Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 1: Một số hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Nguyễn Thị Thu Thanh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 7 – ĐẠI SỐ 9 – TIẾT 1 – MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG – TỔ 1 – NGUYỄN THỊ THU THANH
Dạng 1: Vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao để giải các bài toán định lượng (tìm các yếu 
tố của tam giác):
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 3cm; AC 4cm và đường cao AH. Tính độ dài 
đoạn thẳng BH và CH.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 6cm; BC 10cm và đường cao AH. Tính độ dài 
đoạn thẳng BH và CH.
Bài 3: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài 
 16
BH 3cm , CH cm . Tính độ dài AB, AC .
 3
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 15cm; AC 20cm và đường cao AH. Tính độ 
dài đoạn thẳng BC và AH.
Bài 5: Tính x và y trong mỗi hình sau:
 a)
 b)
Bài 6: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH có BH 1cm, AC 2 5 cm . Tính độ dài AH.
Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH có AH = 16 cm, BH = 25 cm. Tính AB, AC, BC, CH.
Bài 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.
Bài 9: Cho DABC vuông ở A , AB = 30cm, AC = 40cm , đường caoA H , trung tuyến AM .
 a) TínhBH, HM , MC .
 b) TínhA H . Bài 10: Cho DABC vuông ởA , đường caoA H . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của
AB, AC . BiếtHM = 15cm ,HN = 20cm . Tính HB, HC, AH.
Dạng 2: Dựa vào các hệ thức đã học để giải các bài toán định tính (làm các bài toán chứng minh):
Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Kẻ đường thẳng qua A cắt cạnh BC tại E và đường thẳng CD tại F. 
 1 1 1
Chứng minh rằng: 
 AB2 AE2 AF 2
Bài 12: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi 
 1 1 1
cạnh của hình thoi là h; AC = m; BD = n. Chứng minh rằng: . 
 m2 n2 4h2
 o
Bài 13: Cho hình thang ABCD có Bµ = Cµ = 90 , hai đường chéo vuông góc với nhau tại H. Biết 
rằng AB = 3 5 cm; HA = 3cm. Chứng minh rằng:
 a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8
 1 1 1 1
 b) 
 AB2 CD2 HB2 HC2
 ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1: Vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao để giải các bài toán định lượng (tìm các yếu 
tố của tam giác):
Bài 1: 
Áp dụng định lý Pitago có :
BC 2 AB2 AC 2 BC AB2 AC 2 9 16 5 cm AB2 9
Mà AB2 BC.BH BH cm 
 BC 5
 AC 2 16
 AC 2 BC.CH CH cm 
 BC 5
 9 16
 Vậy BH cm; CH cm
 5 5
Bài 2: 
Áp dụng định lý Pitago có 
 AC 2 AB2 BC 2 AC AB2 BC 2 36 100 8 cm 
Mà AB2 BC.BH
 AB2 36
 BH 3,6 cm 
 BC 10
 Và AC 2 BC.CH
 AC 2 64
 CH 6,4 cm 
 BC 10
 Vậy BH 3,6cm; CH 64cm
Bài 3: 
Ta có 
 16 25
 BC BH CH 3 cm 
 3 3
 25
 AB2 BH.BC 3. 25
 3
 AB 25 5 cm 
 16 25 400
 AC 2 CH.BC . 
 3 3 9
 400 20
 AC cm 
 9 3
Bài 4:
Áp dụng định lý Pitago có BC = 15 cm và tính BH 9cm, CH 16cm
mà AH 2 CH.BH 9.16 144
 AH 12cm Bài 5: 
 a) 
 Áp dụng hệ thức b2 ab' ta được : 102 8 x 8 x 4,5
 Do đó y2 4,5. 4,5 8 56,25 y 7,5
 Vậy x 4,5; y 7,5
 b)
 Áp dụng hệ thức b2 ab' ta được : 302 x x 30 x2 32x 900 0
 x 18 x 50 0
 x1 18 n 
 x2 50 l 
 Do đó y2 32. 32 18 1600 y 40
 Vậy x 18; y 40
Bài 6: 
Ta có :
 2
AC 2 CH.BC 2 5 BC BH .BC
 BC 2 BC 20 0
 BC 5cm n 
 BC 4cm l 
Áp dụng định lý pytago có 
AB 5 , CH=BC-BH=5-1= 4(cm). Do đó AH 2 BH.CH 4 AH 4 2(cm)
Bài 7: 
Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có :
 AB2 = AH2 + BH2 = 162+ 252 = 881
 AB 881 29,68 (cm)
*) Áp dụng hệ thức lượng ta có :
AH 2 BH.CH 162 25.CH
 CH 162 : 25 10,24 (cm)
Do đó BC BH HC 25 10,24 35,24 (cm)
AC 2 CH.BC 10,24.35,24 360,8576
 AC 19 (cm)
Bài 8: 
Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có :
*) AB2 AH 2 BH 2 122 AH 2 62 AH 2 108
 AH 6 3 (cm)
*) Áp dụng hệ thức lượng ta có 
+) AH 2 = BH.CH 108 6.CH
 CH 18 (cm)
Do đó BC BH HC = 6 + 18 = 24(cm)
 2
+) AC CH.BC =18.24 = 432
 AC 12 3 (cm)
Bài 9: 
 a)Xét tam giác ABC vuông tại A
 2 2 2 2
 BC AC AB 40 30 50 cm
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường 
cao. 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 
ta có: 
 AB2 302
AB2 BC.BH BH 16(cm).
 BC 50
 AH AB2 BH 2 302 162 24 (cm)
 1
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên AM BC 25 cm
 2
 HM AM 2 AH 2 252 242 7 (cm).
 1
MC BC 25(cm) ( M là trung điểm của BC ).
 2 AH.BC AB.AC
 b) AB.AC 30.40
 AH 24 (cm)
 BC 50
Bài 10: 
 1
Xét tam giác ABH vuông tại H có HM là trung tuyến nên HM AB AB 2HM 30 cm.
 2
 1
Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến nên HN AC AC 2HN 40 cm.
 2
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
 1 1 1 1 1 1 1
 AH 2 576 AH 576 24(cm)
AH 2 AB2 AC 2 AH 2 302 402 576
 2 2 2 2
 HB AB2 AH 2 302 242 18 (cm) HC AC AH 40 24 32 (cm)
Vậy HB = 18cm; HC = 32cm;AH = 24cm
 AB.AC 30.40
PP khác: Tính BC = = = 50 (cm) ( hoặc tính theo Pytago tam giác vuông ABC)
 AH 24
 AB 2
AB 2 = BH.BC Þ BH = = 18 (cm) ; HC = BC - BH = 50 - 18 = 32 (cm) .
 BC
Dạng 2: Dựa vào các hệ thức đã học để giải các bài toán định tính (làm các bài toán chứng minh):
Bài 11: 
Kẻ đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại G
 1 1 1
Trong tam giác vuông AGF có (*)
 AD2 AG2 AF 2 Vì AB AD; ¼ABE ¼ADG 900 ; G¼AD D¼AE B¼AE E¼AD 900 G¼AD B¼AE
 nên ABE ADG (g.c.g)
do đó AG = AE, mà AD = AB(gt)
 1 1 1
Thay vào (*) ta có 
 AB2 AE2 AF 2
Bài 12: 
Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau. Vẽ OH  AB
 1 1 1 1 1 1
Áp dụng hệ thức ta được 
 h2 b2 c2 OH 2 OA2 OB2
 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1
 hay 2 2 2 2 2 4 2 2 do đó 2 2 2
 h m n m n m n m n 4h
 2 2 
Bài 13: 
 a) Muốn chứng tỏ HA, HB, HC, HD tỉ lệ 
với 1, 2, 4, 8 trước tiên ta tính độ dài của các 
đoạn thẳng đó. Áp dụng hệ thức b2 = ab’ vào tam giác 
vuông BAC ta được
 AB2 = AC . AH
 AB2 45
 AC = = = 15 (cm) HC = AC - AH = 15 - 3 = 12 (cm).
 AH 3
 Áp dụng hệ thức h2 = b’c’ vào tam giác vuông BAC và tam giác vuông CBD ta được:
 BH2 = HA . HC = 36 BH = 6 (cm);
 CH2
 CH2 = HB . HD HD = = 24 (cm).
 HB
Vậy HA : HB : HC : HD = 3 : 6 : 12 : 24 = 1 : 2 : 4 : 8.
 1 1 1
 b) Áp dụng hệ thức = + vào tam giác vuông BAC và CBD ta được:
 h2 b2 c2
 1 1 1
 1 
 HB2 AB2 BC2
 1 1 1
 2 
 HC2 BC2 CD2
 1 1 1 1
Trừ từng vế của hai đẳng thức (1) và (2) ta được: 
 AB2 CD2 HB2 HC2