Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tuần 15 - Bài: Vị trí tương đối của hai đường tròn - Thân Ngọc Khánh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 7 - TIẾT - VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
 GV: THÂN NGỌC KHÁNH
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết 
các hệ thức tương ứng giữa r , R và OO'vào bảng sau.
 Hệ thức giữa OO'
 Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
 r và R
Hai đường tròn cắt nhau 2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+) Tiếp xúc ngoài 1
+) Tiếp xúc trong
Hai đường tròn không giao nhau
+) O và O ' ở ngoài nhau 0
+) O đựng O ' 
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r . Điền vào 
chỗ trống trong bảng sau.
 Vị trí tương đối của hai đường tròn OO' R r
 14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong 17 5
 9 6 4
 36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Bài 3: Cho đường tròn (O,6 cm) và đường tròn (O ,5 cm)
có đoạn nối tâm OO 8 cm. Biết đường tròn (O) và (O )
cắt OO lần lượt tại N , M (hìnhbên). 
Tính độ dài đoạn thẳng MN .
Bài 4: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O ;3 cm) có OO 5 cm. Hai đường tròn trên 
cắt nhau tại A và B . Tính độ dài AB .
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ 
dài dây cung chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính 
CD . Bài 6: Cho hai đường tròn (O1;R),(O2 ;R') cắt nhau tại K và H đường thẳng O1H cắt 
 O1 tại A cắt (O2 ) tại B , đường thẳng O2H cắt O1 tại C, cắt (O2 ) tại D . 
1) Chứng minh ba điểm A,K,D thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,HK đồng quy tại một điểm.
Bài 7: Cho hai đường tròn (O1;R),(O2 ;R) cắt nhau tại A,B ( O1 ,O2 nằm khác phía so với 
đường thẳng AB ). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P O1 ,Q O2 sao cho A nằm 
giữa P và Q . Hãy xác đinh vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.
1) A là trung điểm của PQ
2) PQ có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất
4) S BPQ lớn nhất.
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
 (I;2 cm) (J;3 cm)
Bài 8: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn 
nối tâm IJ .
Bài 9: Cho hai đường tròn ( O;4 cm ) và (O ;11 cm ). Biết khoảng cách OO 2a 3 cm 
với a là số thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A với (R R') . Đường nối 
tâm OO' cắt (O),(O') lần lượt tại B,C . Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm 
K của BC .
1) Chứng minh BDCE là hình thoi
2) Gọi I là giao điểm của EC và (O') . Chứng minh D,A,I thẳng hàng
3) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O') .
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A . Qua A kẻ một cát tuyến 
cắt (O) tại C , cắt đường tròn (O') tại D
1) Chứng minh OC / /O'D
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , gọi P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với M,N qua 
OO' . Chứng minh MNQP là hình thang cân và MN PQ MP NQ
3) Tính góc M· AN . Gọi K là giao điểm của AM với (O') . Chứng minh ba điểm N,O',K 
thẳng hàng. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết 
các hệ thức tương ứng giữa r , R và OO'vào bảng sau.
 Hệ thức giữa OO'
 Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
 r và R
Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r < OO' R r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+) Tiếp xúc ngoài 1 OO' R r
+) Tiếp xúc trong OO' R r 0
Hai đường tròn không giao nhau
+) O và O ' ở ngoài nhau 0 OO' R r
+) O đựng O ' OO' R r
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r . Điền vào 
chỗ trống trong bảng sau.
 Vị trí tương đối của hai đường tròn OO' R r
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong 12 17 5
Hai đường tròn cắt nhau 9 6 4
 O và O ' ở ngoài nhau 36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Bài 3: Cho đường tròn (O,6 cm) và đường tròn (O ,5 cm)
có đoạn nối tâm OO 8 cm. Biết đường tròn (O) và (O )
cắt OO lần lượt tại N , M (hìnhbên). 
Tính độ dài đoạn thẳng MN .
Lời giải: Ta có
OM MN ON OM MN 6 .
O N MN O M O N MN 5 .
SuyraOM MN O N MN 11 OO MN 11 MN 3cm.
Bài 4: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O ;3 cm) có OO 5 cm. Hai đường tròn trên 
cắt nhau tại A và B . Tính độ dài AB . Lờigiải
Áp dụng định lý Py ta go đảo cho VOAO ta có
OO 2 OA2 O A2 52 42 32 .
Suy ra VOAO vuông tại A .
Gọi H là giao của AB vàOO . Vì hai đường tròn (O ; 4 cm) 
và (O ;3 cm) cắt nhau tại A và B suy ra OO  AB (Tính 
chất đường nối tâm với dây chung)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO A
 1 1 1 12
Ta có AH 2,4 cm.
 AH 2 42 32 5
Do đó AB 2AH 2.2,4 4,8cm.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ 
dài dây cung chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính 
CD .
Lờigiải
Gọi DF cắt AE tại H . AE  DF
 1 1 1
Tam giác DAE vuông tại D nên ta có: .
 DH 2 DE 2 AD2
 a 5a 2a 5
Ta có DE ;DA a DH DF 2DH .
 2 5 5
 A D
 H E
 F
 B C
Bài 6: Cho hai đường tròn (O1;R),(O2 ;R') cắt nhau tại K và H đường thẳng O1H cắt 
 O1 tại A cắt (O2 ) tại B , đường thẳng O2H cắt O1 tại C, cắt (O2 ) tại D . 
1) Chứng minh ba điểm A,K,D thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,HK đồng quy tại một điểm. Lời giải:
 E
 C
 B
 H
 O1 O2
 A K D
1) Ta có tam giác HKD nối tiếp dường tròn O2 có cạnh HD là đường kính nên tam 
giác HKD vuông tại K suy ra: HK  KD
Tương tự ta có HK  KA suy ra A,K,D thẳng hàng
2) Các tam giác ACH,AKH nội tiếp đường tròn O1 có cạnh HA là đường kính nên tam 
giác ACH vuông tại C , tam giác AKH vuông tại K suy ra DC  AC DH  AC (1), 
Tương tự ta có HA  BD (2).
Lại có HK  KA HK  DA (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AC,BD,HK đồng quy.(Ba đường cao của tam giác AHD)
Bài 7: Cho hai đường tròn (O1;R),(O2 ;R) cắt nhau tại A,B ( O1 ,O2 nằm khác phía so với 
đường thẳng AB ). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P O1 ,Q O2 sao cho A nằm 
giữa P và Q . Hãy xác đinh vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.
1) A là trung điểm của PQ
2) PQ có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất
4) S BPQ lớn nhất.
Lời giải:
 P H
 A K
 Q
 O1 I O2 1) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến PAQ sao cho PA AQ .
 1
Kẻ O H vuông góc với dây PA thì PH HA PA .
 1 2
 1
Kẻ O K vuông góc với dây AQ thì AK KQ AQ .
 2 2
Nên AH AK .
Kẻ Ax / /O,H / /O2K cắt O , O2 tại I thì O1I IO2 và Ax  PQ . Từ đó suy ra cách xác định 
vị trí của cát tuyến PAQ đó là cát tuyến PAQ vuông góc với IA tại A với I là trung điểm 
của đoạn nối tâm O1O2 .
2) Trên hình, ta thấy PA HK .
Kẻ O2M  O1H thì tứ giác MHKO2 có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó 
HK MO2 . Lúc đó O2M là đường vuông góc kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H,O2O1 là 
đường xiên kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H . 
Nên O2M O1O2 hay PQ 2HK 2O2M 2O1O2 (không đổi). dấu đẳng thức xảy ra 
 M  O hay PQ / /O1O2 . Vậy ở vị trí cát tuyến PAQ / /O1O2 thì PQ có độ dài lớn nhất. 
3) Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với BA .
Thì tam giác ABC và ABD vuông tại A lần lượt nội tiếp các đường tròn O1 , O2 nên 
O1 là trung điểm của BC và O2 là trung điểm của BD . Lúc đó O1O2 là đường trung 
bình của tam giác BCD nên O1O2 / /CD suy ra PQ 2O1O2 (1) (theo câu b). 
Lại có BQ BD (2), BP BC (3). Từ (1),(2),(3) suy ra chu vi tam giác 
BPQ,C PQ BQ BP 2 O1O2 R1 R2 (không đổi). Dấu bằng có khi P  C,Q  D .
Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây BA
tại A .
 B
 Q
 O
 1 O2
 C
 A D
 P
4) Kẻ BN  PQ thì BN BA . 1 1
Lúc đó S BN.PQ BA.CD không đổi.
 BPQ 2 2
Vậy SBPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây chung BA tại A .
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
 (I;2 cm) (J;3 cm)
Bài 8: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn 
nối tâm IJ .
Lờigiải
Độ dài đoạn nối tâm IJ bằng : 2 3 5 cm.
Bài 9: Cho hai đường tròn ( O;4 cm ) và (O ;11 cm ). Biết khoảng cách OO 2a 3 cm 
với a là số thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Lờigiải
Các trường hợp có thể xảy ra là
+) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (xemhình1), ta có
 OO R R 2a 3 15 a 6 cm .
+) Hai đường tròn tiếp xúc trong (xemhình 2 ), ta có
 OO | R R | 2a 3 | 4 11| a 2 cm.
Vậy a 6 cm và a 2 cm .
Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A với (R R') . Đường nối 
tâm OO' cắt (O),(O') lần lượt tại B,C . Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm 
K của BC .
1) Chứng minh BDCE là hình thoi
2) Gọi I là giao điểm của EC và (O') . Chứng minh D,A,I thẳng hàng
3) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O') .
Lờigiải D
 1
 O1 O2
 B A
 K 2 4 C
 5 3
 I
 E
1) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK KE,BK KC (theo giả thiết) do đó tứ 
giác BDCE là hình bình hành, lại có BC  DE nên là hình thoi.
2) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn O1 có BA là đường kính nên BDA vuông tại 
D . Gọi I' là giao điểm của DA với CE thì A· I'C 900 (1) (vì so le trong với B· DA ). Lại có 
 AIC nội tiếp đường tròn O2 có AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I , 
hay A· IC 900 (2).
Từ (1) và (2) suy ra I  I' . Vậy D,A,I thẳng hàng.
3) Vì tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên 
 ¶ µ ¶ ¶ · ¶ ¶
KD KI KE D1 I2 (1). Lại có D1 C4 (2) do cùng phụ với DEC và C4 C3 (3), vì 
O2C O2I là bán kính của đường tròn O2 .
 µ µ µ µ µ µ 0 · 0
Từ (1),(2),(3) suy ra I2 I3 I2 I5 I5 I3 90 hay KIO2 90 do đó KI vuông góc với 
bán kính O2I của đường tròn O2 . Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn O2 .
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A . Qua A kẻ một cát tuyến 
cắt (O) tại C , cắt đường tròn (O') tại D
1) Chứng minh OC / /O'D
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , gọi P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với M,N qua 
OO' . Chứng minh MNQP là hình thang cân và MN PQ MP NQ
3) Tính góc M· AN . Gọi K là giao điểm của AM với (O') . Chứng minh N,O',K thẳng 
hàng.
Lờigiải
 M
 C R
 N
 O' Y
 O X A
 K
 Q D
 S
 P a). Do hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm trên OO' .Ta có 
C· AO D· AO' . Lại có O· CA O· AD,O· 'AD O· 'DA vì các tam giác COA, DO'A là tam giác 
cân. Từ đó suy ra O· CA O· 'DA OC / /O'D
b). + Vì MP  OO',NQ  OO' MP / /OO' MNQP là hình thang . Vì M đối xứng với P 
qua OO' , N đối xứng với Q qua OO' và O luôn đối xứng với O qua OO' nên 
O· PM O· MP 900 . Mặt khác M· PQ,P· MN cùng phụ với các góc O· PM O· MP nên 
M· PQ P· MN suy ra MNQP là hình thang cân. 
(Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)
+ Kẻ tiếp tuyến chung qua A của hai đường tròn cắt MN,PQ tại R,S thì ta có: 
RM RA RN,SA SP SQ suy ra MN PQ 2RS . Mặt khác RS cũng là đường trung bình 
của hình thang nên MP NQ 2RS hay MP NQ MN PQ
c). Từ câu b ta có AR RM RN nên tam giác MAN vuông tại A , từ đó suy ra 
N· AK 900 KN là đường kính của (O') , hay N,O',K thẳng hàng.