Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 28: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Có đáp án)

 Tiết 28: TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
Bài 1.
 Cho đường tròn O , điểm A nằm bên ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến AM , AN 
 với đường tròn( M , N là các tiếp điểm).
 a. Chứng minh OA  MN .
 b. Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng MC//AO
Bài 2.
 Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn
 M,N là tiếp điểm) sao cho M· AN 400 .Tính số đo góc M· ON .
Bài 3.
 Cho O,5cm ,điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường 
 · 0
 tròn(A, B là các tiếp điểm). Biết AMB 60 .
 a/ Chứng minh rằng AMB đều.
 b/ Tính chu vi AMB .
Bài 4.
 Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (
 B,C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường 
 tròn O , nó cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E . Chứng minh chu vi tam giác 
 ADE 2AB .
Bài 5.
 Cho đường tròn O , dây cung AB . Qua O kẻ đường vuông góc với AB tại H và cắt 
 tiếp tuyến tại A của O ở điểm C . Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
 · ·
Bài 6. Cho xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của xAy nằm trên 
 đường tròn nào. A
Bài 7.
 F
 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâ O ( hình G
 bên .Chứng tỏ rằng : 2AD AB AC BC O
 C
 B E
Bài 8.
 Cho tam giác ABC , đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với BC , AC, AB theo 
 thứ tự tại D; F; E .
 a. So sánh hai đoạn AE và AF .
 b. So sánh BD với BE và CD với CF.
 c. Chứng tỏ rằng AE AF bằng chu vi tam giác ABC .
Bài 9.
 Cho hình thang vuông ABCD ( Aµ Dµ 900 ) có Bµ 2Cµ và có các cạnh tiếp xúc với một 
 đường tròn tâm O .
 a. Chứng minh rằng chu vi hình thang bằng hai lần tổng hai đáy.
 b. Chứng minh rằng AOD vuông cân . 
Bài 10.
 Cho đường tròn tâm O , bán kính 5cm , lấy điểm A sao cho OA 8cm , vẽ hai tiếp tuyến 
 AB, AC với đường tròn ,( B,C là tiếp điểm ), một tiếp tuyến (d) ở cung nhỏ BC cắt AB tại 
 D và AC tại E.
 a. Tính chu vi ADE
 b. Tính số đo D· OE .
Bài 11.
 Cho tam giác ABC vuông tại A , về phía ngoài tam giác vẽ nửa đường tròn O , đường 
 kính AB và nử đường tròn O' , đường kính AC , một đường thẳng (d) qua A cắt O 
 tại M , cắt O' tại N .Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi (d) quay quanh A nhưng 
 không cắt ABC .
 ........ Hết ......... HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến AM , AN với 
 đường tròn( M , N là các tiếp điểm). 
 a. Chứng minh OA  MN .
 b. Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng MC//AO
 Lời giải
 a. Xét (O) ta có : AM và AN là 2 tiếp tuyến (gt)
 ·
 AOlà tia phân giácMAN M
 C
 AM AN
 Xét MAN có : AM AN A
 H O
 AMN cân tại A 
 Mà AO là tia phân giác của M· AN AO đồng N
 thời là đường trung tuyến, đường cao của 
 AMN . Vậy OA  MN
 b.Gọi H là giao điểm của MN và AO . Xét NMC có 
 HM HN ( AH là đường trung tuyến của AMN )
 CO NO R 
 HO là đường trung bình của NMC HO//MC do đó MC//AO .
Bài 2. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn , sao 
 cho M· AN 400 .Tính số đo góc M· ON .
 Lời giải
 Xét (O) có AM, AN là hai tiếp tuyến của đường 
 tròn , M,N là hai tiếp điểm M
 A· MO A· NO 900
 A 40°
 Xét tứ giác MANO ta có O
 M¶ Aµ Nµ Oµ 3600 ( tổng 4 góc trong một tứ 
 N
 giác )
 900 400 900 Oµ 3600 Oµ 1400
 Vậy M· ON 1400.
Bài 3.
 Cho O,5cm ,điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường 
 · 0
 tròn(A, B là các tiếp điểm). Biết AMB 60 .
 a Chứng minh rằng AMB đều.
 b/ Tính chu vi AMB .
 Lời giải A
 a. Xét (O) MA,MB là hai tiếp tuyến của đường tròn , 
 A,B là hai tiếp điểm nên AM MB ( tính chất hai tiếp 60° M
 H
 tuyến cắt nhau ) MAB cân tại A . O
 · 0
 Mặt khác : AMB 60 .Vậy MAB là tam giác đều.
 B
 b. Vì MA,MB là hai tiếp tuyến của đường tròn , A,B là hai 
 tiếp điểm nên M· AO M· BO 900 và MH là tia phân giác của A· MB A· MO 300
 Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác AOM vuông tại A có: 
 OA 5
 tan A· MO tan 300 AM 5 3(cm) .
 AM AM
 Vì MAB là tam giác đều nên AM AB MB 5 3(cm) .
 vậy chu vi AMB 5 3.3 15 3(cm) .
Bài 4.
 Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (
 B,C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường 
 tròn O , nó cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E . Chứng minh chu vi tam giác 
 ADE 2AB
 Lời giải
 B
 (O) 
 Xét có AB AC; DB DM; EC EM ( Tính D
 chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )
 A M
 Ta có : chu vi ADE AD DM ME AE O
 AD DB EC AE E
 C
 AB AC 2AB Vậy: Chu vi ADE 2AB.
Bài 5. Cho đường tròn O , dây cung AB . Qua O kẻ đường vuông góc với AB tại H và cắt tiếp 
 tuyến tại A của O ở điểm C . Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn .
 Lời giải
 Xét (O) ta có : OA OB R VOAB cân tại O
 · ¶ ¶
 đường cao OH cũng là đường phân giác của AOB O1 O2 .
 Xét OAC và OBC có:
 ¶ ¶
 O1 O2 (cmt) ;OA OB R ; OC : cạnh chung
 C B
 OCA OCB(c g c)
 · · · 0 H
 OAC OBC mà OAC 90 ( vì AC là tiếp 2
 tuyến của đường tròn ) 1 O
 · 0
 OBC 90 hay CB  OB tại B Vậy CB là tiếp A
 tuyến của O .
 · ·
Bài 6. Cho xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của xAy nằm trên 
 đường tròn nào.
 x
Lời giải
 H
 Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc với hai 
 cạnh của Ax, Ay tại H và K .Ta có 
 IH  Ax; IK  Ay và IH IK R A z
 I
 Ta thấy I cách đều hai cạnh Ax và Ay
 ·
 của xAy nên I thuộc phân giác Az của K
 ·
 xAy . y
 Vậy tâm của các đường tròn tiếp xúc 
 cới hai cạnh của x· Ay khác góc bẹt nằm trên đường phân giác của góc đó.
Bài 7. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâ O A
 ( hình bên )
 Chứng tỏ rằng : 2AD AB AC BC . F
 G
 O
 C
 B E Lời giải
 Xét (O) ta có : AD AF; BD BE;CE CF ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) (*)
 Mà : AD AB BD (1)
 AF AC CF (2)
 Cộng (1) và (2) theo vế : 
 AD AF AB AC (BD CF) (3)
 Mặt khác : BD CF BE CE BC ( suy ra từ *)
 Từ (3) suy ra : 2AD AB AC BC ( đpcm )
Bài 8.
 Cho tam giác ABC , đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với BC , AC, AB theo 
 thứ tự tại D; F; E
 a. So sánh hai đoạn AE và AF
 b. So sánh BD với BE và CD với CF
 c. Chứng tỏ rằng AE AF bằng chu vi tam giác ABC
 Lời giải
 A
 a. Xét (O) có AE và AF là hai tiếp tuyến của đường tròn 
 AE AF
 b. . Xét (O) có: 
 C
 D
 BD BE;CD CF ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) F
 B
 c. Ta có 
 AE AB BE AB BD ( vì DB BE ) (1) E O
 AF AC CF AC CD ( vì CD CF ) (2)
 Cộng (1) và (2) theo vế AE AF AB BD AC CD AB AC BD CD AB AC BC
 Mà : AB AC BC CVVABC
 Vậy AE AF CV ABC .
Bài 9.
 Cho hình thang vuông ABCD ( Aµ Dµ 900 ) có Bµ 2Cµ và có các cạnh tiếp xúc với một 
 đường tròn tâm O .
 a. Chứng minh rằng chu vi hình thang bằng hai lần tổng hai đáy.
 b. Chứng minh rằng AOD vuông cân.
 Lời giải
 Gọi M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của O với các cạnh AB,BC,CD,DA .
 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
 AM AQ; BM BN A M B
 CN CP; DP DQ(*) 2 2
 1 1 N
 ¶ ¶ µ ¶
 A1 A2 ; B1 B2
 ¶ ¶ ¶ ¶ Q
 C1 C2 ; D1 D2 (**) O
 1
 CVABCD AB BC CD DA (1) 1
 2 2 C
 D P
 Mà : BC DA BN CN DQ AQ
 Từ (*) BC DA BM CP DP AM
 BM AM CP DP AB CD
 Từ (1) CVABCD AB CD AB CD 2(AB CD) .Vậy : CVABCD 2(AB CD).
 b. Ta có : Aµ Dµ 90 (gt)
 ¶ ¶
 Từ (** ) A1 D1 45
 ¶ ¶ ·
 Xét AOD có A1 D1 45 AOD 90 .Vậy AOD vuông cân.
Bài 10.
 Cho đường tròn tâm O , bán kính 5cm , lấy điểm A sao cho OA 8cm , vẽ hai tiếp tuyến 
 AB, AC với đường tròn ,( B,C là tiếp điểm ), một tiếp tuyến (d) ở cung nhỏ BC cắt AB tại 
 D và AC tại E.
 a. Tính chu vi ADE .
 b. Tính số đo D· OE . Lời giải
 C
 E
 a.CV ADE AD DE AE (1)
 Gọi I là tiếp tuyến của (d) với đường tròn O O
 I A
 Ta có : ID BD; EI EC (Tính chất hai tiếp tuey6n1 
 cắt nhau) D
 B
 DE DB EC
 Từ (1) ta suy ra CV ADE AD DB EC AE AB AC (2)
 Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn O , C là tiếp điểm OC  CA tại C
 xét OAC vuông tại C : OA2 OC2 CA2
 AC2 OA2 OC2
 AC2 82 52 64 25 39
 AB AC 6,25cm
 Từ(2) suy ra CV ADE AD DB EC AE AB AC 6,25 6,25 12,5(cm) 
 b. xét đường tròn O ta có: 
 1
 I·OD D· OB I·OB
 2 ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
 1
 I·OE E· OC I·OC
 2
 1 1
 I·OD I·OE I·OB I·OC hay D· OE B· OC
 2 2
 OB 5
 Ta có : cos A· OB 0,6250 ( Tỉ số lượng giác của góc nhọn cho tam giác vuông 
 OA 8
 OAB ) A· OB 51
 B· OC 2.A· OB 102
 1
 Từ (1) D· OE B· OC 51 . Vậy D· OE 51 .
 2
Bài 11.
 Cho tam giác ABC vuông tại A , về phía ngoài tam giác vẽ nửa đường tròn O , đường 
 kính AB và nử đường tròn O' , đường kính AC , một đường thẳng (d) qua A cắt O tại M , cắt O' tại N .Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi (d) quay quanh A nhưng 
không cắt ABC .
 Lời giải
Ta có : AMB vuông tại M do AB là đường kính của O 
 BM  (d) (1) (1)
 (d)
 M A
 ANC vuông tại N do AC là I
 N
đường kính của O' 
 O
 CN  (d) (2) J O'
Theo đề bài (d) không song B
 M' C
song BC (3)
Từ (1),(2).(3) suy ra : BCNM là hình thang vuông .
Gọi M' là trung điểm của cạnh huyền BC
 M'I là đường trung bình của hình thang BCNM .
 M'I//BM//CN M'I  (d) tại I AIM' vuông tại I . (4)
 BC
Ta có : BC cố định nên M' cố định và AM' ( không đổi)
 2
Gọi J là trung điểm của AM' , từ (4)
 AM' BC
 JI JA JM' không đổi và AM' cố định nên J cũng cố định
 2 4
 BC
 I thuộc đường tròn tâm J cố định , bán kính không đổi 
 4
* Giới hạn : 
- Khi (d)  AB thì I  O
- Khi (d)  AC thì I  O'
 BC
* Kết luận : Vậy quỹ tích của I là nửa đường tròn tâm J chứa A , bán kính bằng 
 4 giới hạn bởi hai điểm O và O' .
 ........ Hết .........