Phiếu bài tập số 5 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 31: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Cơ bản) - Ngô Lan Anh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 5: HÌNH HỌC 9:
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (cơ bản)
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1. Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') có OO' = d. Hãy xác định vị trí tương 
đối của hai đường tròn theo bảng sau:
 R R’ d Vị trí tương đối
 5cm 3cm 7 cm
 11 cm 4 cm 3 cm
 9 cm 6 cm 15 cm
 7 cm 2 cm 10 cm
 7 cm 3 cm 4 cm
 6 cm 2 cm 7 cm
Bài 2. Điền giá trị thích hợp vào trong bảng sau:
 R R’ d Vị trí tương đối
 8 cm 2 cm Tiếp xúc trong
 7 cm 3 cm Cắt nhau
 5 cm 11 cm Tiếp xúc ngoài
 12 cm 6 cm Đựng nhau
Bài 3: Gọi d là khoảng cách hai tâm của hai đường tròn (O;R) và (I;r) trong đó 
 R > r > 0. Chọn đáp án đúng trong các câu hỏi sau:
1. Hai đường tròn (O) và (I) đựng nhau
 A. d = R + r B. d = R - r 
 C. d R - r 
2. Với d = 12 cm; R = 8 cm; r = 6 cm thì hai đường tròn (O) (I) ở vị trí:
 A. (O) và (I) cắt nhau B. (O) và (I) tiếp xúc ngoài C. (O) và (I) ở ngoài nhau D. (O) đựng (I)
3. Cho R = 6 cm; r = 4 cm. Giá trị d phải là bao nhiêu để đường tròn (O) và (I) 
tiếp xúc nhau.
 A. d = 10 B. d = 2
 C. d = 10hoaëcd = 2 D. d = 10 vaø d = 2
Bài 4: Điền các từ thích hợp vào chỗ trống ( )
a. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn 
(O; 3 cm) nằm trên .
b. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc trong với đường tròn 
(O; 3 cm) nằm trên .
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh AC = CD. 
Dạng 2: Bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài 1: Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc tại A. Qua A kẻ cát tuyến bất kỳ cắt 
(O) tại C và cắt (O') tại D. Chứng minh OC // O'D 
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
b. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh AC = CD
Bài 3: Cho đường tròn (O; 3 cm) và đường tròn (O'; 1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ 
hai bán kính OB, O'C song song với nhau thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ 
là OO'. 
a. Tính số đo của B·AC 
b. Gọi I là giao điểm của BC và OO'. Tính độ dài của OI. 
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung 
ngoài BC, B Î (O), C Î (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung 
ngoài BC ở I. a. Chứng minh rằng B·AC = 900. 
b. Tính số đo của O·IO'. 
c. Tính độ dài BC, biết OA = 9 cm, O' A = 4 cm. 
Bài 5: Trên các hình a, b, c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên 
hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh 
răng không chuyển động được?
Dạng 3: Bài toán về hai đường tròn cắt nhau
Bài 1: Cho đường tròn (O; 20cm) và (O'; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn 
nối tâm OO', biết rằng AB = 24 cm. 
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính 
 AOC, AO'D. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ^ CD.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi I là trung 
điểm của OO'. Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt (O) tại C và cắt (O') tại 
 D. Gọi H, K là các hình chiếu vuông góc của O và O' xuống D. 
 Chứng minh rằng AC = AD = HK. 
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B, trong đó O' 
nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O'OC của đường tròn (O).
a. Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O'). 
b. Đường vuông góc với AO' tại O' cắt BC ở I. Đường vuông góc với AC tại C 
cắt đường thẳng O'B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1. Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') có OO' = d. Hãy xác định vị trí tương 
đối của hai đường tròn theo bảng sau:
 R R’ d Vị trí tương đối
 5cm 3cm 7 cm Cắt nhau
 11 cm 4 cm 3 cm Đựng nhau
 9 cm 6 cm 15 cm Tiếp xúc ngoài
 7 cm 2 cm 10 cm Ngoài nhau
 7 cm 3 cm 4 cm Tiếp xúc trong
 6 cm 2 cm 7 cm cắt nhau
Bài 2. Điền giá trị thích hợp vào trong bảng sau: (giả sử R' < R )
 R R’ d Vị trí tương đối
 8 cm 2 cm 6 cm Tiếp xúc trong
 7 cm 3 cm 4 cm < d < 10 cm Cắt nhau
 6 cm 5 cm 11 cm Tiếp xúc ngoài
 12 cm < 6 cm 6 cm Đựng nhau
Bài 3: Gọi d là khoảng cách hai tâm của hai đường tròn (O;R) và (I;r) trong đó 
 R > r > 0. Chọn đáp án đúng trong các câu hỏi sau:
1. Hai đường tròn (O) và (I) đựng nhau khi 
 C. d < R - r
2. Với d = 12 cm; R = 8 cm; r = 6 cm thì hai đường tròn (O) (I) ở vị trí: 
 A. (O) và (I) cắt nhau
3. Cho R = 6 cm; r = 4 cm. Giá trị d phải là bao nhiêu để đường tròn (O) và (I) 
tiếp xúc nhau. C. d = 10hoaëcd = 2
Bài 4: Điền các từ thích hợp vào chỗ trống ( )
a. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn 
(O; 3 cm) nằm trên đường tròn (O; 4 cm)
b. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc trong với đường tròn 
(O; 3 cm) nằm trên đường tròn (O; 2 cm)
 Bài 5: 
 a) (O') có đường kính OA nên O' là trung điểm của OA 
 AO OO ' O ' A O 'O OA O ' A 
 Vậy (O) và (O') tiếp xúc nhau 
 OA
b) OAC có: O'A O'C O'O (bán kính (O') )
 2
 OAC vuông tại C (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
 OC  AC hay OC  AD 
(O') có OC  AD (cmt) AC CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Dạng 2: Bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài 1: (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A nên ba điểm C
 O, O', A thẳng hàng.
 O'
 DOAC cân tại O do OA = OC (bán kính (O) ) O A
 D
 Þ O·AC = O·CA (tính chất tam giác cân) (1)
 DO' AD cân tại O' do O' A = O'D (bán kính (O') )
Þ O·' AD = O·'DA (tính chất tam giác cân) (2)
TH1: (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A nên O·AC = O·' AD (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ O·CA = O·'DA
Mà O·CA, O·'DA ở vị trí so le trong nên OC // O'D TH2: (O) và (O') tiếp xúc trong tại A
 Từ (1) và (2) Þ O·CA = O·'DA
 Mà O·CA, O·'DA ở vị trí đồng vị nên OC // O'D
 Bài 2: 
 a. Ta có: OO' = OA- O'A nên (O;OA) và đường tròn 
 đường kính OA tiếp xúc trong tại A 
 b. DOAD cân tại O do OA = OD (bán kính (O) )
 Þ O·AD = O·DA (tính chất tam giác cân) (1)
DO' AC cân tại O do O' A = O'C (bán kính (O') )
Þ O·' AC = O·'CA (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) Þ O·'CA = O·DA
Mà O·'CA, O·DA ở vị trí đồng vị nên O'C // OD
DOAD có OO' = O'A (bán kính đường tròn đường kính OA); O'C // OD (cmt)
Þ AC = CD (định lý về đường trung bình của tam giác)
Bài 3: 
 a) OB // O'C Þ ·AOB = ·AO'C = 1800 
 Mặt khác DAOB cân tại O, DAO'C cân tại O'
 1 2
 1800 - ·AOB 1800 - ·AO'C
 nên Aµ+ ¶A = + 
 1 2 2 2
 0 · ·
 360 - (AOB + AO'C) 1800
 = = = 900
 2 2
Vậy B·AC = 900 
 O'I O'C 1
b) DIOB có OB // O'C Þ = = (định lý Talet)
 OI OB 3
 OI - O'I 3- 1 OO' 2 3.OO' 3.4
Þ = Þ = Þ OI = = = 6 cm 
 OI 3 OI 3 2 2
Do (O;3 cm) và (O';1 cm) tiếp xúc ngoài tại A nên OO' = 3+ 1= 4 cm Vậy OI = 6 cm 
Bài 4: 
 a) có: IA = IB; IA = IC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) B
 I
 BC C
 Þ IA = IB = IC = 
 2
 O 9 4 O'
 Þ DABC vuông tại A Þ B·AC = 900 A
 b) Có: OI là phân giác B· IA; O'I là phân giác A· IC 
 (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
 mà B· IA và A· IC kề bù nên suy ra: O· IO' 90o
 c) DO'IO có O· IO' 90o , IA là đường cao nên: 
 IA2 = OA.O' A = 9.4 = 36 Þ IA = 6 cm
 Suy ra: BC = 2.IA = 2.6 = 12 cm 
Bài 5: 
- Trên hình vẽ hình a và b, hệ thống bánh răng chuyển động được
- Trên hình vẽ hình c, hệ thống bánh răng không chuyển động được
Giải thích: Vẽ chiều quay của từng bánh xe. Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì 
hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay 
của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều kim đồng hồ). Nếu hai đường 
tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau.
Dạng 3: Bài toán về hai đường tròn cắt nhau
Bài 1: Gọi H là giao điểm của OO' và AB 
Ta có OO' là đường trung trực của AB nên DAHO, DAHO' vuông tại H và 
 24
 AH = BH = = 12 cm 
 2
DAHO vuông tại H Þ OA2 = OH 2 + AH 2 (định lý Pytago)
Þ OH 2 = OA2 - AH 2 = 152 - 122 = 81 (OA = 15 cm; AH = 12 cm ) Þ OH = 9 cm 
DAHO' vuông tại H Þ O' A2 = O'H 2 + AH 2 (định lý Pytago)
Þ O'H 2 = O' A2 - AH 2 = 132 - 122 = 25 (O' A = 13 cm; AH = 12 cm ) Þ O'H = 5 cm 
a. Nếu O và O' nằm khác phía đối với AB (hình a)
thì OO' = OH + O'H = 9 + 5 = 14 cm 
b. Nếu O và O' nằm cùng phía đối với AB (hình b)
thì OO' = OH - O'H = 9- 5 = 4 cm
 Bài 2: 
 DABC nội tiếp đường tròn đường kính AC nên 
 A·BC = 900 Þ AB ^ BC (1)
 DABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên 
 ·ABD = 900 Þ AB ^ BD (2)
Từ (1) và (2) Þ C, B, D thẳng hàng. Từ đó suy ra AB ^ CD 
 Bài 3: 
 Có OH ^ CD; O'K ^ CD; IA ^ CD Þ OH // O'K // IA 
 Þ HKO'O là hình thang vuông
 mà có: IO = IO'; OH // O'K // IA
Þ AH = AK (định lý về đường trung bình của hình thang) Mặt khác: (O) có OH ^ AC Þ HA = HC (tính chất đường kính và dây cung)
(O') có OK ^ AD Þ KA = KD (tính chất đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra: CH = HA = AK = KD Þ AC = AD = HK 
 Bài 4: 
 a. DCAO' nội tiếp đường tròn đường kính CO' nên 
 1 2
 2 1
 C·AO' = 900 Þ CA ^ O' A
 Þ CA là tiếp tuyến của đường tròn (O') 
 Chứng minh tương tự ta được: CB là tiếp tuyến của 
 đường tròn (O')
 b. Có CA, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O')
 · · µ ¶
Þ O'2 = CO'B; C1 = C2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 µ ¶
Có CA ^ O' A (cmt), mà O'I ^ O' A (gt) Þ CA // O'I Þ C1 = O'1 (so le trong)
 ¶ ¶
Þ O'1 = C2 Þ DICO' cân tại I Þ IC = IO' (1)
 · ·
Có CA ^ O' A (cmt), mà CK ^ AC (gt) Þ CK // O'A Þ O'CK = O'2 (so le trong)
Þ O·'CK = C·O'B Þ DKCO' cân tại K Þ KC = KO' (2)
Lại có: OC = OO' (gt) (3)
Từ (1) (2) (3) Þ O, I, K thẳng hàng (cùng nằm trên đường trung trực của CO')