Sáng kiến kinh nghiệm Chuyên đề áp dụng tính tương đối trong các bài toán cực trị cơ học dành cho học sinh giỏi

 Mẫu 02/SK 
 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
 THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP 
 VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 
 1. Tên sáng kiến: Chuyên đề áp dụng tính tương đối trong các bài toán 
cực trị cơ học dành cho học sinh giỏi. 
 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử từ: 15/ 09/ 2023 đến 
hết ngày 28 / 02/ 2024. 
 3. Các thông tin cần bảo mật: không. 
 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: 
 Các giải pháp cũ để giải các bài toán về cực trị cơ học thường áp dụng cực trị 
của hàm bậc 2, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, bất đẳng thức Cosi, 
bất đẳng thức Bunnhiakopski. Cách làm này thường là rất dài, phức tạp, học sinh 
đa phần khó tiếp thu. 
 Hệ thống bài tập trong các chuyên đề cũ thường ít, không đa dạng, sắp xếp 
không hợp lí. 
 Không cập nhật các bài tập mới trong các đề thi học sinh giỏi gần đây của các 
tỉnh và các trường chuyên. 
 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến. 
 Các bài toán về cực trị trong cơ học là các bài toán khó, kiến thức toán rất 
nặng, hay, nhưng rất phức tạp khi gặp các dạng toán này nhiều học sinh không biết 
cách làm, nếu biết cách làm thì lại làm sai. 
 Trong vấn đề dạy học học sinh giỏi, các em phải tổng hợp rất nhiều kiến thức 
từ các chuyên đề khác nhau nên các bài toán khó, dài, phức tạp đa phần các em găp 
khó khăn, sáng kiến này cung cấp một cách làm hoàn toàn mới nhưng ngắn, đơn 
giản, dễ hiểu đối với học sinh. 
 Đối với các giáo viên, đây là một chuyên đề mới nên nguồn tài liệu tham khảo 
không nhiều,chuyên đề này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học 
sinh ôn thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên. 
 Các năm học 2022- 2023 và 2023- 2024 khi chưa áp dụng sáng kiến này thì 
điểm bài kiểm tra của các học sinh về chuyên đề này thấp. Nâng cao trình độ của 
học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Vật lí 9 là cấp thiết, là cơ sở để các em tự tin 
trong các kỳ thi và đem lại kết quả tốt nhất đóng góp vào thành tích chung của nhà 
trường và Phòng GD&ĐT Yên Dũng. 
 Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Chuyên đề áp 
dụng tính tương đối trong các bài toán cực trị cơ học dành cho học sinh giỏi ”. 
BM-SK02 Trang 1 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến. 
 Nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tiễn dạy và học nhằm nâng cao hiệu 
quả công tác học sinh giỏi và ôn thi vào 10 các trường chuyên. 
 Các bài toán gắn với thực tiễn, cuộc sống hằng ngày để tăng tính thực tế, tạo 
hứng thú tìm tòi nghiên cứu thế giới tự nhiên. 
 Góp phần đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, tự lực 
và phát triển năng lực sáng tạo của học sinh trong học tập. 
 7. Nội dung: 
 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến. 
 CỰC TRỊ TRONG CƠ HỌC 
A. PHƯƠNG PHÁP 
1. Cực trị hàm bậc 2 
Hàm bâc 2: y= a.x2 + b.x + c (a 0) 
 d1) Nếu x, ( − ) thì: 
 b
 y có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0 tại điểm A x=− ,yA 
 2a
 b
 y có giá trị lớn nhất nếu a < 0 tại B x=− ,yB 
 2a
 d2) Nếu hàm bậc 2 có x biến thiên trong khoảng x ( a,b) thì ta phải tính giá 
 b
 trị của y tại 3 giá trị của x= a,x = b,x = − sau đó so sánh y của 3 giá trị 
 2a
 này để tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 2. 
2. Bất đẳng thức Côsi 
Cho hai số dương a và b thì bất đẳng thức Côsi 
 a+ b 2 a.b 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 
 2 2 2
Chứng minh: ab2a.b+ →( a) +( b) − 2a.b0 →( a − b) 0 , 
 luôn đúng 
 Dấu “ =” xảy ra khi: a= b → a = b 
3. Bất đẳng thức Bunnhiakopski 
 2 2 2 2 2 2 2
 (a.ba.b112233+ + a.b) ( a 12312 + a + a)( b + b + b 3 ) 
BM-SK02 Trang 2 4. Định lí hàm số sin, định lí hàm số cosin 
a) Cho ∆ ABC bất kỳ ta có định lí hàm số sin 
 a b c
 == 
 Sin A SinB SinC
b) Cho ABC bất kỳ ta có định lí hàm số cosin 
 a2= b 2 + c 2 − 2bc.cosA
 b2= c 2 + a 2 − 2ac.cosB 
 c2= a 2 + b 2 − 2ab.cosC
5. Cực trị trong tính tương đối. 
a) Công thức cộng vận tốc v13=+ v 12 v 23 
Vận tốc của vật 1 so với vật 2 là 
 v12= v 13 + v 32 = v 13 − v 23 = v 1 − v 2 
Lấy vật 2 làm mốc thì vật 1 sẽ chuyển động với vận tốc v12. Khoảng cách ngắn 
nhất giữa 2 vật là khoảng cách ngắn nhất từ vật 2 đến phương chuyển động. 
b) Các bước xác định khoảng cách ngắn nhất. 
+ Từ vật 2 ta hạ vuông góc với phương chuyển động tương đối v12 
+ Khoảng cách ngắn nhất chính là đoạn hạ vuông góc (Khoảng cách ngắn nhất 
giữa hai chất điểm chính là khoảng cách ngắn nhất từ một chất điểm đến phương 
chuyển động tương đối). 
c) Các trường hợp riêng: 
 - Nếu v12 cùng hướng với v23 thì: v13=+ v 12 v 23 . 
 - Nếu v12 ngược hướng với v23 và vv12 23 thì: v13=− v 12 v 23 
 - Nếu v12 ngược hướng với v23 và vv12 23 thì: v13=− v 23 v 12 . 
 22
 - Nếu v12 vuông góc với v23 thì: v13=+ v 12 v 23 . 
B. BÀI TẬP VÍ DỤ 
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC 2 0 
Bài 1. Một người đứng tại điểm A trên bờ hồ. Người này muốn đến B trên mặt hồ 
nhanh nhất. Cho khoảng cách trên hình vẽ, biết người này chạy trên bờ với vận tốc 
v1, khi bơi có vận tốc là v2 (v2 < v1). Hãy xác định phương án chuyển động của 
người đó. 
BM-SK02 Trang 3 B 
 d 
 A D x H 
Hướng dẫn: 
Cách đến B nhanh nhất là người đó chạy trên bờ một đoạn AD sau đó bơi từ D đến 
B. Thời gian người đó đi từ A đến B là 
 Sx− dx2 + 2 Svdx 2 + 2 − v.x
 t = + = + 12 
 v1 v 2 v 1 v 1 v 2
 Yvd=2 + x 2 − v.x → Yv.xvd + = 2 + x 2
Đặt 1 2 2 1 
 2 2 2 2 2 2
 →(v1 − v 2) x − 2Yv 2 .x + v 1 d − Y = 0
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 đối với x ta được 
 v .d
 Y= d v22 − v → x = 2 
 min 1 2 22
 vv12−
Bài 2. Hai người ban đầu ở các vị trí A và B trên hai con đường thẳng song song nhau và 
cách nhau đoạn l = 540 m, AB vuông góc với hai con đường. Giữa hai con đường là một 
cánh đồng. Người I chuyển động trên đường từ A với vận tốc v1 = 4 m/s. Người II khởi 
hành từ B cùng lúc với người I và muốn chuyển động đến gặp người này. Vận tốc chuyển 
động của người II khi đi trên cánh đồng là v2 = 5 m/s và khi đi trên đường là 
v2’= 13 m/s. 
 a) Người II đi trên cánh đồng từ B đến C và gặp người I tại C như hình 2. Tìm 
thời gian chuyển động của hai người khi đến C và khoảng cách AC. 
 b) Người II đi trên đường từ B đến M rồi đi trên cánh đồng từ M đến D và gặp 
người I tại D như hình 3, sao cho thời gian chuyển động của hai người đến lúc gặp nhau 
là ngắn nhất. Tìm thời gian chuyể động này và các khoảng cách BM 
BM-SK02 Trang 4 Hướng dẫn 
a) Thời gian từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là bằng nhau nên 
 AC BC AC AC22+ 540
 = → = →AC = 720m 
 4 5 4 5
Thời gian chuyển động của hai người khi đến C là 
 720
 t== 180s 
 4
b) Gọi thời gian người 2 đi trên đoạn BM là x, thời gian đi tổng là t 
 22
 MD (4t− 13x) + 54022( 4t − 13x) + 540
 t= x + = x + → t − x =
Ta có 5 5 5 
 2 2
 2 (4t−+ 13x) 540
 →(t − x) = → 144x2 − 54tx − 9t 2 + 540 2 = 0
 25
Đây là phương trình bậc 2 của x, để phương trình này có nghiệm thì 
 54t2− 4.144( 540 2 − 9t 2 ) 0 → t 144s 
Kết quả: tmin = 144s 
DẠNG 2: TÍNH TƯƠNG ĐỐI TRONG CỰC TRỊ CƠ 
Bài 1 (Cực trị chuyển động trên dòng sông). Ở một đoạn sông thẳng có dòng 
nước chảy với vận tốc là v0, một người từ vị trí A ở bờ sông bên này muốn chèo 
thuyền tới B ở bờ bên kia. Cho AC = a, BC = b. Tính vận tốc nhỏ nhất của thuyền 
so với nước mà người này phải trèo để có thể tới B. 
Hướng dẫn: 
Gọi vận tốc của thuyền so với dòng nước là vt 
Vận tốc của thuyền so với bờ là: v1=+ v o v t . 
Ta biểu diễn các véc tơ vận tốc trên hình vẽ. 
Vì vo không đổi, vận tốc v1 luôn hướng theo hướng AB, v12 luôn có điểm đầu mút 
trên AB nên v12 nhỏ nhất khi vv12⊥ 1 
BM-SK02 Trang 5 vb0
 v12 = vo.sin = 
 2
 ab+ 2
Nhận xét: 
Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình, rồi sau đó 
lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài! 
Bài 2 (Bài toán lý thuyết cơ bản). Hai chất điểm chuyển động trên hai đường 
thẳng Ax và By vuông góc với nhau, tốc độ lần lượt là v1 và v2 (Hình vẽ) 
a) Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2 
b) Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm 
trong quá trình chuyển động. 
Hướng dẫn 
 C 
 C 
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
Vận tốc của vật 1 so với vật 2 có hướng theo đường AC nên 
Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng 
cách ngắn nhất giữa hai chất điểm. 
Bài 3 (Bài toán hai vật chuyển động trên hai phương vuông góc nhau). Hai xe 
chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ 
50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một thời điểm nào đó xe A 
và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km và đang tiến về 
phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe. 
Hướng dẫn 
BM-SK02 Trang 6 
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng 
cách ngắn nhất giữa hai xe.→ dmin = BH 
 v3
 tan =2 = → =5900 ,  = 31 
 v51
dmin = BH = BI sin = (BO- OI) sin = (BO - OA.tan ).sin = 1,166km 
Bài 4 (Bài toán hai vật chuyển động trên hai phương bất kì). Hai vật chuyển 
động từ hai điểm A và B cùng hướng về điểm O với cùng một vận tốc. Biết AO = 
20km. BO = 30km, góc tạo bởi AO và BO là 600. Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất 
giữa chúng trong quá trình chuyển động. 
Hướng dẫn 
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng 
cách ngắn nhất giữa hai xe.→ dmin = BH 
 OAK là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu như nhau) 
 dmin = KB.sin 
 KB = l2-l1 dmin = 5 3 km 
BM-SK02 Trang 7 
Bài 5 (HSG Nghệ An 2005- 2006). Hai vật chuyển động trên hai đường thẳng 
vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị lần lượt là v1 = 30km/h và v2 = 
20km/h. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm 
S1 = 500m. Hỏi lúc đó vật 2 cách giao điểm trên một đoạn S2 bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn 
 v 
 2
 B 
 A v O 
 1
 −v 
 2 v12
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
-Tại A cách O đoạn S1 = 500m dựng véc tơ v1 và véc tơ - v2 , và v12 . Kẻ đường AB 
vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ v12 ( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn 
nhất dmin = AB) 
 v2
 tan = 1 = 
 v32
 0A
 B0= = 750(m) 
 tan 
Nhận xét: Đây là cách làm đơn giản và ngắn gọn nhất, cách lập phương trình viết 
biểu thức khoảng cách giữa hai vật sau đó sử dụng cực trị của hàm bậc 2 rất dài và 
hay bị sai. 
BM-SK02 Trang 8 Bài 6 (áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp ki). Hai chuyển động trên AO và BO 
 v
cùng hướng về O với vận tốc được liên hệ với nhau v=1 , = 300 . Khi khoảng 
 2 3
cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách từ vật 1 đến O là d1 = 30 3 m. 
Tìm khoảng cách từ vật 2 đến O. 
 A 
 ’ 
 A ’ 
 d1
  O 
 ’ 
 d2
  
 B 
 B’ 
Hướng dẫn 
Cách 1. 
Gọi d1 và d2 là khoảng cách từ các vật 1 và 2 đến O lúc xuất phát. Sau thời gian t 
thì vật từ A đến A’. Sau thời gian t thì vật từ B đến B’. 
Định lí hàm số sin ta có 
 d d−− v .t d v .t v
 ==1 1 2 2 . Vì v = 1 nên 
 sin sin  sin  2 3
 d dv.t− 3d − v.t d 3dd −
 =1 1 = 2 1 → = 2 1 . 
 sin sin 3sin sin 3sin  − sin 
Mặt khác thì cũng có sin= sin(18000 −= ) sin( +=) sin( 30 +) nên 
 d 3d− d 3d − d 3d − d
 =2 1 →d = 2 1 = 2 1 . 
 sin 3 1 3cos + sin  y
 cos + sin 
 22
Áp dụng bất đẳng thức Bunnhia côpxki ta có 
 2
 y ( 3 + 1)( sin22  + cos ) = 2 
 sin 1
Vậy y max = 2. Dấu “=” xảy ra khi = →  =300 → d ' = 3d ' = 90m 
 cos 3 21
Cách 2. 
BM-SK02 Trang 9 
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
BA ⊥ v12 , dmin = AB 
 v
Vì v = 1 nên chứng minh được =  = 300 
 2 3
Hạ đường AH ⊥ BO 
 0 0 
AH = AO.sin30 = d1.sin30 =15 3 m 
 0
HO = d1.cos30 = 45 m 
 AH
BH = = 45m BO = d2 = 90m 
 tan300
Bài 7 (áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp ki). Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai 
đường thẳng OA và OB biết AB = 40km. vA = 40 km/h, vB = 40 3 km/h. Chiều 
chuyển động của các tàu được biểu diễn trên hình vẽ. Tính khoảng cách ngắn nhất 
giữa 2 tàu biết rằng =3000 ,  = 60 
Hướng dẫn 
 A 
 ’ 
 ' A ’ 
 d1
 O 
  
 B ’ 
 d2
  
 B’ '
  
Ta có góc ngoài tam giác ta có  = +  →  = 300 
BM-SK02 Trang 10 Lúc đầu khi 2 vật chưa di chuyển định lí hàm số sin ta có 
 d d AB d d AB d== AB 3 40 3km
 1= 2 = → 1 = 2 = → 1 
 sin sin sin  sin60 sin30 sin30
 d2 == AB 40km
Sau một thời gian thì vật từ A đến A’. Vật từ B đến B’ lúc đó 
 '
 d1= d 1 − v 1 .t = 40 3 − 40t
 '
 d2= d 2 + v 2 .t = 40 + 40 3t
Khoảng cách giữa hai tàu là d’= A’B’ 
 d'''' d d d 120−+ 40 3t 40 40 3t 160
 =12 = → = = =
 sin sin ''' sin sin 3sin''' sin 3sin  + sin 
 80
 →=d'
 3sin'' + sin 
Nhìn vào biểu thức ta thấy d’ min khi mẫu số lớn nhất. Áp dụng bất đẳng thức 
Bunnhia ta có 
 31
 y= 3sin + =' sin ' 3sin + ' sin(150 0 −= ' ) 3sin + ' cos(  ' )
 22
 22 
 31 
 37 + =
 22 
 80
Vậy y lớn nhất là 7 và d= km 
 min 7
Bài 8. Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h. Một hành khách 
cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô. Hỏi người 
ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô? 
Hướng dẫn 
BM-SK02 Trang 11 
Xét chuyển động tương đối của vật 2 so 1 ta có 
 v21= v 2 + ( − v 1 ) = v 2 − v 1 
Để 2 gặp được 1 thì v21 phải luôn có hướng AB 
Véc tơ vận tốc v2 có ngọn luôn nằm trên đường xy// với AB. v2 khi v2 ⊥xy tức 
là v2 ⊥AB 
Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD ta có 
 v v d
 21= v = v = 10,8km / h 
 d a21 a
Bài 9. Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông và phải đạt tới điểm B ở 
bờ bên kia nằm đối diện với điểm A. Muốn vậy, người thứ nhất bơi để chuyển 
động được theo đúng đường thẳng AB, còn người thứ hai luôn bơi theo hướng 
vuông góc với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó chạy ngược tới A 
với vận tốc u. Tính giá trị u để hai người tới A cùng lúc. Biết vận tốc nước chảy 
vo= 2km/h, vận tốc của mỗi người bơi đối với nước là v’= 2,5km/h 
Hướng dẫn 
* Xét người thứ nhất 
-Vận tốc của người đối với bờ 
 2 '2 2
 v10=+ v' v , do v1⊥ v 0 v 1 = v − v 0 
Thời gian người thứ nhất đến B là 
 AB AB
t1= = 
 v 22
 1 vv10−
*Xét người thứ hai 
BM-SK02 Trang 12 
Vận tốc của người thứ hai đối với bờ 
 2 2 2
 v20=+ v' v , do v'⊥ v0 v 2 = v' + v 0 
 AC AB AB
thời gian đến C là t20= = = 
 v22 v cos v'
thời gian chạy trên bờ 
 BC v0 .t 20 v 0 .AB
 t’20= == 
 u u v'.u
Theo đề bài t1= t20+t’20 
 AB AB v AB
 = + 0 
 22 v' v'.u
 v'− v0
 v v'2−− v 2 2 2,5 2 2 2
 u =00 = = 3km / h 
 2 2 2 2
 v'− v' − v0 2,5 − 2,5 − 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1 (BD HSG lí 10). Một người đứng tại A trên một bờ hồ. Người này muốn tới 
B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách như trên hình vẽ. Biết rằng người 
này có thể chạy thẳng dọc theo bờ hồ với vận tốc v2 và bơi thẳng với vận tốc v1. 
Hãy xác định cách mà người này phải theo: 
Hoặc bơi thẳng từ A đến B. 
Hoặc chạy dọc theo bờ hồ một đoạn rồi sau đó bơi thẳng tới B. Biết vận tốc chạy 
dọc theo bờ hồ luôn lớn hơn vận tốc khi bơi (v1 < v2 ) 
HD: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 
BM-SK02 Trang 13 Bài 2 (BD HSG lí 10). Một xe buýt chuyển động 
thẳng đều qua điểm A theo hướng AH với vận v1 
 H A 
tốc v1 = 16 m/h và một hành khách đứng cách 
đường một đoạn là a nhìn thấy xe cách mình 1 
đoạn là b. Biết BH = a = 60m, AB = b = 400m B 
 a) Hỏi người phải chạy theo hướng nào để 
tới được đường cùng lúc hoặc trước khi xe buýt 
tới đó biết rằng vận tốc đều của người là v2 = 4 
m/s . 
 b) Muốn gặp được xe với vận tốc nhỏ nhất 
thì người phải chạy theo hướng nào ? Vận tốc 
nhỏ nhất là bao nhiêu? 
Đ/s: ; 
 v2min = 2,4m / s
Bài 3 (Bài 39 CT kỳ thi 9 vào 10 
chuyên). Một ô tô xuất phát từ điểm A A 
trên cánh đồng để đến điểm B trên sân vận 
động. Cánh đồng và sân vận động được a x 
ngăn cách nhau bởi con đường thẳng D, O N B’ 
 ’
khoảng cách từ A đến D là a = 400m, A M 
khoảng cách từ B đến D là b = 300m, b 
khoảng cách AB = 2,8km. Biết tốc độ của 
ô tô tren cánh đồng là v = 3 km/h, trên B 
 5v 4v
đường D là , trên sân vận động là . 
 3 3
Hỏi ô tô phải đi đến điểm M trên đường 
cách A’ một khoảng x và rời đường tại N 
cách B’ một khoảng y bằng bao nhiêu để 
thời gian chuyển động là ngắn nhất?. Xác 
định thời gian ngắn nhất đ 
 3a 4b
Đ/s: x= ;y = ;T = 0,6939h 
 43min
Bài 4 (CS1/182 VLTT). Hai vật nhỏ lúc đầu ở cách nhau một khoảng là AB = L, 
cùng chuyển động thẳng đều với các vận tốc có độ lớn bằng nhau theo hai hướng 
 L
khác nhau như hình vẽ. Biết khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật là . Hãy tính 
 2
góc tạo bởi các phương chuyển động của hai vật. 
 v2 
 v1 L 
 A B 
BM-SK02 Trang 14 
Bài 5 (CS1/190 VLTT). Một cầu thủ đứng ở điểm 
A trên một sân bóng, đá một quả bóng theo phương 
hợp với bức tường một góc α = 600. Coi sự phản xạ A’ 
của quả bóng khi va chạm với tường giống như sự 
phản xạ của tia sáng trên gương phẳng và bóng lăn I 
với tốc độ không đổi u = 8 m/s. Ngay sau khi đá H 
 a 
bóng, cầu thủ liền chạy theo một đường thẳng với 
tốc độ không đổi để đón quả bóng phản xạ từ bức A 
 B 
tường trong khi đang chạy. 
 a) Nếu cầu thủ chọn con đường ngắn nhất để 
đón quả bóng thì vận tốc của cầu thủ này phải là 
bao nhiêu? 
 b) Cầu thủ có thể chạy với vận tốc nhỏ nhất 
là bao nhiêu và theo phương nào để đón được bóng? 
Bài 6. Từ hai bến A, B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành. Khi 
nước sông không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca nô từ A chạy song song 
với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc v1 = 24km/h. Còn chiếc ca nô chạy từ B 
vuông góc với bờ có vận tốc 18km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi khoảng cách 
nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ 
A đến B với vận tốc v3 = 6km/h. 
Đ/s: 0,6 km 
Bài 7. Một ô tô tới gần một địa điểm A với vận tốc v1= 80km / h . Tại thời điểm 
khi còn phải đi L = 10 km, thì từ A một xe tải đi theo hướng vuông góc với tốc độ 
v2 = 60km. Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa xe ô tô và xe tải là bao nhiêu? 
Đ/s: d= 6km 
Bài 8. Một người đứng ở điểm A cách đường quốc lộ h = 100m, nhìn thấy một ô tô 
vừa chạy đến điểm B cách mình d=500m,đang chạy trên đường với vận tốc v1 = 
50km/h. Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC với góc 
 BAC = với vận tốc là v2. Tìm để v cực tiểu 
 0
Đ/s: =90 ,v2 min = 10km / h 
 y 
Bài 9. Trong hệ trục toạ độ xOy (như hình vẽ), có 
hai vật nhỏ A và B chuyển động thẳng đều. Lúc A v1
bắt đầu chuyển động, vật A cách vật B một đoạn O x 
 v2
L=100m. Biết vận tốc của vật A là v1=10m/s theo 
hướng Ox, vận tốc của vật B là v2=15m/s theo 
 B 
BM-SK02 Trang 15 hướng Oy. 
 a) Sau thời gian bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, hai vật A và B lại 
cách nhau 100m. 
 b) Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B. 
Đ/s: a) t = 9,23s; b)Smin = 55,74m 
Bài 10. Từ điểm O trên bờ một con sông rộng OA=0,5km, 
 A B 
một người muốn đi tới điểm A đối diện bên kia sông bằng 
 v 
cách đi thuyền từ O đến B rồi đi bộ từ B về A (Hình 1). Vận v1 2
tốc của thuyền đối với nước là v1=3km/h, vận tốc của nước 
 O Hình 1 
đối với bờ sông là v2 = 2km/h, vận tốc đi bộ trên bờ là v = 5km/h. Tìm độ dài BA 
để thời gian chuyển động là ngắn nhất và tính thời gian ngắn nhất đó. 
 10 125 10
Đ/s: t= (h) và AB== 132(m) 
 min 15 min 3
Bài 11. ( Kỳ thi chọn HS giỏi NH 06-07, vật lí 9). Một ghe máy có vận tốc khi 
nước yên lặng là 6km/h đi xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 12km. Cùng 
lúc đó có một thuyền máy ngược dòng từ B đến A, vận tốc thuyền máy khi nước 
yên lặng là 10km/h, sau khi gặp nhau chúng quay lại và trở về bến xuất phát của 
mình. Hỏi rằng vận tốc của dòng chảy ít nhất là bao nhiêu để cho ghe máy về lại 
bến A không sớm hơn một giờ sau khi thuyền máy về đến bến B. 
Bài 12. Một người muốn qua một con sông rộng 750m. Vận tốc của anh ta đối với 
nước là v1= 1,5m/s. Nước chảy với vận tốc là v2 = 1 m/s. Vận tốc chạy bộ trên bờ là 
v3 = 2,5 m/s. Tìm đường đi (kết hợp giữa chạy bộ và bơi) để anh này đến điểm bên 
kia sông đối diện xuất phát trong thời gian ngắn nhất. 
Hướng dẫn: 
Gs người này chạy bộ từ A đến B rồi bắt đầu bơi theo hướng hợp với AC một góc 
là α 
Thời gian người này bơi qua sông là 
 AC
 t1 = 
 v1 .cos 
BM-SK02 Trang 16 AB
Thời gian chạy bộ là t2 = 
 v3
Mặt khác thì AB=( v2 − v 1 sin ) t 1 áp dụng bđt Bunnhia. 
Bài 13. Có hai vật M1 và M2 lúc đầu cách nhau một khoảng l = 2m. Cùng lúc hai 
vật chuyển động thẳng đều vật M1 chạy về B với vận tốc v1 = 10m/s. M2 chạy về 
C với tốc độ v2 = 5m/s. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để 
đạt được khoảng cách đó. Biết góc tạo bởi giữa hai đường thẳng là =450 
Hướng dẫn 
 C 
 v2
 A 
 v1 B 
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 
 v12= v 1 + ( − v 2 ) = v 1 − v 2 
dmin= AH = AB.sin  
 2 2 0 22
v21= v1+ v 2 + 2v 1 v 2 cos(180 − ) = v1+ v 2 + 2v 1 v 2 cos 
Áp dụng định lí hàm sin ta có 
 BM BN BN
 == 
 sin sin(1800 − ) sin 
 v v v
 2 = 12 sin  = 2 
 sin sin v12
BM-SK02 Trang 17 lv sin 
 d =2 = 0,5( m) 
 min 22
 v1+ v 2 + 2v 1 v 2 cos 
 22
 BH ld− min
BH=v12.t t = = = 0,138(s) 
 vv12 12
Đ/s: dmin = 0,5m 
Bài 14. Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển động cùng 
một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v1, v2. Tàu A chuyển động theo hướng 
AC tạo với AB góc (hình vẽ). 
 a) Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A. Sau bao lâu kể từ 
lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau? 
 b) Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1 ) thì các độ lớn vận tốc 
v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì? 
 Hướng dẫn 
 A 
 v1 B 
 H 
 C 
a) Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA góc . 
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v1.t, BM = v2.t 
 AM BM v t v t v
- Trong tam giác ABM: = 12= sin = 1 sin (1) 
 sin sin sin sin v2
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc  thỏa mản (1) 
- Cos = cos[1800 – ( + )] = - cos( + ) = sin .sin  − cos .cos  
- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 . Tại thời điểm ban đầu v21 cùng 
phương chiều với BA . Theo công thức cộng vận tốc: v21= v 23 − v 13 = v 2 − v 1 nên 
 2 2 2
 v21= v 2 + v 1 − 2v 2 v 1 cos  
 v2= v 2 (sin 2  + cos 2  ) + v 2 (sin 2 + cos 2 )
Biến đổi 21 2 1 
 −2v12 v (sin .sin  − cos .cos  )
 2 2 2 2 2 2 2 2
=(sin .v2 − 2sin sin  .v 1 v 2 + sin .v 1 )+(cos .v2 + 2cos cos  .v 1 v 2 + cos .v 1 ) 
 2 2
=(sin .v21 − sin .v ) +(cos .v21 + cos .v ) 
BM-SK02 Trang 18 2
 = (cos .v21 + cos .v ) => v21 = v12 .cos + v cos  
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là 
 AB l
 t = = 
 v21 v 1 cos + v 2 cos 
b) Để 2 tàu gặp nhau ở H thì 
  + =9000  = 90 − 
 sin = sin(900 − ) = cos 
 vv
Theo (1) ta có: cos =12 sin tan = 
 vv21
 * Kết quả của sáng kiến. 
 -Khảo sát đầu năm số lượng học sinh không biết dạng bài tập này 
Năm học Năm 2022- 2023 Năm 2023- 2024 
Số học sinh 14/15 12/15 
Điểm khảo sát đầu năm của các học sinh trong đội tuyển. 
Năm/ Số lượng hs Điểm đến 6 Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 
2022-2023 11/15 3/15 1/15 
2023-2024 10/15 4/15 1/15 
Điểm khảo sát tháng 12 của các học sinh trong đội tuyển. 
Năm/ Số lượng hs Điểm đến 6 Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 
2022-2023 0/8 3/8 5/8 
2023-2024 0/8 2/8 6/8 
 7.2. Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến. 
 Sáng kiến này áp dụng trong dạy và học trên địa bàn toàn huyện, đặc biệt là 
các học sinh thuộc đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 môn Vật lí tập trung tại trường 
THCS thị trấn Nham Biền số 1. 
 7.3. Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến. 
 Sự hứng thú tìm tòi, lan toả kiến thức, say mê nghiên cứu khoa học đến các 
học sinh và xã hội là điều nhìn thấy ngay sau khi áp dụng sáng kiến này. Đồng thời 
BM-SK02 Trang 19 giúp các em yêu thích bộ môn, làm cơ sở để gia đình định hướng phát triển năng 
lực nghề nghiệp sau này. 
 Trong thời đại kỷ nguyên số với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công 
nghệ như hiện nay việc tạo hứng thú để các em thường xuyên học tập có vai trò 
đặc biệt quan trọng đối với bản thân và xã hội. Một con người có thể thay đổi cả 
thế giới, sáng kiến hiện tại góp phần nhỏ nhưng thái độ làm việc, sự hứng,kỉ luật 
trong làm việc góp phần rất lớn vào việc phát triển của xã hội và đất nước. 
 * Cam kết: Chúng tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và 
không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. 
 Xác nhận của cơ quan, đơn vị Tác giả sáng kiến 
 (Chữ ký, dấu) (Chữ ký và họ tên) 
BM-SK02 Trang 20