Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 22: Liên hệ giữa dây và khoảng cách tới tâm (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 7 - TOÁN 9 - HÌNH -HK1 -TUẦN 11 – 
 TIẾT 22 – LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỚI TÂM
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho đường tròn O;R , đường kính AB , dây AC song song với dây BD. Chứng 
minh AC BD .
Bài 2: Cho O có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại E . Gọi 
 H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh EH EK .
Bài 3: Cho đường tròn tâm O , bán kính 5cm , dây AB 8cm . Lấy C thuộc AB với 
 AC 7cm . Qua C vẽ dây EF vuông góc với AB . Chứng minh AB EF .
Dạng 2: Tính toán 
Bài 1: Cho đường tròn O , bán kính 8cm và điểm I sao cho OI 4cm.
a. Qua I hãy vẽ dây lớn nhất CD và tính độ dài CD . 
b. Qua I hãy vẽ dây bé nhất AB và tính độ dài AB .
Bài 2: 
 Cho đường tròn O;R đi qua hai 
 đỉnh và tiếp xúc với một cạnh của hình 
 vuông như hình vẽ. Tính bán kính của 
 đường tròn biết cạnh hình vuông bằng 
 8cm .
Bài 3: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn 
đó. H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB .
a. Khi AH 2cm,MH 4cm . Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: AB,MA,MB . b. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn O . Hãy xác định vị trí của M để biểu thức: 
 1 1
 có giá trị nhỏ nhất.
 MA2 MB2
Dạng 3: Bất đẳng thức trong hình học: 
Bài 1: Cho đường tròn O;R , vẽ hai dây AB và CD sao cho AB CD . Tia AB cắt CD tại 
 M ( M nằm ngoài đường tròn).
a. Chứng minh MA MC .
b. Chứng minh MA MB MC MD .
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và ba dây AC, AD, AE không qua tâm. Gọi H 
và K lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AE . Chứng minh rằng HK AB .
Bài 3: Cho A, B,C, D là bốn điểm bất kỳ cùng nằm trên đường tròn O;R theo thứ tự đó. 
 2
Chứng minh SABCD 2R .
 ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: 
 Gọi K và H lần lượt là hình chiếu 
 của O lên AC và BD .
 K và H lần lượt là trung điểm của 
 AC và BD .
 Do OA OB OC OD R
 AOC và BOD cân tại O nên 
 OK và OH cũng là phân giác.
 µ ¶
 O1 O2
 .
 ¶ ¶
 O3 O4
 · 0 µ ¶
 Có AOD 180 O1 O3 
 1800 O¶ O¶
 2 4 .
 C· OB
 ·AOC B· OD . Lại có OA OB OC OD R .
 AOC BOD c.g.c .
 Vậy AC BD .
Bài 2: 
 Trường hợp 1: E nằm trong 
 đường tròn.
 AOB và COD cân tại O , có 
 H và K lần lượt là trung điểm 
 của AB và CD .
 OH  AB
 .
 OK  CA
 Mà AB CD .
 OH OK (hai dây bằng 
 nhau thì cách đều tâm).
 Xét OEH vuông tại H và 
 OEK vuông tại K có:
 OE chung
 .
 OH OK
 OEH OEK .
 Vậy EH EK .
 Trường hợp 2: E nằm ngoài 
 đường tròn.
 Giải tương tự. Bài 3: 
 Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của 
 O lên EF và AB .
 K và H lần lượt là trung điểm của 
 EF và AB .
 Có: O· HC H· CK C· KO 900
 Tứ giác HCKO là hình chữ nhật.
 Do H là trung điểm AB .
 AH 4cm;HC 3cm .
 Xét AOH vuông tại H , ta có:
 OH OA2 AH 2 3 cm .
 OH HC .
 Tứ giác HCKO là hình vuông.
 OH OK .
 Vậy AB EF (hai dây cách đều tâm 
 thì bằng nhau).
Dạng 2: Tính toán 
Bài 1: 
a. 
 Nhận xét: Đường kính là dây cung lớn nhất.
 Dây CD lớn nhất khi CD là đường kính.
 Vậy CD 2R 16 cm .
b. Có AB là dây đi qua I và H là hình chiếu của O lên AB .
 Dây AB bé nhất khi OH lớn nhất
 Nhận thấy OHI luôn là tam giác vuông tại H . Lại có O và I cố định nên H sẽ di động 
 trên đường tròn đường kính OI .
 OH lớn nhất khi H trùng I .
 OAB cân tại O , OH là đường cao.
 H là trung điểm AB .
 Xét OHB vuông tại H , ta có:
 OB2 OI 2 HB2
 HB2 82 42 .
 HB 4 3 cm 
 Vậy AB 2HB 8 3 cm .
Bài 2: Gọi H là hình chiếu của O lên AB .
 H cũng là trung điểm của AB .
 AH 8cm.
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác 
 vuông AHO :
 OH R2 64 cm .
 Ta có: OH OK HK
 R2 64 R 16
 R2 64 16 R
 R2 64 162 32R R2 (do R 16)
 R 10 cm 
Bài 3: 
 a. Xét MAH vuông tại H , ta có:
 MA MH 2 AH 2 42 22 2 5 cm 
 AMB nội tiếp đường tròn có AB là 
 đường kính.
 AMB vuông tại M .
 Xét AHM và AMB , có
 M· AB chung
 · · 0
 AHM AMB 90
 AHM# AMB g.g 
 AH AM
 AM AB
 .
 AM 2
 AB 10 cm 
 AH
 Xét AMB vuông tại M , ta có:
 MB AB2 AM 2 4 5 cm . b. Xét AMB vuông tại M , có đường cao 
 MH , ta có:
 1 1 1
 .
 MH 2 MA2 MB2
 1 1
 Nhận xét: có giá trị nhỏ nhất 
 MA2 MB2
 khi và chỉ khi MH lớn nhất H  O .
 AB
 MH R 5 cm .
 2
Dạng 3: Bất đẳng thức trong hình học: 
Bài 1: 
 a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu 
 của O lên AB và CD .
 OH OK 1 
 Do dây AB CD .
 AH KC 2 
 Xét OHM vuông tại H , ta có:
 MH 2 MO2 OH 2 .
 Xét OKM vuông tại K , ta có:
 MK 2 MO2 OK 2 .
 Từ 1 MH MK 3 .
 Từ 2 và 3 MA MC .
 b. MA MB MB AB MB
 2 MB BH 
 .
 2MH
 MC MD MD DC MD
 2 DK MD 
 .
 2MK
 Mà theo câu (a), ta có MH MK .
 Vậy MA MB MC MD .
Bài 2: Gọi I là trung điểm của AD 
 Do AHD và AKD là tam giác 
 vuông tại H và K , có chung cạnh 
 huyền AD .
 AD
 IH IK IA ID . 
 2
 Suy ra bốn điểm K, D, H, Acùng 
 nằm trên một đường tròn đường kính 
 AD .
 Mặt khác H· AK 90o nên KH là 
 dây cung không đi qua tâm của 
 đường tròn đường kính AD .
 Trong đường tròn, đường kính là 
 dây lớn nhất nên HK AD .
 Mặt khác, AD AB nên HK AB .
Bài 3: 
 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của 
 B và D lên AC .
 Có SABCD SABC SACD
 1 1
 BH.AC DK.AC
 2 2
 .
 1
 AC BH DK 
 2
 Do B và D nằm ở hai phía của AC
 BH DK 2R .
 Do AC là dây cung AC 2R .
 AC. BH DK 4R2
 1 .
 AC. BH DK 2R2
 2
 2
 Vậy SABCD 2R .