Phiếu bài tập số 8 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 31: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 6 - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG 
 TRÒN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ các đường tròn O và I đi qua A và tiếp xúc với 
BC tại B và C . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh:
a) O và I tiếp xúc với nhau.
b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và I .
c) Tam giác OMI là tam giác vuông.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI .
Bài 2: Cho O,R và O',r tiếp xúc ngoài tại A . Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của O,R và 
 O',r B O ,C O' . Tiếp tuyến chung trong của O,R và O',r cắt BC tại I .
a) Chứng tỏ ·BAC 900 ;·OIO' 900 
b) Kẻ đường kính BD của O . Chứng minh ba điểm A,C,D thẳng hàng.
c) Tính theo R và r độ dài BC,BA,CA .
d) Kẻ đường kính CE của O . Chứng minh SABC SADE .
Bài 3: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại hai điểm A,B . Gọi C đối xứng với A qua O , 
D đối xứng với A qua O' . Một đường thẳng d bất kỳ đi qua A cắt O và O' thứ tự tại M,N .
a) Chứng minh C,B,D thẳng hàng.
b) AC cắt O tại E , AD cắt O' tại F . Chứng minh bốn điểm C,D,E,F cùng thuộc một đường 
tròn.
c) Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi d thay đổi, từ đó suy ra 
trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Bài 4: Cho O,R và O',r có R r tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ các đường kính AOC và AO'C . Dây 
DE của đường tròn O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh BDCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của EC và O' . Chứng minh D, A.I thẳng hàng.
c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của O' . Bài 5: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A,B . Dây A C của O tiếp xúc với O' tại 
A . Dây AD của O' tiếp xúc với O tại A . Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của 
OO' , E đối xứng với A qua B . Chứng minh:
a) AB  KB 
b) Bốn điểm A,C,E.D cùng thuộc một đường tròn.
 ĐÁP ÁN PHIẾU SỐ 6 - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI 
 ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ các đường tròn O và I đi qua A và tiếp xúc với 
BC tại B và C . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh:
a) O và I tiếp xúc với nhau.
b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và I .
c) Tam giác OMI là tam giác vuông.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI .
Giải: 
 I
 K
 A
 2
 O 1
 1 1
 2 2
 B M C
a) O tiếp xúc với BC tại B OB  BC 
 I tiếp xúc với BC tại C IC  BC
Suy ra OB / / IC (từ vuông góc đến song song) ·OBC ·ICB 1800
 µ ¶ µ ¶ 0
 B1 B2 C1 C2 180 1 
 µ µ µ ¶ µ ¶ µ µ
Có B1 A1 OABcaântaïiO ; C1 A2 IAC caântaïi I suy ra A1 A2 B1 C1 2 
Từ (1) và (2) suy ra
 µ ¶ ¶ ¶ 0
 A1 A2 B2 C2 180
 µ ¶ 0 ¶ ¶ · 0
 A1 A2 180 B2 C2 BAC 90
 µ ¶ · 0 0 0
 A1 A2 BAC 90 90 180
 ·OAI 1800
 O, A,I thẳng hàng.
 OI OA AI 
 O vaø I tiếp xúc ngoài tại A .
b) ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
 1
 AM MB MC BC 
 2
Chứng minh OAM OBM c c c ·OAM ·OBM (hai góc tương ứng)
Mà ·OBM 900 (vì BC tiếp xúc với O )
·OAM 900 OA  AM tại A mà A O 
 Suy ra AM là tiếp tuyến tại A của O 
Chứng minh tương tự AM là tiếp tuyến tại A của I 
Do đó AM là tiếp tuyến chung của O và I 
c) Xét O có MA,MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M 
 MO là phân giác của ·AMB 
Chứng minh tương tự MI là phân giác của ·AMC 
Mà ·AMB và ·AMC là hai góc kề bù nên MO  MI OMI vuông tại M 
d) Gọi K là trung điểm của OI 
Xét OMI vuông tại M có K là trung điểm của cạnh huyền OI K là tâm đường tròn ngoại tiếp OMI
Xét tứ giác OBCI có OB / /IC 
 OBIC là hình thang
Lại có M,K lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên OI,BC 
 MK là đường trung bình của hình thang OBIC
 MK / / OB mà OB  BC 
 MK  BC tại M mà M K 
 BC là tiếp tuyến của tại M của đường tròn K ngoại tiếp OMI .
Bài 2: Cho O,R và O',r tiếp xúc ngoài tại A . Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của O,R và 
 O',r B O ,C O' . Tiếp tuyến chung trong của O,R và O',r cắt BC tại I .
a) Chứng tỏ ·BAC 900 ;·OIO' 900 
b) Kẻ đường kính BD của O . Chứng minh ba điểm A,C,D thẳng hàng.
c) Tính theo R và r độ dài BC,BA,CA .
d) Kẻ đường kính CE của O . Chứng minh SABC SADE .
Giải:
 B
 I
 C
 O O'
 A
 E
 D a) Xét đường tròn O có IA,IB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I 
 IA IB 1 
 ·
 IOlaøphaân giaùccuûa AIB
 IA IC 2 
Chứng minh tương tự 
 ·
 IO' laøphaân giaùccuûa AIC
 1
Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC BC BAC vuông tại A ·BAC 900 
 2
Vì IOlaøphaân giaùccuûa·AIB và IO' laøphaân giaùccuûa·AIC 
Mà ·AIB và ·AIC là hai góc kề bù nên IO  IO' ·OIO' 900 
b) Vì BD là đường kính của O ngọai tiếp ABD ABD vuông tại A ·BAD 900 
 mà ·BAC 900 ·DAC 1800 A,C,D thẳng hàng.
 1
c)+ Có IA BC BC 2IA
 2
Xét OIO' vuông tại I có IA  OO' ( Vì IA là tiếp tuyến chung trong của O , O' )
 IA2 OA.O' A ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 IA2 R.r IA Rr BC 2 Rr
 2
+ Áp dụng Pi – ta – go vào BDC vuông tại B DC BD2 BC2 2R 4Rr 2 R2 Rr 
+ Xét BDC vuông tại B có BA  DC
 BD.BC 2R.2 Rr 2R R
 AB.DC BD.BC AB ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 DC 2 R2 Rr R r
+ Xét BDC vuông tại B có BA  DC
 BC2 CA.CO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 2 2Rr 2r R
 2 Rr CA.2 R2 Rr CA 
 R2 Rr R r
d) Có OB / /O'C CE / /BD 
Xét tam giác ABD có CE / /BD 
 AC AE 1 1
 AC.AB AD.AE AC.AB AD.AE S S . 
 AD AB 2 2 ABC ADE Bài 3: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại hai điểm A,B . Gọi C đối xứng với A qua O , 
D đối xứng với A qua O' . Một đường thẳng d bất kỳ đi qua A cắt O và O' thứ tự tại M,N .
a) Chứng minh C,B,D thẳng hàng.
b) AC cắt O tại E , AD cắt O' tại F . Chứng minh bốn điểm C,D,E,F cùng thuộc một đường 
tròn.
c) Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi d thay đổi, từ đó suy ra 
trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Giải:
 F
 E
 M
 I A
 N
 O O'
 C
 K B D
a) C đối xứng với A qua O suy ra O là trung điểm của AC suy ra AC là đường kính của O 
D đối xứng với A qua O' suy ra O' là trung điểm của AD suy ra AD là đường kính của O' 
Vì ABC nội tiếp O có cạnh AC là đường kính suy ra ABC vuông tại B ·ABC 900 
CMTT ta có ·ABD 900
Suy ra ·CBD 1800 suy ra C,B,D thẳng hàng.
b) Vì AED nội tiếp O' có cạnh AD là đường kính suy ra AED vuông tại E 
 ·AED 900 CED vuông tại E C,E,D đường tròn đường kính CD (1)
CMTT ta có C,F,D đường tròn đường kính CD (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm C,D,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính CD 
c) Giả sử đường trung trực của MN cắt MN tại I và cắt CD tại K 
 IK  MN
 IM IN
CMTT ta được ·CMA 900 CM  MN 
 ·AND 900 DN  MN
Suy ra IK / /CM / /DN (cùng vuông góc với MN ) 
Tứ giác CMND có CM / /DN CMND là hình thang 
Lại có I là trung điểm của MN và IK / /CM / /DN
 K là trung điểm của CD ( định lí đường trung bình hình thang)
Vậy khi d thay đổi thì đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD .
Vì A cố định nên CD cố định suy ra trung điểm K của CD cố định suy ra AK cố định
Mà ·AIK 900 AIK nội tiếp đường tròn đường kính AK cố định
suy ra trung điểm I của MN luôn di động trên đường tròn đường kính AK cố định.
d) Có MN CD . Dấu ”=”xảy ra khi MN / /CD
khi đó max MN CD MN / /CD 
Vậy khi d đi qua A và song song với CD thì MN có độ dài lớn nhất bằng CD 
Bài 4: Cho O,R và O',r có R r tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ các đường kính AOC và AO'C . Dây 
 DE của đường tròn O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh BDCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của EC và O' . Chứng minh D, A.I thẳng hàng.
c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của O' .
 D
Giải: 
 O K O'
 C
 B A 1
 2
 1
 I
 1
 E a) Xét O có AB  DE tại K 
suy ra K là trung điểm của DE ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Xét tứ giác BDCE có hai đường chéo BC;DE vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
 BDCE là hình thoi .
b) Xét ABD nội tiếp O có cạnh AB là đường kính
 ABD vuông tại D 
 ·ADB 900 AD  BD 
 Mà BD / /CE suy ra AD  CE (1)
Xét AIC nội tiếp O' có cạnh AC là đường kính
 AIC vuông tại I 
 ·AIC 900 AI  EC (2)
Từ (1) và (2) suy ra D, A.I thẳng hàng.
d) Vì DI  EC suy ra DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến
 1
 IK KE KD DE 
 2
 µ µ
 KIE cân tại K I1 E1 (3)
 µ µ
Vì O'C O'I O'IC cân tại O' I2 C1 (4)
 µ µ 0
Mà E1 C1 90 ( EKC vuoângtaïiK) (5)
 µ µ 0 · 0
Từ (3), (4), (5) suy ra I1 I2 90 KIO' 90 KI  O'I mà I O' 
 KI là tiếp tuyến tại I của O' 
Bài 5: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A,B . Dây A C của O tiếp xúc với O' tại A 
. Dây AD của O' tiếp xúc với O tại A . Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của 
OO' , E đối xứng với A qua B . Chứng minh:
a) AB  KB 
b) Bốn điểm A,C,E.D cùng thuộc một đường tròn.
Giải: A
 O I F O'
 K B
 D
 C
 E
a) Hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A,B
 OO' là đường trung trực của AB 
 OO'  AB tại trung điểm F của AB 
Xét AKB có I là trung điểm của AK 
 và F là trung điểm của AB 
Suy ra IF là đường trung bình của AKB
 IF / /KB mà IF  AB OO'  AB 
 KB  AB (từ vuông góc đến song song)
b) Có KB  AB và BA BE ( vì E đối xứng với A qua B ) 
 KB là đường trung trực của AE 
 KA KE (1)
 I laø trung ñieåm cuûa AK
Tứ giác AOKO' có 
 I laø trung ñieåm cuûa OO'
Suy ra AOKO' là hình bình hành
 O' A / /OK mà O' A  AC ( vì A C tiếp xúc với O' tại A )
 OK  AC Mà AOC cân tại O OK đồng thời là đường trung trực của AC 
 KA KC (2)
CMTT ta có KA KD (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra KA KC KE KD A,C,E,D cùng thuộc đường tròn K,KA