Phiếu bài tập số 7 môn Đại số Lớp 9 - Tiết 58: Luyện tập Hệ thức vi-ét và ứng dụng (Có đáp án)

 LUYỆN TẬP
 HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG
 2
 Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì:
 b c
 x x ; x x 
 1 2 a 1 2 a
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
 X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ).
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) (1)
 0
 (1) có hai nghiệm trái dấu P 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu 
 P 0
 0 0
 (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0
 S 0 S 0
Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
 c
 Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x .
 1 2 a
 c
 Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x .
 1 2 a
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai
Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) x2 2x 3 0 b) x2 x 2 0 c) x2 6x 5 0
d) 3x2 7x 10 0 e) x2 3x 4 0 f) x2 4x 3 0
g) x2 5x 6 0 h) 3x2 5x 8 0 i) 5x2 x 6 0
Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước
Bài 2. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
 1
a) 3 và 4 b) 5 và –8 c) 3 và 
 4
 3 2
d) và e) 2 3 và 2 3
 4 3
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm 
 2
Bài 3. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 2x 3 0
Tính giá trị của các biểu thức:
 2 2 3 3 1 1 x1 x2
A x1 x2 ; B x1 x 2 ; C ; D 
 x1 x2 x2 x1 Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
 Tìm ĐK để PT có nghiệm: 0 
 Sử dụng hệ thức Vi – ét tính tổng và tích các nghiệm theo m.
 Thay tổng và tích các nghiệm vào hệ thức ban đầu để tìm m.
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
 2 2
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1 + x2 x1x2 7 .
Bài 5: Cho phương trình: x2 5x m 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3 .
Bài 6: Cho phương trình: x2 2mx 4 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
 2 2
b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 1 x2 1 2 
Bài 7: Cho phương trình: x2 2mx 1 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 2 2
b) Tìm các giá trị của m để: x1 x2 x1x2 7 .
Bài 8: Cho phương trình: x2 x m 1 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn: x1x2 (x1x2 2) 3(x1 x2 ) 
Bài 9: Cho phương trình x2 6x m 0 .
1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x1 x2 4 .
Bài 10: Cho phương trình: x2 2(m 1) m 3 0 (1)
1) Giải phương trình với m = –3
 2 2
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x2 10 .
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai
Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) x2 2x 3 0 b) x2 x 2 0 c) x2 6x 5 0
d) 3x2 7x 10 0 e) x2 3x 4 0 f) x2 4x 3 0
g) x2 5x 6 0 h) 3x2 5x 8 0 i) 5x2 x 6 0
Hướng dẫn:
a) x2 2x 3 0
PT đã cho có a b c 1 2 3 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 3 .
b) x2 x 2 0
PT đã cho có a b c 1 1 2 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 2 .
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước
Bài 2. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
 1
a) 3 và 4 b) 5 và –8 c) 3 và 
 4
 3 2
d) và e) 2 3 và 2 3
 4 3
Hướng dẫn:
 3 4 7 2
a) Ta có nên 3 và 4 là hai nghiệm của PT: x 7x 12 0 .
 3.4 12
 5 ( 8) 3 2
b) Ta có nên 5 và –8 là hai nghiệm của PT: x 3x 40 0 .
 5.( 8) 40
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm 
 2
Bài 3. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 2x 3 0
Tính giá trị của các biểu thức:
 2 2 3 3 1 1 x1 x2
A x1 x2 ; B x1 x 2 ; C ; D 
 x1 x2 x2 x1
Hướng dẫn: PT đã cho có ac 1.( 3) 3 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 .
 x1 x2 2
Theo ĐL Viét ta có: 
 x1x2 3
Khi đó:
 2 2 2 2
 A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2 2 3 10
 3 3 2 2
 B x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1x 2 2 10 3 26
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
 2 2
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1 + x2 x1x2 7 .
GIẢI: 
a) Ta thấy: a = 1; b = – 2m; c = – 1, rõ ràng: a.c = 1.(–1) = –1 < 0
 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 x1 x2 2m
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi – ét, ta có: 
 x1x2 1
 2 2 2
Khi đó: x1 x2 x1x2 7 x1 x2 3x1x2 7
 (2m)2 – 3.(–1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3 .
GIẢI: 
a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 4.6 = 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
b) Ta có: ∆ = 25 – 4m.
 25
Phương trình đã cho có nghiệm 0 m (*)
 4
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
 2 2 2
Khi đó: x1 x2 3 x1 x2 9 x1 x2 4x1x2 9 5 4m 9 m 4 .
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
 2 2
b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 + 1) + (x2 + 1) = 2.
GIẢI: 
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 5; x2 3 5 .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 / m 2
Phương trình (1) có nghiệm 0 (*). 
 m 2
Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. 
 2 2
Suy ra: (x1 + 1) + (x2 + 1) = 2 
 2 2 2 2
 x1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0 (x1 + x2) – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m – 8 + 4m = 0 
 m1 1
 m2 + m – 2 = 0 . 
 m2 2
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có giá trị m2 = – 2 thỏa mãn. 
Vậy m = – 2 là giá trị cần tìm.
Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2mx – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 2 2
b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7.
GIẢI: 
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi – ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = – 1.
 2 2 2 2 2
Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7 (x1 + x2) – 3x1.x2 = 7 4m + 3 = 7 m = 1 m = ± 1.
Bài 8: Cho phương trình: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2).
GIẢI: 
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0.
Vì ∆ = – 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = –3 – 4m. 
 3
Phương trình có nghiệm ∆ 0 – 3 – 4m 0 4m 3 m (*).
 4
Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2), ta được: 
(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2. 
Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = –2 thỏa mãn.
Bài 9: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0.
1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1 – x2 = 4.
GIẢI: 
1) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0
2) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ' 9 m 0 m 9.
 x1 x2 6 (1)
Theo hệ thứcViét ta có 
 x1.x2 m (2)
Theo yêu cầu của bài ra x1 – x2 = 4 (3)
Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2 (m – 1)x – m – 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = –3 2 2
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thứcx 1 + x2 = 10.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
GIẢI: 
 x 0
1) Với m = – 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x(x + 8) = 0 
 x 8
2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: 
∆’ 0 (m – 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 – 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 
 1 15
 m2 – m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m
 2 4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
 x1 x2 2(m 1) (1)
Theo hệ thức Vi ét ta có: 
 x1 x2 m 3 (2)
 2 2 2 2
Ta có x1 + x2 = 10 (x1 + x2) – 2x1x2 = 10 4 (m – 1) + 2 (m + 3) = 10
 m 0
 4m2 – 6m + 10 = 10 2m(2m 3) 0 3
 m 
 2
3) Từ (2) ta có m = –x1x2 – 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (– x1x2 – 3 – 1) = – 2x1x2 – 8
 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.