Phiếu bài tập số 6 môn Đại số Lớp 9 - Tiết 57: Hệ thức vi-ét và ứng dụng (Có đáp án)

 HỌC KÌ II – TUẦN 5 – TIẾT 57 – HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
 2
Bài 1: Cho phương trình: x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương 
 1 1
trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 và y2 x1 
 x1 x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
 1 1 1 1 x1 x2 3 9
 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 
 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2
 1 1 1 1 9
 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 
 x1 x2 x1x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0
 9 9
 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0
 2 2
Bài 2: Tìm 2 số a và b biết
 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
 2. a b = 5 và ab = 36
 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- 
ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
 2 2
 2 81 a b 
T ừ a b 9 a b 81 a2 2ab b2 81 ab 20
 2
 2 x1 4
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 9x 20 0 
 x2 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 
 nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
 2 x1 4
 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 5x 36 0 
 x2 9 Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169
 2 2 a b 13
 a b 13 
 a b 13
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1 4
 x 13x 36 0 
 x2 9
 Vậy a = 4 thì b = 9
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1 4
 x 13x 36 0 
 x2 9
 Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 2 2 2 2 2 2 a b 11
T ừ: a + b = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 
 a b 11
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
 2 x1 5
 x 11x 30 0 
 x2 6
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
 2 x1 5
 x 11x 30 0 
 x2 6
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
Bài 3: Cho phương trình : x2 8x 15 0 . Không giải phương trình, hãy tính
 2 2 3 3
 a. A=x1 x2 b) B = x1 + x2
 2
HD: Ta có ' 4 1.15 1 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 =8 và x1x2 = 15 2 2 2 2 2 2
a) A= x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = 8 – 2.15= 34
b) B = x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x =8.(82 – 3. 15) = 152
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 2
Bài 4: Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình hãy 
 2 2
 6x1 10x1x2 6x2
tính giá trị biểu thức: Q 3 3
 5x1x2 5x1 x2
 2
HD: ' (2 3) 8 4 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 = 4 3 và x1x2 = 8
 6x2 10x x 6x2 6(x x )2 2x x 6.(4 3)2 2.8 17
 Q 1 1 2 2 1 2 1 2 
 3 3 2 2
 5x1x2 5x1 x2 5x x x x 2x x 5.8 (4 3) 2.8 80
 1 2 1 2 1 2 
 2
Bài 5: Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao 
cho x1; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: 
 B1: Dễ thấy m 2 2 4 2m 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 . Do đó phương trình 
đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 m x1 x2 2(1)
 x1 x2 m 2 
 x1x2 1
 x1.x2 2m 1 m (2)
 2
 B3: Từ (1) và (2) ta có:
 x x 1
 x x 2 1 2 2 x x x x 5 0
 1 2 2 1 2 1 2
 2
Bài 6: Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m2 33 0 do đó phương trình đã cho 
luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1 x2 (4m 1) 4m (x1 x2 ) 1(1)
 x1.x2 2(m 4) 4m 2x1x2 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
 (x1 x2 ) 1 2x1x2 16 2x1x2 (x1 x2 ) 17 0
Bài 7: Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 2 0 .
 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
 ' (2m 1)2 4(m2 2) 0
 4m2 4m 1 4m2 8 0
 7
 4m 7 0 m 
 4
 x1 x2 2m 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2 và từ giả thiết 3x1x2 5 x1 x2 7 0 . Suy ra
 x1x2 m 2
 3(m2 2) 5(2m 1) 7 0
 3m2 6 10m 5 7 0
 m 2(TM )
 3m2 10m 8 0 4
 m (KTM )
 3
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 
 3x1x2 5 x1 x2 7 0
 2
Bài 8: Cho phương trình : x m 1 x 5m 6 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn 
hệ thức: 4x1 3x2 1
HD: : m2 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m
- Theo VI-ÉT: (1)
 x1x2 5m 6
 x1 1 3(x1 x2 )
 x1x2 1 3(x1 x2 ).4(x1 x2 ) 1
- Từ : 4x1 3x2 1 . Suy ra: x2 4(x1 x2 ) 1 (2)
 2
 x1x2 7(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 1
 m 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m 1) 0 (thoả mãn ĐKXĐ)
 m 1
 2
Bài 9: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương 
 2 2
trình. Tìm m để :A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất.
 x1 x2 (2m 1)
HD: Theo VI-ÉT: 
 x1x2 m
 2 2 2
Theo đ ề b ài : A x1 x2 6x1x2 x1 x2 8x1x2
 2m 1 2 8m
 4m2 12m 1
 (2m 3)2 8 8
 3
Suy ra: min A 8 2m 3 0 hay m 
 2
 2
Bài 10: Cho phương trình: x mx m 1 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương 
trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
 2x1x2 3
 B 2 2
 x1 x2 2 x1x2 1 
 x1 x2 m
HD: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
 x1x2 m 1
 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1
 B 2 2 2 2 2
 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau: m2 2 m2 2m 1 m 1 2
 B 1 
 m2 2 m2 2
 2
 2 m 1 
 Vì m 1 0 0 B 1
 m2 2
 Vậy max B=1 m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
 1 1 1 1
 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2
 m 2 1
 B 2 2 2 2 
 m2 2 m2 2 2 m2 2 2
 2
 2 m 2 1
 Vì m 2 0 0 B 
 2 m2 2 2
 1
 Vậy min B m 2
 2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện 
cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
 2m 1
 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)
 m2 2
Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì 0
hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0
 1
 B 
 2B 1 0 2
 B 1 0 B 1 1
 B 1
 2B 1 0 1 2
 B 
 B 1 0 2
 B 1
 Vậy: max B=1 m = 1
 1
 min B m 2
 2 Bài tập vận dụng:
 2 2
Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x 2x m 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương 
trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho :
 a) y1 x1 3 và y2 x2 3 b) y1 2x1 1 và y2 2x2 1
(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 )
Bài 2: Tìm 2 số a và b biết: a2 + b2 = 85 v à ab = 20
Bài 3: Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 . Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 1 x 1 x
 1. (3) 2. 1 2 (1)
 x1 x2 x1 x2
 2 2 x1 x2 5 
 3. x1 x2 (1) 4. 
 x2 1 x1 1 6 
 1 1
 5. 
 x1 1 x2 1
 2
Bài 4: Cho phương trình: m 1 x 2mx m 4 0(1) có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên 
hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
 2
Bài 5: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng minh rằng 
biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m.
 2
Bài 6: Cho phương trình : 3x 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả 
mãn hệ thức: 3x1 5x2 6
 2 2
Bài 7: Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0.Tìm m để biểu thức A x1 x2 có 
giá trị nhỏ nhất.
 2
Bài 8: Cho phương trình x 2(m 1)x 3 m 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn 
 2 2
điều kiện x1 x2 10 .
Bài 9: Cho phương trình : x2 2(m 4)x m2 8 0 xác định m để phương trình có 2 
nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
 2 2
b) B x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất