Phiếu bài tập số 8 môn Hình học Lớp 9 - Tuần 16 - Bài: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây - Ngô Lan Anh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 8: HÌNH HỌC 9:
 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM TỚI DÂY
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm , dây AB bằng 8 cm . Tính khoảng 
cách từ tâm O đến dây AB ?
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm , dây AB bằng 40 cm . Vẽ dây CD 
song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22 cm . Tính độ dài dây CD .
Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm . Hai dây AB, CD song song với 
nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 cm. Tính 
 E
khoảng cách giữa hai dây ấy.
Bài 4: Cho hình vẽ, trong đó hai dây CD, EF bằng nhau và 
 O
 I, IC = 2 cm, ID = 14 cm I
vuông góc với nhau tại . Tính C D
khoảng cách từ O đến mỗi dây. F
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính 5 dm, điểm M cách O là 3 dm. 
a. Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M. 
b. Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. 
Bài 6: Cho đường tròn (O; 17). M là một điểm cách O một khoảng là 8. Có bao 
nhiêu dây đi qua M có độ dài là một số tự nhiên.
Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng
Bài 1: Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD 
cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung 
điểm của AB và CD . Chứng minh rằng:
 a. EH = EK b. EA = EC 
Bài 2: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông 
góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy 
so sánh độ dài hai dây BC và EF . Bài 3: Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD , CD < AB . Giao điểm M của các 
đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O; OM ) cắt MA và MD 
tại E và F . Chứng minh rằng: MF < ME 
Bài 4: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong 
đường tròn. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Cho biết AB > CD. 
Chứng minh rằng: MH > MK 
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB không là đường kính. Gọi M là trung điểm 
của AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
a. M không là trung điểm của CD 
b. AB < CD 
Dạng 3: Chứng minh một số quan hệ hình học
Bài 1: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các 
điểm M , N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và 
 BN. Chứng minh rằng:
a. OC là tia phân giác của ·AOB 
b. OC vuông góc với AB 
Bài 2: Cho đường tròn (O) , đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD. 
Chứng minh rằng :
a) AC = BD 
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Bài 3: Cho DABC nội tiếp (O) có µA = 300 , Bµ= 450 . Điểm M thay đổi trên ba cạnh 
của tam giác. Tìm vị trí của M để OM nhỏ nhất.
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt 
lấy các điểm M , N sao cho OM = ON. Qua M , N vẽ các dây CD, EF song song 
với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB ).
a. Chứng minh rằng tứ giác CDFE là hình chữ nhật. 2
b. Cho OM = R, góc nhọn giữa CD và OA bằng 600 , tính diện tích của hình chữ 
 3
nhật CDFE .
 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
 Bài 1: (O; 5 cm); AB = 8 cm
 1 O
 Kẻ OM ^ AB tại M Þ MA = MB = AB = 4 cm (quan hệ 
 2
 A B
 vuông góc giữa đường kính và dây) M
DOAM vuông tại M Þ OA2 = OM 2 + MA2 (định lý Pitago)
Þ OM 2 = OA2 - MA2 = 52 - 42 = 9 Þ OM = 3 cm
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là: OM = 3 cm
 Bài 2: (O; 25 cm); AB = 40 cm
 K
 C D
 1 cm
 Kẻ OH ^ AB tại H Þ HA = HB = AB = 20 cm (quan hệ O 25
 2 25
 cm
 A B
 vuông góc giữa đường kính và dây) H
 OH OB2 HB2 252 202 15 cm
 1
 Kẻ OK ^ CD tại K Þ KC = KD = CD (qhệ vuông góc giữa đkính và dây)
 2
 mà OH ^ AB tại H và AB // CD 
 do đó H, O, K thẳng hàng OK 22 15 7 cm
 DK OD2 OK 2 252 72 24 cm CD 48 cm Vậy CD = 48cm
Bài 3: (O; 25 cm); AB = 40 cm ; CD = 48 cm
 1
Kẻ OH ^ AB tại H Þ HA = HB = AB = 20 cm (qhệ vuông góc giữa đk và dây)
 2
 1
OK ^ CD tại K Þ KC = KD = CD = 24 cm (qhệ vuông góc giữa đkính và dây)
 2
Do AB OK (liên hệ giữa dây và k/c từ tâm tới dây)
Rõ ràng O, H, K thẳng hàng. Ta có: OH 2 = OB2 - HB2 = 252 - 202 = 225 Þ OH = 15 cm
 OK 2 = OD2 - KD2 = 252 - 242 = 49 Þ OK = 7 cm
 K
 C D O
 cm
 O 25
 K
 25 C D
 cm
 A B A B
 H H
+ TH1: Nếu O nằm trong dải song song tại bởi AB và CD thì:
 HK = OH + OK = 15+ 7 = 22 cm
+ TH2: Nếu O nằm ngoài dải song song tại bởi AB và CD thì:
 HK = OH - OK = 15- 7 = 8 cm
 Bài 4: EF = CD = IC + ID = 2 + 14 = 16 cm E
 Kẻ OH ^ CD; OK ^ EF
 K O
 O EF = CD Þ OH = OK
 ( ) có (liên hệ giữa dây và khoảng I
 C H D
 cách từ tâm đến dây)
 F
 1
Do OH ^ CD Þ HC = HD = CD = 8 cm
 2
 IH = CH - IC = 8- 2 = 6 cm 
Tứ giác OHIK là hình chữ nhật có OH = OK nên OHIK là hình vuông
Do đó OH = OK = IH = 6 cm
Bài 5: 
 a. Giả sử OM ^ AB tại M , AB là dây của (O)
 Gọi CD là dây bất kỳ (khác AB ) đi qua M O D
 K
 Kẻ OK ^ CD A B
 M
 DOKM vuông tại K nên OM > OK C
Ta có: OM > OK nên AB < CD (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây)
Dây ngắn nhất đi qua M là dây vuông góc với OM tại M
Ta có: OA = 5 dm; OM = 3 dm 
 AM 2 = OA2 - OM 2 = 52 - 32 = 16 Þ AM = 4 dm Þ AB = 2AM = 8 dm b. Dây dài nhất đi qua M là đường kính, độ dài là 10 dm 
 Bài 6: Muốn biến có bao nhiêu dây đi qua M có độ dài D
 A
 là một số tự nhiên ta tính độ dài của dây dài nhất và dây M
 8
 ngắn nhất. O
 17
 Dây dài nhất là đường kính AB = 34 B
 C
 Dây ngắn nhất là dây CD ^ OM tại M 
Tương tự bài 5 ta tính được CD = 2CM = 2 172 - 82 = 2.15 = 30 
Các số tự nhiên giữa 30 và 34 là: 31, 32, 33.
Do tính chất đối xứng của đường tròn qua đường kính AB mà có hai dây có độ 
dài 31, hai dây có độ dài 32, hai dây có độ dài 33.
Vậy có tất cả 3.2 + 2 = 8 dây đi qua M có độ dài là một số tự nhiên.
Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng
 Bài 1: HB = HA Þ OH ^ AB 
 KC = KD Þ OK ^ CD
 ïì OH = OK
 AB = CD Þ íï 
 îï HA = HB = KD = KC
 Xét DOEH và DOEK có:
 O·HE = O·KE = 900 ; OE chung ; OH = OK (cmt) 
Þ DOEH = DOEK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Þ EH = EK 
Þ EH + HA = EK + KC (do HA = KC ) Þ EA = EC 
 Bài 2: 
 Từ O kẻ OH ^ EF (H Î EF) B
 E
 H
 DOHA vuông tại H A
 F
 Þ OH < OA (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) O
 C
 Þ EF > BC (quan hệ giữa dây và khoảng cách từ 
 tâm tới dây)
Bài 3: Kẻ OH ^ AB, OK ^ CD 
 - Trong đường tròn nhỏ: CD OH E A H B M
 O
 - Trong đường tròn lớn: OK > OH Þ MF < ME C
 K
 D
 F
 B
 Bài 4: DOMH vuông tại H Þ OM 2 = OH 2 + HM 2 
 DOMK vuông tại K Þ OM 2 = OK 2 + KM 2
 H
 Þ OH 2 + HM 2 = OK 2 + KM 2 (= OM 2 ) O
 C M
 AB > CD Þ OH < OK Þ OH 2 < OK 2
 Ta có: A K
 D
 Þ MH 2 > MK 2 Þ MH > MK
Bài 5: 
 a. Vì MA = MB nên OM ^ AB . C B
 Giả sử MC = MD Þ OM ^ CD. Điều này vô lý vì qua điểm 
 M
 M có hai đường thẳng cùng vuông góc với OM. Vậy điều O
 H
 giả sử là sai. 
 A
 Do đó M không là trung điểm của CD 
 D
b. Kẻ OH ^ CD
Ta có: DOMH vuông tại H Þ OH < OM
Þ CD > AB hay AB < CD 
Dạng 3: Chứng minh một số quan hệ hình học
Bài 1:
 M C
 H N
 A A H
 M
 C
 3 1 31
 2 N 2
 O 4 O 4
 K
 K
 B B
a. Kẻ OH ^ AC, OK ^ CB . Ta có AM = BN nên OH = OK Xét DOHC và DOKC có: O·HC = O·KC = 900 ; OC chung; OH = OK (cmt) 
 ¶ ¶
Þ DOHC = DOKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)Þ O1 = O2 (1)
Xét DOHA và DOKB có: O·HA = O·KB = 900 ; OA = OB; OH = OK (cmt) 
 ¶ ¶
Þ DOHA = DOKB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)Þ O3 = O4 (2)
 ¶ ¶ ¶ ¶ · ·
Từ (1) và (2) Þ O1 + O3 = O2 + O4 hay AOC = BOC 
Þ OC là tia phân giác của ·AOB 
b. DOAB cân tại O có OC là tia phân giác của ·AOB (chứng minh trên)
Þ OC ^ AB (tính chất tam giác cân)
 Bài 2: Kẻ OH ^ AC; OK ^ BD C
 a. Do AC // BD nên O, H, K thẳng hàng H
 1 1 A B
 và AH = HC = AC; BK = DK = BD O
 2 2
 K
 Xét DOAH và DOBK có:
 D
 O·HA = O·KB = 900 ; OA = OB; O·AH = O·BK (slt) 
Þ DOAH = DOBK (cạnh huyền - góc nhọn) 
Þ AH = BK (2 cạnh tương ứng) Þ AC = BD 
b. Xét DOAC và DOBD có:
 AC = BD (cmt); O·AC = O·BD (slt); OA = OB;
Þ DOAC = DOBD (c.g.c) Þ ·AOC = B·OD (góc tương ứng)
mà ·AOD + B·OD = 1800 (hai góc kề bù) 
Þ ·AOD + ·AOC = 1800 Þ C, O, D thẳng hàng
 Bài 3: Kẻ OI ^ AB tại I C
 H
 M K
 OH ^ AC tại H; OK ^ BC tại K I
 A B
 µ 0 µ 0 µ 0
 DABC có: A = 30 , B = 45 (gt) Þ C = 105 O
 mà 1050 > 450 > 300 Nên Cµ> Bµ> µA Þ AB > AC > BC (quan hệ cạnh và góc 
 trong tam giác)
Mà A, B, C Î (O) (gt) nên OI < OH < OK (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét (O) có: nếu M Î AB thì OM > OI
 Nếu M Î BC thì OM > OK 
 Nếu M Î AC thì OM > OH
Mà OI < OH < OK (chứng minh trên) 
Nên OM nhỏ nhất Û OM ³ OI . Dấu “=” xảy ra Û M º I 
Mà OI ^ AB tại I nên I là trung điểm của AB (qhệ vuông góc giữa đk và dây)
Nên M là trung điểm của AB .
Vậy OM nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB .
 Bài 4: C
 E
 a. Kẻ OH ^ CD, đường thẳng OH cắt EF tại K 
 H
 A N B
 nên OK ^ EF O
 M K
 DOHM DOKN
 Xét và có: D
 · · 0 · ·
 OHM = OKN = 90 ; OM = ON; MOH = NOK (đối đỉnh) F
Þ DOHM = DOKN (cạnh huyền - góc nhọn) Þ OH = OK (cạnh tương ứng)
Þ CD = EF (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây)
mà CD // EF (gt) nên CDFE là hình bình hành
+ Có HK là đường trung bình của hình bình hành CDFE
Þ KH // CE Þ Cµ= Hµ= 900 Þ CDFE là hình chữ nhật
 2 R 3 R 3
b. DOMH vuông tại H : Þ OH = OM.sin M = R.sin 600 = Þ OK = 
 3 3 3
 2R 3
Þ CE = HK = 2OH = 
 3
 3R2 6R2 R 6
DOHC vuông tại H Þ CH 2 = OC 2 - OH 2 = R2 - = Þ CH = 
 9 9 3 2R 6
 Þ CD = 2CH = 
 3
 2R 3 2R 6 4R2 2
Vậy S = CE.CD = . = (đvdt)
 CDFE 3 3 3