Phiếu bài tập số 6 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 40: Góc nội tiếp (Có đáp án)

 HỌC Kè II – TUẦN 2 – TIẾT 40 – GểC NỘI TIẾP
Dạng 1: Chứng minh cỏc gúc bằng nhau, tớnh số đo gúc.
Bài 1: 
 Cho tam giỏc ABC AB AC nội tiếp đường trũn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm 
D trờn cung BC khụng chứa A sao cho Bã AD Cã AM . Chứng minh rằng ãADB Cã DM .
Bài 2: 
 Tớnh gúc Acủa tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O), biết IãOK 90, trong dú I là tõm 
đường trũn nội tiếp, K là tõm đường trũn bàng tiếp trong gúc A.
Dạng 2: Tớnh độ dài, tớnh diện tớch.
Bài 1: 
 Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là cỏc 
điểm thuộc nửa đường trũn sao cho ãACD Bã CE 90 . BiếtCD CE a . Tớnh DE theo a.
Bài 2: 
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O) cú bỏn kớnh 1dm , Bà 45o ,Cà 15o . Tớnh dộ 
dài AC, BC, AB và diện tớch tam giỏc ABC .
Bài 3: 
 Cho đường trũn (O; R), hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Gọi K là trung điểm 
của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường trũn (O), I là giao điểm của MD và AB. 
Tớnh diện tớch :
 a) Tam giỏc MAB;
 b) Tam giỏc MIK.
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc.
Bài 1: 
 Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trũn (O). Gọi H là trực tõm của tam 
giỏc ABC, K là giao điểm thứ hai củaAH với đường trũn (O). Đường thẳng đi qua H và vuụng 
gúc với OA cắt BC ởI. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường trũn (O).
Bài 2: 
 Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC , trực tõm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung 
điểm của BC. Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng ãAKH 90.
Bài 3: 
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O). Tia phõn giỏc gúc Acắt BCởD và cắt đường 
trũn (O) ở M (khỏc A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường trũn M ;MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh 
rằng DK vuụng gúc với AM. HỌC Kè II – TUẦN 2 – TIẾT 40 – GểC NỘI TIẾP
 HƯỚNG DẪN GIẢI
 Dạng 1: Chứng minh cỏc gúc bằng nhau, tớnh số đo gúc.
 Bài 1: Cho tam giỏc ABC AB AC nội tiếp đường trũn (O), đường trung tuyến AM. Lấy 
điểm D trờn cung BC khụng chứa A sao cho Bã AD Cã AM . Chứng minh rằng ãADB Cã DM .
Giải .
 A
 1 2
 O
 1
 B M C
 D
 à ả ã ã ã ã
 A1 A2 BAM DAC , lại cú ABM ADC (gúc nội tiếp) nờn ABM  ADC (g.g)
 BA BM MC
 .
 AD DC CD
 à à ã ã
Kết hợp với A1 C1 suy ra BAD  MCD (c.g.c) ADB CDM .
Bài 2: 
 Tớnh gúc Acủa tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O), biết IãOK 90, trong dú I là tõm 
đường trũn nội tiếp, K là tõm đường trũn bàng tiếp trong gúc A.
Giải 
 A
 N
 I
 O
 B
 C
 D
 K
 Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường trũn (O). 1 1 1
 Dã BI sđ DẳN ; Bã ID sđ BằD sđ ằAN Dã BI Bã ID BDI cõn tại D DB DI
 2 2 2
 1
 IBK vuụng tại B cú DB DI nờn DI DK và DB IK . (1)
 2
 1
 IOK vuụng tại O cú DI DK nờnOD IK . (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra BD OD OB . 
 BOD đều Bã OD 60 Bã AC 60 .
 Dạng 2: Tớnh độ dài, tớnh diện tớch.
 Bài 1: Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là 
cỏc điểm thuộc nửa đường trũn sao cho ãACD Bã CE 90 . BiếtCD CE a . Tớnh DE theo a.
Giải
 D
 E
 K 1
 4
 1 2
 A B
 O C 3
 I
 Trờn CDlấy Ksao cho CK CE thỡ DK CD CK CD CE a .
 Kộo dài DCcắt đường trũn (O) ở I.
 1
 Ta cú Cả Cà Cả E đối xứng với Iqua AB Eã OB sđ EºI Dà . (1)
 2 l 3 2
 180o Cả
 ECK cõn Kả 4 Cả Dã KE Oã CE (bự với hai gúc trờn). (2)
 1 2 2
 Từ (1) và (2) suy ra DKE  OCE (g.g)
 DE OE OB
 2 . Vậy DE 2DK 2a . 
 DK OC OC
 Bài 2: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O) cú bỏn kớnh 1dm , Bà 45o ,Cà 15o . Tớnh 
dộ dài AC, BC, AB và diện tớch tam giỏc ABC .
Giải A
 M C
 B 45° 15° 1
 H 2
 O
 1dm
  Bà 45o ãAOC 90o AC OC 2 2 dm .
  Kẻ OM  BC .
 ả à à o o o
 Ta cú C2 C C1 45 15 30
 3
 MC OC.cos30o BC 3 dm .
 2
  Kẻ AH  BC . Đặt HC x, HB y thỡ x y 3 (1)
 Ta cú HC 2 HB2 HC 2 HA2 AC 2 2 nờn x2 y2 2 (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra 2xy x y x2 y2 3 2 1 (3)
 Từ (2) và (3) suy ra x y 2 x2 y2 2xy 2 1 1 x y 1 (4) 
 3 1 6 2
 Từ (1) và (4) suy ra y dm . Do đú AB y 2 dm . 
 2 2
 1 1 3 1 3 3 2
  S ABC BC.AH . 3. dm 
 2 2 2 4
 Bài 3: Cho đường trũn (O; R), hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Gọi K là 
trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường trũn (O), I là giao điểm của 
MD và AB. Tớnh diện tớch :
 c) Tam giỏc MAB;
 d) Tam giỏc MIK.
Giải 
 C
 M
 K
 A I O B
 D MA OK 1
 a) ãAMB 90, Bã OK 90 nờn tan B .
 MB OB 2
 MB 2MA 2R 4R 4R2
 Từ 2 2 2 dễ dàng tớnh được MA , MB , S MAB . (1)
 MA MB 4R 5 5 5
 IA MA 1
 b) MI là đường phõn giỏc của MAB . Lại cú IA IB 2R nờn dễ dàng 
 IB MB 2
 4R
tớnh được IB .
 3
 1 1 4R R R2
 S IB.KO . . . (2)
 KIB 2 2 3 2 3
 1 1 1 4R2 4R2
 AI AB S S . . (3)
 3 MAI 3 MAB 3 5 15
 Từ (1), (2) và (3) suy ra 
 4R2 R2 4R2 R2
 S S S S .
 MIK MAB KIB MAI 5 3 15 5
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc.
 Bài 1: Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trũn (O). Gọi H là trực tõm của 
tam giỏc ABC, K là giao điểm thứ hai củaAH với đường trũn (O). Đường thẳng đi qua H và 
vuụng gúc với OA cắt BC ởI. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường trũn (O).
Giải 
 A
 1
 2
 H
 1 O
 B C
 I 2 1
 K
 ả ả ả
 Dễ chứng minh Hđối xứng với Kqua BC, suy ra K2 H1 H2 (1)
 ả à ả ả
 Ta lại cú K1 A1 nờn K1 phụ H2 (2)
 ả ả
 Từ (1) và (2) suy ra K2 phụ K1 . Vậy IK là tiếp tuyến của đường trũn (O).
Bài 2: 
 Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC , trực tõm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung 
điểm của BC. Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng ãAKH 90.
Giải A
 2 1
 I
 1 K
 O
 H
 B M C
 N
 D
 Gọi (O) là đường trũn ngoại tiếp ABC . Vẽ bỏn kớnh OD đi qua M thỡ D là điểm chớnh giữa 
của cung BC nờn A, K, D thẳng hàng.
 Vẽ đường kớnh AN. Dễ chứng minh đươch BHCN là hỡnh bỡnh hành H, M , N thẳng 
 1
hàng và OM AH AI . Tứ giỏc AOMI cú AI // OM , AI OM nờn là hỡnh bỡnh hành
 2
 à ả
 OA// MI A1 K1
 à à ả ả ả ã o
 Kết hợp với A1 D A2 nờn K1 A2 IK IA IH . Vậy AKH 90 . 
Bài 3: 
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O). Tia phõn giỏc gúc Acắt BCởD và cắt đường 
trũn (O) ở M (khỏc A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường trũn M ;MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh 
rằng DK vuụng gúc với AM.
Giải 
 A
 1
 2
 K
 O
 C
 B 1 D
 M
 à ả ả à à à
 A1 A2 mà A2 B1 (gúc nội tiếp)nờn A1 B1 .
 MBD : MAB (g.g)
 MD MB MD MK
 . 
 MB MA MK MA Kết hợp với Dã MK Kã MA ta cú
 DMK  KMA (c.g.c)
 Mã DK Mã KA 90 . Vậy DK  AM .