x2 3x 1 0 b) x2 1 3 x 3 0 c) x2 7x 10 0 
DẠNG 2: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a) x y 29 và x.y 198 b) x y 5 và x.y 9
c) x2 y2 13 và x.y 6 d) x y 7 và x.y 120 
DẠNG 3: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM 
SỐ
 2
Bài 3: Cho phương trình x mx 2m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 không 
phụ thuộc tham số m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
DẠNG 4 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
 2
Bài 5: Cho phương trình x 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1, x2 là hai nghiệm của 
phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : 2 2
 x1 5x1x2 x2
A 2 2 
 4x1 x2 4x1x2
 2
Bài 6: Cho phương trình 2x 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1, x2 là hai nghiệm của 
phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
 1 1 1 x 1 x
a) A b) B 1 2 
 x1 x2 x1 x2
 2 2 x1 x2
c) C x1 x2 d) D 
 x2 1 x1 1
DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 7: Cho phương trình x2 2 m 3 x m2 3 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (2x1 1)(2x2 1) 9
Bài 8: Cho phương trình x2 2 m 3 x 2(m 1) 0 
 2 2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức T x1 x2 đạt giá trị 
nhỏ nhất.
Bài 9: Cho phương trình x2 mx 3 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức x1 x2 4 
Bài 10: Cho phương trình x2 4x m2 1 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức x2 5x1 
Bài 11: Cho phương tình x2 2mx m2 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 1 3
x1, x2 thỏa mãn 1. 
 x1 x2
DẠNG 6: XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 12: Cho phương trình: x2 2 m 1 m2 4m 3 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.
d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm. DẠNG 1: NHẨM NGHIỆM
Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 4x2 3x 1 0 b) x2 1 3 x 3 0 c) x2 7x 10 0 
Giải:
a) Ta thấy a b c 4 3 1 0 
 1
Suy ra phương trình có hai nghiệm x 1;x 
 1 2 4
b) Ta thấy a b c 1 1 3 3 0 
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 1;x2 3 
 x1 x2 7 2 5
c) Ta có 9 0 , theo hệ thức V-ét: 
 x1.x2 10 2.5
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 2;x2 5 
DẠNG 2: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a) x y 29 và x.y 198 b) x y 5 và x.y 9
c) x2 y2 13 và x.y 6 d) x y 7 và x.y 120 
Giải:
a) Ta có: S2 4P 292 4.198 49 0 nên x, y là nghiệm của phương trình : X2 29X 198 0 Giải ra ta có X1 11,X2 18 
 x 11 x 18
Vậy ta có hai số x, y là ; 
 y 18 y 11
b) Ta có: S2 4P 52 4.9 11 0 nên không tồn tại hai số x, y thỏa mãn.
 2 2 2 x y 5
c) Ta có: x y x y 2xy 13 2.6 25 
 x y 5
+) Với x y 5 ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:
 2 X 2
X 5X 6 0 
 X 3
+) Với x y 5 ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:
 2 X 2
X 5X 6 0 
 X 3
Vậy (x; y) 2;3 , 3;2 , 2; 3 , 3; 2  
d) Đặt t y , ta có: x t 7 và x.t 120
S2 4P 72 4.( 120) 529 0 nên x, t là nghiệm của phương trình : X2 7X 120 0 
Giải ra ta có X1 15,X2 8 
 x 15 x 8 x 15 x 8
Vậy ta có hai số x, t là ; ; 
 t 8 t 15 y 8 y 15
DẠNG 3: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM 
SỐ
 2
Bài 3: Cho phương trình x mx 2m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 không 
phụ thuộc tham số m.
Giải:
 • Xét m2 4(2m 4) (m 4)2 0 , phương trình luôn có nghiệm.
 x1 x2 m (1)
 Theo hệ thức Vi-ét : * 
 x1.x2 2m 4 (2)
 • Cách khử 1: Thế (1) vào (2), ta có hệ thức cần tìm x 1.x2 2(x1 x2 ) 4 
 2x1 2x2 2m
 • Cách khử 2: (*) 2x1 2x2 x1.x2 4 là hệ thức cần tìm.
 x1.x2 2m 4
 m x1 x2
 x1.x2 4
 • Cách khử 3: (*) x .x 4 x1 x2 
 m 1 2 2
 2
 Hay 2(x1 x2 ) x1.x2 4là hệ thức cần tìm. Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
 x = 0
 2 
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x + 8x = 0 x (x + 8) = 0 
 x = - 8
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ 0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 
 1 15
 m2 - m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m
 2 4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m
 x1 + x2 = 2(m - 1) (1)
Theo hệ thức Vi ét ta có: 
 x1 - x2 = - m - 3 (2)
Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
DẠNG 4 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
 2
Bài 5: Cho phương trình x 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1, x2 là hai nghiệm của 
phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức :
 2 2
 x1 5x1x2 x2
A 2 2 
 4x1 x2 4x1x2
Giải:
Xét 9 4.1.1 5 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt.
 S x1 x2 3
Theo hệ thức Vi-ét : 
 P x1.x2 1
 2
 x x 3x x 9 3.1
A 1 2 1 2 1 
 4x1x2 x1 x2 4.1. 3 
 2
Bài 6: Cho phương trình 2x 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1, x2 là hai nghiệm của 
phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
 1 1 1 x 1 x
a) A b) B 1 2 
 x1 x2 x1 x2
 2 2 x1 x2
c) C x1 x2 d) D 
 x2 1 x1 1 Giải:
Ta có : 9 8 1 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt, hơn nữa x1 0,x2 0 . Theo hệ 
 3
 x x 
 1 2 2
thức Vi-ét, ta có : 
 1
 x x 
 1 2 2
 1 1 x x 3 1
a) A 1 2 : 3 
 x1 x2 x1.x2 2 2
 3 1
 2.
 1 x 1 x x x x x x x x x 2x x
b) B 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 
 1
 x1 x2 x1x2 x1x2
 2
 2
 2 2 2 3 1 1
c) C x1 x2 x1 x2 2x1x2 2. 1 
 2 2 4
 x x x2 x x2 x
d) D 1 2 1 1 2 2
 x2 1 x1 1 x1x2 (x1 x2 ) 1
 9 3
 2 1 
 x x 2x x x x 11 11
 13 2 1 2 1 2 4 2 :3 
 x x x x 1 1 3 4 12
 1 2 1 2 1
 2 2
DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 7: Cho phương trình x2 2 m 3 x m2 3 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (2x1 1)(2x2 1) 9
Giải:
 2 2 2 2
Có ' m 3 1. m 3 m 3 m 3 6m 6 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ' 0 6m 6 0 m 1 
 b c
Theo định lí Vi ét, ta có: x x 2(m 3); x .x m2 3 
 1 2 a 1 2 a
Ta có: (2x1 1)(2x2 1) 9 4x1x2 2(x1 x2 ) 1 9 (*)
 4(m2 3) 4(m 3) 1 9
 (2m 1)2 9 
 2m 1 3
 2m 1 3
 m = -1 ( loại) , m = 2 ( thỏa mãn)
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 8: Cho phương trình x2 2 m 3 x 2(m 1) 0 2 2
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức T x1 x2 đạt 
giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 2 2
Có ' m 3 1. 2 m 1 m 3 2m 2 
 ' m2 4m 7 m 2 2 3 0m
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 b c
Theo định lí Vi ét, ta có: x x 2(m 3); x .x 2 m 1 
 1 2 a 1 2 a
 2 2 2
Ta có: T x1 x2 x1 x2 2x1x2
 2
T 2 m 3 2 2 m 1 
T 4m2 20m 32 2m 5 2 7 7
 5
 MinT 7 khi m 
 2
 5
Vậy m là giá trị cần tìm.
 2
Bài 9: Cho phương trình x2 mx 3 0 .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức x1 x2 4 
Giải:
Có a.c 3 0m nên a và c trái dấu 
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 b c
Theo định lí Vi ét, ta có: x x m; x .x 3 
 1 2 a 1 2 a
Ta có:
 2 2 2 2 2
 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 2x1x2 2x1x2 2 x1x2
 2 2
 x1 x2 x1 x2 2x1x2 2 x1x2
 2 2 2
 x1 x2 m 2.( 3) 2 3 m 12
 2
Do đó: x1 x2 4 m 12 16 m 2
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Cho phương trình x2 4x m2 1 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức x2 5x1 
Giải:
Có 2 2 1. m2 1 m2 5 0m Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 b c
Theo định lí Vi ét, ta có: x x 4, x .x m2 1 
 1 2 a 1 2 a
 x2 5x1
Giải hệ 5x1 x1 4 x1 1 x2 5 
 x1 x2 4
 c
Thay x 1; x 5 vào x .x m2 1, ta được m2 4 m 2 
 1 2 1 2 a
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Bài 11: Cho phương tình x2 2mx m2 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 1 3
x1, x2 thỏa mãn 1. 
 x1 x2
Giải:
Có ' m 2 m2 4 m2 m2 4 4 0,m. 
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt là x m 2. 
Điều kiện: x1 0, x2 0 m 2 0 m 2. 
 1 3
Trường hợp 1: Xét x1 m 2, x2 m 2 thay vào 1 ta được:
 x1 x2
 1 3 m 2 3 m 2 4m 4
 1 1 1
m 2 m 2 m 2 m 2 m2 4 
 4m 4 m2 4 m2 4m 8 0 m2 4m 4 12 0
 m 2 2 12 m 2 2 3 m 2 2 3 (thỏa mãn)
 1 3
Trường hợp 2: Xét x1 m 2, x2 m 2 thay vào 1 ta được:
 x1 x2
 1 3 m 2 3 m 2 4m 4
 1 1 1 
m 2 m 2 m 2 m 2 m2 4
 4m 4 m2 4 m2 4m 0 m 0;m 4 (thỏa mãn).
Vậy m 0;4;2 2 3 là giá trị cần tìm.
DẠNG 6: XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 12: Cho phương trình: x2 2 m 1 m2 4m 3 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.
d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương. e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Giải: ' m 1 2 (m2 4m 3) 6m 2
S 2(m 1) ; P m2 4m 3 
 a) Để phương trình đã cho có nghiệm thì: 
 2 1
 ' 0 m 1 (m2 4m 3) 0 6m 2 0 m . 
 3
 1
Vậy khi m thì phương trình đã cho có nghiệm.
 3
 a) Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi:
 2 2 1
 ' 0 m 1 m 4m 3 0 m 
 3 m 3 
 P 0 m2 4m 3 0
 m 1 m 3
 Vậy khi m > 3 phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
 c) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi và chỉ khi: P < 0 m2 - 4m+3 < 0 1< m < 3 
 Vậy khi 1< m < 3 thì phương trình có hai nghiệm khác dấu.
 d) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:
 1
 ' 0 6m 2 0 m 
 3
 P 0 m2 4m 3 0 m 3
 m 1 m 3
 S 0 2(m 1) 0
 m 1
Vậy khi m > 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
 e) Phương trình đã cho có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
 1
 m 
 ' 0 6m 2 0 3
 2 
 P 0 m 4m 3 0 m 1 m 3 m 
 S 0 2(m 1) 0 m 1
Vậy không tìm được giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.