Phiếu bài tập số 6 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 4: Một số hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 6 – HH9 – TIẾT 4: MỘT SỐ HỆ THỨC LIấN HỆ GIỮA CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
 TRONG TAM GIÁC VUễNG
DẠNG 1: CHỨNG MINH HỆ THỨC
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú AB AC , kẻ trung tuyến AM và đường cao AH . Chứng minh hệ 
thức:
 2
 2 2 2 BC
 a) AB AC 2AM 
 2
 b) AB2 AC 2 2BC.MH
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 AB2 HB
 a) 
 AC 2 HC
 AB3 BE
 b) 
 AC3 CF
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 a) BC 2 3AH 2 BE2 CF 2
 b) 3 BE2 3 CF 2 3 BC 2
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 1 1 1 1 2
 a) 
 HE2 HF 2 BH 2 CH 2 AH 2
 b) AH 3 BE.CF.BC
 0
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , kẻ BM  CA . Chứng minh rằng
 2
 AM AB 
 2 1
 MC AC 
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH .Biết BH a, HC b Chứng minh rằng a b
 ab 
 2
DẠNG 2: TÍNH TOÁN
 0
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , gọi I là giao điểm cỏc đường phõn giỏc. Biết
IA 2 5cm , IB 3cm . Tớnh độ dài AB .
 0
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , đường cao AD , trực tõm H , biết AH 14cm , 
BH HC 30cm . Tớnh độ dài AD .
Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú BC 40cm , đường phõn giỏc AD 45cm , đường cao AH 36cm , . 
Tớnh độ dài BD, DC .
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại B cú AB 3; BC 4 , ta dựng tam giỏc ACD vuụng cõn tại 
D sao cho D khỏc phớa với B đối với đường thẳng AC . Tớnh độ dài AD, BD .
Bài 5: Gọi H là giao điểm cỏc đường chộo hỡnh vuụng ABCD cú cạnh AB 1, M là trung điểm 
cạnh AB . Đường trung trực của đoạn MH cắt đường trung trực của đoạn CH tại O . Tớnh độ dài
OH .
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cú cạnh a , vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và 
 1 1 1
cắt đường thẳng DC ở I . Chứng minh rằng .
 AM 2 AI 2 a2
Bài 2: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh 10cm . Tớnh cạnh của tam giỏc đều AEF cú E thuộc cạnh 
CD và F thuộc cạnh BC .
Bài 3: Chứng minh rằng nếu tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau thỡ
AB2 CD2 BC2 AD2 .
Bài 4: Tứ giỏc ABCD cú cỏc gúc tại đỉnh B, D vuụng và AB AD . Trờn cạnh BC ta lấy điểm M
và trờn cạnh CD lấy điểm N sao cho AM  BN . Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AM , BN
và K là giao điểm của AN, DM . Chứng minh rằng AH.AM AK.AN .
Bài 5: Cho xOy 900 và số a 0 . Ta xột hai điểm A, B lần lượt nằm trờn Ox,Oy thỏa món điều 
 1 1
kiện a . Chứng minh rằng khoảng cỏch từ O đến đường thẳng AB khụng phụ thuộc 
 OA2 OB2
vào vị trớ cỏc điểm A, B . HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: CHỨNG MINH HỆ THỨC
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú AB AC , kẻ trung tuyến AM và đường cao AH . Chứng minh hệ 
thức:
 2
 2 2 2 BC
 c) AB AC 2AM 
 2
 d) AB2 AC 2 2BC.MH
 Hướng dẫn
 2 2 2
 a) Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc vuụng AHB ta cú: AB AH HB (*)
 2 2 2
 Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc vuụng AHM ta cú: AH AM MH (**)
 Và HB MB MH (***)
 Từ (*), (**) và (***) ta cú:
 AB2 AH 2 HB2 AM 2 MH 2 MB MH 2 AM 2 MH 2 MB2 MH 2 2MB.MH
 AM 2 MB2 2MB.MH 1 
 A
 Tương tự ta cú: AC 2 AM 2 MC 2 2MC.MH 2 
 Lấy (1) cộng (2) ta được
 AB2 AC 2 2AM 2 MB2 MC 2 MB MC 
 2 2
 BC BC BC 2
 2AM 2 2AM 2 
 B
 2 2 2 C H M
 b) Lấy (1) trừ (2) ta được
 AB2 AC 2 4MB.MH 2.BC.MH
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 AB2 HB
 c) 
 AC 2 HC
 AB3 BE
 d) 
 AC3 CF A
 Hướng dẫn
 a) Trong tam giỏc ABC ta cú: F
 AB2 BH.BC
 2
 AC CH.CB E
 AB2 BH.BC HB
 Vậy: 
 AC 2 CH.CB HC
 B C
 2 H
 b) Trong tam giỏc AHB ta cú: BE.BA BH
 Trong tam giỏc AHC ta cú: CF.CA CH 2 AB2 HB AB4 HB2 BE.BA AB3 BE
 Ta cú 
 AC 2 HC AC 4 HC 2 CF.CA AC3 CF
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 c) BC 2 3AH 2 BE2 CF 2
 d) 3 BE2 3 CF 2 3 BC 2
 Hướng dẫn
 2 2 2
 a) Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc vuụng HBE ta cú: BE BH HE
 Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc vuụng HFC ta cú: CF 2 CH 2 HF 2
 Dễ dạng chứng minh tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật AH EF
 Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A nờn HB.HC AH 2
 Xột VP 3AH 2 BE2 CF 2 3AH 2 BH 2 HE2 CH 2 HF 2 
 3AH 2 HF 2 HE2 CH 2 BH 2 3AH 2 EF 2 BH HC 2 2HB.HC
 2AH 2 BC 2 2AH 2 BC 2
 b) Trong tam giỏc ABC ta cú: BH.BC BA2
 Trong tam giỏc AHB ta cú: 
 BH 2 BH 4 BH 4 BH 3
 BE.BA BH 2 BE BE2 1 
 BA BA2 BH.BC BC
 Trong tam giỏc AHC ta cú: 
 CH 2 CH 4 CH 4 CH 3
 CF.CA CH 2 CF CF 2 2 
 CA CA2 CH.BC BC
 Từ (1) và (2) suy ra
 BH CH BC
 3 BE2 3 CF 2 3 BC 2
 3 BC 3 BC 3 BC
 A
 F
 E
 C
 B H
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao . HE, HF lần lượt là cỏc đường cao của 
tam giỏc AHB, AHC . Chứng minh rằng
 1 1 1 1 2
 c) 
 HE2 HF 2 BH 2 CH 2 AH 2 d) AH 3 BE.CF.BC
 Hướng dẫn
 1 1 1
 a) Trong tam giỏc vuụng ABH ta cú: 
 HE2 HB2 HA2
 1 1 1
 Trong tam giỏc vuụng ACH ta cú: 
 HF 2 HC 2 HA2
 1 1 1 1 2
 Cộng vế với vế ta được 
 HE2 HF 2 BH 2 CH 2 AH 2
 b) Trong tam giỏc vuụng ABC ta cú: AH.BC AB.AC và 
 AH 2 HB.HC AH 4 HB2.HC 2
 AH 4 HB2.HC 2 BE.BA CF.CA BE.CF. BA.CA BE.CF.BC.AH
 AH 3 BE.CF.BC
 0
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , kẻ BM  CA . Chứng minh rằng
 2
 AM AB 
 2 1
 MC AC 
 Hướng dẫn
 Lấy điểm E đối xứng với C qua A . Ta cú AC AB AE BCE vuụng tại B
 2 2
 2 BC BC
 Ta cú BC CM.CE MC 1 
 CE 2AC
 BC 2 2AC 2 BC 2
 Mà AM AC MC AC 2 
 2AC 2AC
 2
 AM 2AC 2 BC 2 BC 2 2AC 2 BC 2 AB 
 Chia (2) cho (1) ta được : 2 2 1
 MC 2AC 2AC BC AC 
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH .Biết BH a, HC b Chứng minh rằng
 a b
 ab 
 2 Hướng dẫn
 2
 Trong tam giỏc ABC ta cú AH HB.HC AH a.b
 BC a b
 Vỡ AM là đường trung tuyến nờn AM 
 2 2
 a b
 Trong tam giỏc vuụng AMH cú AH AM ab 
 2
DẠNG 2: TÍNH TOÁN
 0
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , gọi I là giao điểm cỏc đường phõn giỏc. Biết 
IA 2 5cm , IB 3cm . Tớnh độ dài AB .
 Hướng dẫn
 Dựng đường vuụng gúc với AB tại A cắt BI ở K
 à à 0 à ả 0 à à
 Ta cú: K B1 90 ; I2 B2 90 ( do I2 I1 đối đỉnh)
 ả à à à
 mà B2 B1 ( phõn giỏc) vậy K I2 . Nờn tam giỏc AIK cõn tại A AI AK
 Kẻ AH  BK . Đặt IH HK x
 Xột tam giỏc vuụng ABK ta cú: 
 2
 AK 2 KH.KB AI 2 KH. KI IB 2 5 x 2x 3 x 2,5
 Vậy KB 2x 3 8cm
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng ABK
 2
 AB2 AK 2 BK 2 AB2 BK 2 AK 2 82 2 5 44 AB 2 11
 0
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A àA 90 , đường cao AD , trực tõm H , biết AH 14cm , 
BH HC 30cm . Tớnh độ dài AD .
 Hướng dẫn
 Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC . Ta cú BHCE là hỡnh thoi. à à
 Ta cú B1 C1 (slt)
 à ả
 C1 C2 (hỡnh thoi)
 ả à
 C2 A1 (gúc cú cỏc cạnh tương ứng vuụng gúc)
 à à
 Vậy B1 A1
 à ả 0 à à 0
 Ta cú B1 H1 90 A1 E1 90 ABE vuụng tại B
 BE2 ED.EA
 Đặt DE x . Ta cú 302 x. 2x 14 x 18 AD 32cm
Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú BC 40cm , đường phõn giỏc AD 45cm , đường cao AH 36cm , . 
Tớnh độ dài BD, DC .
 Hướng dẫn
 Đặt BD x; DC y x y 40 
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng ADH
 AH 2 HD2 AD2 HD2 AD2 AH 2 452 362 729 HD 27
 Vẽ tia phõn giỏc của gúc ngoài tại A cắt BC ở E . Ta cú AE  AD nờn AD2 DH.DE
 AD2 452
 Suy ra DE 75
 DH 27
 Theo tớnh chất đường phõn giỏc trong và ngoài của tam giỏc ta cú
 DB EB x 75 x
 1 .
 DC EC y 75 y
 Mặt khỏc ta cú DB DC BC x y 40
 Thay y 40 x vào (1) và giải ta được x 15
 Vậy DB 15; DC 25
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại B cú AB 3; BC 4 , ta dựng tam giỏc ACD vuụng cõn tại 
D sao cho D khỏc phớa với B đối với đường thẳng AC . Tớnh độ dài AD, BD .
 Hướng dẫn
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng ABC
 AB 2 BC 2 AC 2 AC 2 32 42 25 AC 5
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng ADC AC 5
 AD 2 DC 2 AC 2 2AD2 AC 2 AD 
 2 2
 Gọi E là trung điểm của AC , H là chõn đường cao tam giỏc kẻ từ B . Kộo dài tia BH và 
 lấy điểm K sao cho HK ED .
 Ta cú HEDK là hỡnh bỡnh hành HK / /ED, HK ED cú một gúc vuụng nờn là hỡnh chữ 
 nhật
 AC 5
 Ta cú DE 
 2 2
 BA.BC 3.4 12
 BH.AC BA.BC BH 
 AC 5 5
 12 5 49
 Vậy BK BH HK 
 5 2 10
 2 2
 2 2 5 12 7
 HE BE BH 
 2 5 10
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng BKD
 2 2
 2 2 2 2 2 2 49 7 7 2
 BD BK KD BD BK HE BD 
 10 10 2
Bài 5: Gọi H là giao điểm cỏc đường chộo hỡnh vuụng ABCD cú cạnh AB 1, M là trung điểm 
cạnh AB . Đường trung trực của đoạn MH cắt đường trung trực của đoạn CH tại O . Tớnh độ dài
OH .
 Hướng dẫn
 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MH,CH . E là giao điểm của OI, BH . 
 ả 0 ả 0
 Ta cú H1 45 K1 45 . Vậy tam giỏc OEK vuụng cõn tại E BC 2
 OK EK 2 2 
 2 2
 HC AC 2
 KH 
 2 4 4
Áp dụng định lý Pitago trong tam giỏc OKH ta cú
 2 2
 2 2 2 2 2 1 1 5 5
 OH OK KH OH 
 2 4 2 8 8 8