Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 42: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (Có đáp án)

 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 7 – HÌNH HỌC 9 TUẦN 22 – TIẾT 42
 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
1. Định lí
 Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả
 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một 
cung thì bằng nhau.
3. Định lí (bổ sung)
 Nếu ·BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung »AB ), có số đo bằng 
nửa số đo của cung »AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tiếp 
tuyến của đường tròn.
Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh đẳng thức, tam giác đồng dạng
Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC ( B , C là các 
tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với O ( M nằm giữa A và N ).
a) Chứng minh AB2 AM.AN 
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh: AH.AO AM.AN 
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn O tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC .
Bài 2: Cho 2 điểm A và B thuộc đường tròn O . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt 
nhau tại M . Từ A kẻ đường thẳng song song với MB , cắt O tại C . MC cắt O tại P . Các tia 
AP và MB cắt nhau tại K . 
a) Chứng minh MK2 AK.PK 
b) Chứng minh MK KB 
Dạng 2: Tính số đo góc
Bài 3: Cho hình sau, có Ax, By là các tiếp tuyến. 
Tính số đo A· CO .
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau tại A và B sao cho tâm đường tròn này nằm trên 
đường tròn kia. Qua B kẻ cát tuyến cắt đường tròn O tại C , cắt đường tròn O tại D . Tiếp 
tuyến của hai đường tròn cắt nhau tại I . Tính C· ID .
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song
Bài 5: Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc trong tại A . Qua A kẻ dây AB , AC của O và 
chúng cắt O’ theo thứ tự tại D, E. Chứng minh BC / /DE . Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O . Gọi D là điểm chính giữa của cung 
nhỏ BC . Vẽ đường tròn O’ đi qua hai điểm A và D sao cho O’ cắt cạnh AC tại M , cắt tia 
AB tại N , và cắt tia đối của tia BD tại P . Chứng minh rằng:
a) D là điểm chính giữa của cung MN .
b) NP song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn O .
Dạng 4: Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 7: Cho đường tròn O;R và dây AB AB 2R . Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ 
AB . Gọi C là điểm bất kì thuộc dây AB . PC cắt đường tròn tại D . Chứng minh PA là tiếp 
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD .
Bài 8: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là 
một điểm trên đường kính AB . Qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại 
E . Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở C cắt EF ở I . Chứng minh:
a) I là trung điểm của EF .
b) Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF .
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU HỌC TẬP SỐ 7 – HÌNH HỌC 9
 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh đẳng thức, tam giác đồng dạng
 Bài 1: Cho điểmA nằm ngoài đường tròn O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC ( B , C là 
các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với O ( M nằm giữa A và N ).
 a) Chứng minh AB2 AM.AN 
 b) Gọi H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh: AH.AO AM.AN 
 c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn O tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC .
 Hướng dẫn:
 a) Xét ∆ABM và ∆ANB có:
 Aµ là góc chung
 A· BM A· NB (Góc tọa bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn cung M»B của 
 đường tròn tâmO )
 Vậy ∆ABM  ∆ANB (g.g) AB AN
 AB2 AM.AN
 AM AB
b) +) AB , AC là tiếp tuyến của O (gt)
 AB AC, AO phân giác B· AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 ABC cân tại A, AO phân giác B· AC
 ⇒ AH  BC (Tính chất của tam giác cân)
+) AB là tiếp tuyến của O tại B (gt) ⇒ A· BO 900 ABO vuông tại O, BH đường cao
 ⇒ AB2 AH.AO 
 Mà AB2 AM.AN ⇒ AH. AO = AM. AN
c) +) Vì AB, AC là tiếp tuyến của O (gt)
 OA phân giác B· OC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 ⇒ I·OB I·OC ⇒ IºB IºC ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)
 ⇒ A· BI I·BC BI phân giác A· BC 
 Mà AI là tia phân giác của B· AC (cm a) I là tâm đường tròn nội tiếp ABC (đpcm).
 Bài 2: Cho 2 điểm A và B thuộc đường tròn O . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và 
B cắt nhau tại M . Từ A kẻ đường thẳng song song với MB , cắt O tại C . MC cắt O tại P . 
Các tia AP và MB cắt nhau tại K . 
 a) Chứng minh MK2 AK.PK 
 b) Chứng minh MK KB 
 Hướng dẫn:
 a) AC // MB ⇒ Cµ B· MC (Hai góc so le trong).
 Mà Cµ M· AP ( Góc nội tiếp, góc tại bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn A»P ).
 ⇒ M· AP B· MC (Cùng bằng góc Cµ ). 
 Xét ∆KMP và ∆KAM có:
 M· AP B· MC (Chứng minh trên).
 M· KA là góc chung.
 ⇒∆KMP  ∆KAM (g.g).
 MK PK
 MK2 AK.PK (1)
 AK MK
 b) Xét ∆KBP và ∆KAB có: K· BP K· AB ( Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn P»B).
 ·AKB là góc chung.
 ⇒∆KBP  ∆KAB (g.g) 
 KB PK
 KB2 AK.PK (2)
 AK KB
 Từ (1) và (2) suy ra MK = KB.
Dạng 2: Tính số đo góc
Bài 3: Cho hình sau, có Ax, By là các tiếp tuyến. Tính số đo A· CO
 Hướng dẫn:
 +) A· CB B· Ax (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn A»B ).
 Mà B· Ax 450 ·ACB 450. 
 +) By là tiếp tuyến By  BO O· By 900 
 Có O· BC O· By C· Oy 90o 60o 300. 
 Lại có OB OC OBC cân tại O O· CB O· BC 300 
 Vậy A· CO A· CB O· CB 45o 30o 150
 Bài 4: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau tại A và B sao cho tâm đường tròn này 
nằm trên đường tròn kia. Qua B kẻ cát tuyến cắt đường tròn O tại C , cắt đường tròn O tại D . 
Tiếp tuyến của hai đường tròn cắt nhau tại I . Tính C· ID .
 Hướng dẫn:
 +) AOO’ là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau) ⇒ A· OO' A· O'O 600 +) BOO’ là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau) ⇒ B· OO' B· O'O 600 
 ⇒ A· OB A· O'B 1200 
 1
 +) Trong O có A· CB A· OB 600 (Trong một đường tròn góc nội tiếp bằng một nửa 
 2
góc ở tâm cùng chắn một cung)
 1
 +) Trong O’ có A· DB A· O'B 600 (Trong một đường tròn góc nội tiếp bằng một nửa 
 2
góc ở tâm cùng chắn một cung)
 Tam giác ACD có: A· CD A· DC 600 nên tam giác ACD là tam giác đều ⇒ C· AD 600 
 Xét O có I·CD C· AB (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn B»C). 
 Xét O’ có I·DC D· AB (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn B»D). 
 ⇒ I·CD I·DC C· AB D· AB C· AD 600 
 ICD có I·CD I·DC 600 ⇒ C· ID 1200 (Tổng ba góc của một tam giác)
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song
 Bài 5: Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc trong tại A . Qua A kẻ dây AB , AC của 
 O và chúng cắt O’ theo thứ tự tại D, E. Chứng minh BC / /DE .
 Hướng dẫn:
 Qua A kẻ tiếp tuyến chung xy của hai đường tròn.
 Xét O có A· BC C· Ay (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn A»C )
 Trong O’ có A· DE C· Ay (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn A»E )
 ⇒ A· BC A· DE (Cùng bằng C· Ay ), mà hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị 
 ⇒ BC // DE.
 Nhận xét: Nếu có hai đường tròn tiếp xúc nhau thì việc kẻ tiếp tuyến chung là điều cần 
thiết để tạo sự liên kết giữa các góc với nhau. Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O . Gọi D là điểm chính giữa của cung 
nhỏ BC. Vẽ đường tròn O’ đi qua hai điểm A và D sao cho O’ cắt cạnh AC tại M , cắt tia 
AB tại N , và cắt tia đối của tia BD tại P . Chứng minh rằng:
 a) D là điểm chính giữa của cung MN .
 b) NP song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn O .
 Hướng dẫn:
 a) Trong O có D là điểm chính giữa của cung BC nên B»D=D»C 
 N· AD D· AM (Trong một đường tròn hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì 
 bằng nhau)
 Trong O’ có N· AD và D· AM là các góc nội tiếp lần lượt chắn D»N và D¼M 
 Mà N· AD D· AM D»N D¼M (Trong một đường tròn hai góc chắn hai cung bằng 
nhau thì bằng nhau) 
 D là điểm chính giữa của M¼ N .
 b) Kẻ tiếp tuyến xy tại B của đường tròn O .
 Trong O có x· BA B· DA (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn »AB). 
 Trong O’ có P· NA P· DA (Hai góc nội tiếp cùng chắn »AP) . 
 Suy ra x· BA P· NA (Cùng bằng P· DA) 
 Mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị nên NP // xy.
Dạng 4: Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn
 Bài 7: Cho đường tròn O;R và dây AB AB 2R . Gọi P là điểm chính giữa của cung 
nhỏ AB . Gọi C là điểm bất kì thuộc dây AB . PC cắt đường tròn tại D . Chứng minh PA là tiếp 
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD .
 Hướng dẫn: Xét O có: A»P B»P ⇒ A· DP B· AP (Trong một đường tròn hai góc nội tiếp chắn hai 
cung bằng nhau thì bằng nhau) (1)
 Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm P, vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 
tiếp ACD. 
 Xét đường tròn ngoại tiếp ACD có: C· Ax C· DA (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội 
tiếp cùng chắn cung »AC). (2)
 Từ (1) và (2) suy ra C· Ax C· AP . Do đó AP, Ax trùng nhau.
 Vậy PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ACD.
 Bài 8: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi 
D là một điểm trên đường kính AB . Qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC 
tại E . Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở C cắt EF ở I . Chứng minh:
 a) I là trung điểm của EF .
 b) Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF .
 Hướng dẫn: 
 a) Xét O có A· CB 900 (Góc nội chắn nửa đường tròn) EC  FB 
 Có A· BC C· EF ( cùng phụ với E· FC )
 A· BC E· CI (Góc nội tiếp, goác tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn »AC).
 ⇒ E· CI C· EI ⇒∆ECI cân ở I IE IC (1) +) CEF vuông tại C I·CF I·FC (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
 Có I·CF I·FC ⇒∆ICF cân ở F IF IC (2)
 Từ (1) và (2) ⇒ IE IF hay I là trung điểm của EF .
b) Có IE IF IC nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ECF.
 Mà CO  IC tại C ⇒ OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ECF. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 8 – HÌNH HỌC 9 TUẦN 22 – TIẾT 42
 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
 1. Định lí
 Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
 2. Hệ quả
 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một 
 cung thì bằng nhau.
 3. Định lí (bổ sung)
 Nếu ·BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung »AB ), có số đo bằng 
 nửa số đo của cung »AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tiếp 
 tuyến của đường tròn.
 A
Bài 1: Cho hình vẽ bên. Biết PD là tiếp tuyến 
của (O) , AP, BC là các đường kính, B
P·BC 250. Tính số đo góc P·DA. 25° O
 C
 P D
 C
Bài 2: Tính số đo góc A· CO trên hình vẽ bên, 
 A
biết Ax,By là các tiếp tuyến với đường tròn (O).
 45° O
 x 60°
 B y
 Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ 
 tiếp tuyến MC với nửa đường tròn tại C. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.Chứng minh rằng 
 tia CA là tia phân giác của H· CM .
 Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp 
 xúc với đường tròn(O').Vẽ dây BD của đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O).Chứng minh 
 rằng:
 a) AB2 AC.AD
 BC AC
 b) .
 BD AD
 Bài 5: Cho đường tròn (O,R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại O. Gọi I là 
 điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC CM .
 a) Tính góc A· OI .
 b) Tính độ dài OM theo R. 
 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại A . Qua A vẽ dây AB , AC của đường 
tròn (O) , chúng cắt (O') theo thứ tự tại D , E . Chứng minh BC song song với DE .
Bài 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O) . Vẽ đường kính CD 
của đường tròn (O) sao cho đường thẳng CD vuông góc với d tại I . Qua I kẻ tiếp tuyến IA với 
đường tròn (O) . Đường thẳng AC cắt d tại B . Chứng minh IA IB .
Bài 3: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường 
tròn ( B nằm giữa A và C ). Gọi H là hình chiếu của T trên OA . Chứng minh rằng:
 a) AT2 AB.AC
 b) AB.AC AH.AO
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU HỌC TẬP SỐ 8 – HÌNH HỌC 9
 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
 Bài 1: Cho hình vẽ bên. Biết PD là tiếp tuyến của (O) , AP, BC là các đường kính, 
P·BC 250. Tính số đo góc P·DA. 
 Hướng dẫn
 A
 B
 25° O
 C
 P D
 Ta có: C· PD C· BP 250 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 
cung nhỏ PC của (O) ). 
 Lại có: AP là đường kính nên A· CP 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 P·CD 900
 · 0 · 0 · 0 · 0
 PCD có CPD 25 ; PCD 90 suy ra PDC 65 hay PDA 65 .
 Bài 2: Tính số đo góc A· CO trên hình vẽ bên, biết Ax,By là các tiếp tuyến với đường 
tròn (O).
 Hướng dẫn