Sáng kiến kinh nghiệm Đột phá tư duy trong giải toán bất đẳng thức

 MỤC LỤC
1. Tên sáng kiến: .................................................................................................................1
2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: ...........................................................................1
3. Các thông tin cần bảo mật: .............................................................................................1
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: ................................................................................1
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: ...............................................................1
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến: ..................................................................................2
7. Nội dung: .........................................................................................................................2
 7.1. Thuyết minh giải pháp mới.......................................................................................2
 7.1.1. Cơ sở lý luận ..........................................................................................................2
 7.1.2. Cơ sở thực tiễn .......................................................................................................3
 7.1.3. Nội dung thực nghiệm............................................................................................3
 * Kết quả của sáng kiến: ................................................................................................21
 7.2. Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến ...........................................................22
 7.3. Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến: ............................................23
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................24
PHỤ LỤC ..........................................................................................................................25 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP 
 VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
 1. Tên sáng kiến: “Đột phá tư duy trong giải toán bất đẳng thức”
 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: 06/9/2023
 3. Các thông tin cần bảo mật: Không
 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm:
 Trong thực tế đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức lớp 9, đa số giáo 
viên giảng dạy theo những bài toán quen thuộc, ít có tính mở rộng, phù hợp với 
nhóm học sinh đại trà, cũng chính vì vậy, phần lớn học sinh khi gặp những bài toán 
có mức độ cao hơn thường gặp phải những khó khăn:
 - Chưa nắm được phương pháp giải và cách trình bày bài toán bất đẳng thức; 
 - Khó khăn trong lập luận từ những kiến thức trừu tượng đến những điều 
kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán; 
 - Học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài tập một cách 
máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả bài toán; 
 - Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số học sinh 
không nhận ra, lúng túng và không làm được.
 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
 Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu 
quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho học sinh say mê học tập, hiểu sâu 
kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào 
có thể giúp học sinh tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học 
toán. Để làm được như vậy, giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập 
từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài 
toán cơ bản. Học sinh cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng 
tương tự như vậy.
 Chính vì vậy, tôi chọn sáng kiến “Đột phá tư duy trong giải toán bất đẳng 
thức” giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và 
BM-SK02 Trang 1 tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc, 
biến đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức khó 
hơn. Làm được như vậy, học sinh sẽ tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu 
các kiến thức cơ bản, đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân.
 Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất đẳng 
thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng của môn Đại số. 
Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức cùng dạng thì đã thực sự 
trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, học 
sinh không thể làm hết mà chỉ có thể nắm được một số dạng, chính vì vậy, học sinh 
cần nắm được bản chất của bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. 
 Do đó sáng kiến đưa cho học sinh các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó và 
liên hệ các bài tập cùng dạng với nhau khiến học sinh rất hào hứng và tự tin khi 
lĩnh hội được một chuyên đề được coi là khó nhất trong môn Đại số.
 Đặc biệt, sau khi áp dụng sáng kiến trong giảng dạy thì học sinh đã thay đổi 
về phong cách học tập, sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập đều có thói quen tiếp 
tục khai thác mở rộng các bài tập liên quan đến bài tập vừa giải, chứ không dừng 
lại ở việc giải xong bài tập là kết thúc bài tập ở đó.
 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến:
 Dạy học sinh phương pháp học chuyên đề bất đẳng thức nói riêng và 
phương pháp học môn toán nói chung.
 Đề xuất phương án dạy và học phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, nâng 
cao hiệu quả quá trình dạy và học.
 Thay đổi phương pháp học tập của học sinh theo hướng tích cực, bồi dưỡng 
phương pháp tự học, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh.
 7. Nội dung:
 7.1. Thuyết minh giải pháp mới: “Đột phá tư duy trong giải toán bất đẳng thức”
 7.1.1. Cơ sở lý luận
 Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng 
giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển 
mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy, giáo viên cần phải quan tâm đến 
BM-SK02 Trang 2 phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất 
cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan 
trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, 
phát triển óc tư duy. Các bài tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho 
học sinh, mục đích phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo 
tính giáo dục phù hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng 
thức trong quá trình ôn thi học sinh giỏi là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình 
thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.
 7.1.2. Cơ sở thực tiễn
 - Thuận lợi: 
 Trường THCS Thị trấn Nham Biền số 1 là một trường được UBND Huyện, 
Phòng GD&ĐT huyện Yên Dũng chọn đặt là trường trọng điểm chất lượng cao. Đây 
là một điều kiện khá thuận lợi cho việc học tập của học sinh cũng như việc giảng dạy 
của giáo viên.
 Đối tượng học sinh đã được nhà trường tuyển chọn và thi khảo sát để chọn 
và phân loại học sinh theo lớp với các đối tượng Giỏi, Khá, Trung Bình, Yếu.
 Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt và đặc biệt có nhiều em đang tham 
gia học đội tuyển toán, tôi được Phòng GD&ĐT và nhà trường phân công dạy đội 
tuyển dự thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9. 
 - Khó khăn: 
 Phần lớn các em tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho 
kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi.
 7.1.3. Nội dung thực nghiệm
 Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ sở 
nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.
 Bài toán xuất phát:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a3 b3 ab a b . (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :
 a b a2 – ab b2 – ab a b 0
BM-SK02 Trang 3 a b a2 2ab b2 0
 a b a b 2 0 đúng với mọi a,b dương.
Đẳng thức xảy ra khi a b . 
Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:
 a3 b3
Với a,b dương ta cũng có thể biến đổi (*) thành : ab
 a b
 a2 – ab b2 ab
 a b 2 0 (đúng) 
Đẳng thức xảy ra khi a b.
Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt và không có gì mới 
lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này. 
giáo viên nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất đẳng 
thức a3 b3 ab a b (*) có gì quen thuộc?”; “Biến đổi như thế nào để có lập 
phương của một tổng?”; 
 Khi đó học sinh biến đổi * 3 a3 b3 3ab a b 
 4 a3 b3 a3 b3 3ab a b 
 4 a3 b3 a b 3 .
Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:
Bài 2: Với a, b, c dương chứng minh rằng: 
 8 a3 b3 c3 a b 3 b c 3 c a 3 .
Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc sử 
dụng phương pháp tách để chứng minh.
Ta đã có: 4 a3 b3 a b 3
Tương tự: 4 b3 c3 b c 3 ; 
 4 c3 a3 c a 3
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh.
BM-SK02 Trang 4 8 a3 b3 c3 a b 3 b c 3 c a 3
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi: 
Ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương a b 3 ; b c 3 ; c a 3 
thì được điều gì?
Học sinh thấy ngay: a b 3 b c 3 c a 3 3 a b b c c a 
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 2.
Bài 3: Với a, b, c dương chứng minh rằng: 
 8 a3 b3 c3 3 a b b c c a 
Bài tập này học sinh có thể chứng minh như sau:
Ta đã có: 8 a3 b3 c3 a b 3 b c 3 c a 3 1 
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số dương a b 3 ; b c 3 ; c a 3 ta 
có: a b 3 b c 3 c a 3 3 a b b c c a 2 
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Từ 1 và 2 suy ra 8 a3 b3 c3 3 a b b c c a . 
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Bài tập này đối với mức độ nhận thức của học sinh khối THCS quả là không dễ, 
nhưng khi học sinh đã được tiếp cận thì bài toán lại trở nên hết sức nhẹ nhàng.
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi như bài tập 2, giáo viên đặt câu hỏi: từ bài tập 3 hãy 
đề xuất một bài toán bất đẳng thức mới?
Với một số học sinh tư duy chưa linh hoạt có hướng khai thác như sau:
 a b
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dương a và b ta có: ab
 2
 b c
Tương tự ta có: bc
 2
BM-SK02 Trang 5 c a
 ca
 2
Do hai vế của các bất đẳng thức trên đều dương nên ta có: 
 a b b c c a 
 abc
 8
Kết hợp với bài toán 3 ta có bài toán:
Với a, b, c dương chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc .
Bài toán này chính là bất đẳng thức AM - GM với ba số dương a, b, c không có gì 
mới lạ. Nhưng nó lại mang ý nghĩa lớn, vì đây chính là sản phẩm tự sáng tạo của 
các em học sinh và học sinh biết thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
AM - GM với ba số dương a, b, c .
Giáo viên tiếp tục kích thích tư duy sáng tạo của học sinh bằng cách đặt câu hỏi:
“Hai vế bất đẳng thức 8 a3 b3 c3 3 a b a c b c có gì quen thuộc? 
Biến đổi như thế nào để có lập phương của tổng ba số a, b, c ?”.
Khi đó học sinh sẽ biến đổi: 
Với a, b, c dương ta có: 8 a3 b3 c3 3 a b a c b c 
 9 a3 b3 c3 a3 b3 c3 3 a b b c c a 
 9 a3 b3 c3 a b c 3
 3
 a3 b3 c3 a b c 
 3 3 
Từ đó ta đề xuất được bài toán mới.
 3
 a3 b3 c3 a b c 
Bài 4: Với a, b, c dương chứng minh rằng: .
 3 3 
Với học sinh lần đầu tiên gặp bài toán này thường dùng phép biến đổi tương 
 3
 a3 b3 c3 a b c 
đương để chứng minh, nhưng khi biến đổi tương 
 3 3 
đương với bất đẳng thức: 8 a3 b3 c3 3 a b a c b c thì học sinh bắt 
BM-SK02 Trang 6 đầu gặp khó khăn để biến đổi tiếp. Tuy nhiên với sự dẫn dắt của giáo viên thì bài 
toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Bài toán 4 sẽ đẹp hơn nếu ta đặc biệt hóa bài toán trong trường hợp a b c 3.
Ta có bài toán mới:
Bài 5:Với a, b, c dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3.
Chứng minh bài 5 học sinh sẽ chứng minh như bài toán 4 rồi thay a b c 3 bài 
toán sẽ được giải quyết.Với cách làm như vậy lời giải của bài toán không ngắn 
chút nào. 
Với những bài toán có điều kiện như bài 5 có một hướng giải như sau: 
Dự đoán điều kiện dấu bằng xảy ra a b c 1, khi đó đặt a x 1; b y 1 do 
 a b c 3 suy ra c 1 x y và công việc tiếp theo là dùng phép biến đổi 
tương đương để chứng minh .
Sau đây là lời giải.
Giải
Đặt a x 1; b y 1.
Do a b c 3 suy ra c 1 x y (với x; y ¡ )
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 x 1 3 y 1 3 1 x y 3 3
 x3 3x2 3x 1 y3 3y2 3y 1 1 3x 3y 3x2 3y2 x3 y3 3x2 y 3xy2
 6xy 3
 2x2 2y2 2xy x2 y xy2 0
 2x2 2y2 xy 2 x y 0 I 
Ta cần chứng minh (I) đúng.
Thật vậy: ta có a x 1 ; b y 1 và a, b dương suy ra: x 1 y 1 0
 4 2 x y
 4 xy xy (2 x y) (do xy 0 . Dấu “ ” xảy ra khi xy 0 )
 4 xy xy 2 x y 1 
Với mọi x, y ta lại có: x2 y2 2 xy
BM-SK02 Trang 7 2x2 2y2 4 xy 2 
Từ 1 và 2 suy ra 2x2 2y2 xy(2 x y)
 2x2 2y2 xy 2 x y 0
Do đó I đúng.
Do I đúng nên a3 b3 c3 3 (điều phải chứng minh)
Đưa ra nhiều lời giải cho một bài toán có tác dụng rèn khả năng chuyển từ hoạt 
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn khả năng nhìn một đối tượng toán 
học dưới nhiều khía cạnh khác nhau, khả năng tìm ra giải pháp mới khi đã biết 
những giải pháp khác. Từ đó, rèn cho học sinh tính linh hoạt trong hoạt động giải 
toán và các hoạt động khác.
Bất đẳng thức * vẫn còn đúng khi a, b không âm. Nếu a, b là các số dương thì 
bất đẳng thức * có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức * thành bất đẳng thức:
 a3 b3 a2b ab2
 a3 a2
 b a (do b dương)
 b2 b
Tương tự với a, b, c dương thì :
 b3 b2
 c b
 c2 c
 c3 c2
 a c
 a2 a
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có bài toán mới.
 a3 b3 c3 a 2 b2 c 2
Bài 6: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 
 b2 c 2 a 2 b c a
Đây là bài toán trong đề thi của Junior Banlakan 2000. Với sự dẫn dắt của giáo 
viên như trên, học sinh tự tin chứng minh được bất đẳng thức này. Tiếp tục rèn học 
sinh tính linh hoạt trong hoạt động giải toán, giáo viên đặt câu hỏi:
 Nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức AM - GM ta giải bài toán 
BM-SK02 Trang 8 này như thế nào?
Học sinh có thể giải như sau:
Áp dụng bất đăng thức AM - GM với 2 số dương a,b ta có:
 a3 a3 a2 a2 2a2 a2b 
 2 2 a b a b 2a 
 b b b b b a b 
 a3 a2
 a b 1 
 b2 b
 b3 b2
Tương tự ta cũng có: b c 2 
 c2 c
 c3 c2
 c a 3 
 a2 a
 a3 b3 c3 a2 b2 c2
 Từ 1 , 2 và 3 , ta có: .
 b2 c2 a2 b c a
Tuy nhiên khi dùng bất đẳng thức (*) lời giải khá đơn giản.
Tiếp tục hình thành thói quen học tập chủ động, sáng tạo cho học sinh, giáo viên 
đặt câu hỏi.
Quan sát vế trái của bất đẳng thức trong bài 6, nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy 
- Schawrz ta có bất đẳng thức mới nào?
 2
 a2 b2 c2 a b c 
học sinh lúc đó sẽ nghĩ ngay được: 
 b c a a b c
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.
Ta có bài toán sau.
 a3 b3 c3
Bài 7: Với a, b, c dương, chứng minh rằng: a b c.
 b2 c2 a2
Đến đây học sinh xuất hiện ý tưởng đặc biệt hóa kết quả bài toán 7 với bộ ba số 
dương a, b, c thỏa mãn a b c ... Giáo viên dành một lượng thời gian thích 
hợp để học sinh làm công việc đó.
Bất đẳng thức trong bài 6 được xuất hiện khi ta chia cả hai vế của bất đẳng thức 
(*) cho số dương b2 . Vẫn ý tưởng đó nếu ta chia cả hai về của bất đẳng thức (*) 
cho số dương b, ta được bất đẳng thức nào?
BM-SK02 Trang 9 Khi đó học sinh sẽ biến đổi bất đẳng thức * thành bất đẳng thức: 
 a3 b3 a2b ab2
 a3
 b2 a2 ab (do b 0 )
 b
Tương tự với a, b, c dương thì :
 b3
 c2 b2 bc
 c
 c3
 a2 c2 ca
 a
Từ đó ta có bài toán hay:
 a3 b3 c3
Bài 8: Với 3 số a,b,c dương, chứng minh rằng: ab bc ca .
 b c a
Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất 
đẳng thức AM - GM thì rất khó.
Học sinh có thể thử bằng cách như sau: 
 a3
 b2 2a ab ; dấu “ ” xảy ra khi a b.
 b
 b3
Tương tự: c2 2b bc
 c
 c3
 a2 2c ac
 a
Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:
 a3 b3 c3
 2a ab 2b bc 2c ac a2 b2 c2 
 b c a
Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi: 
 a3 b3 c3
Trong hai bất đẳng thức ab bc ca
 b c a
 a3 b3 c3
 và 2a ab 2b bc 2c ca a2 b2 c2 
 b c a
thì bất đẳng thức nào chặt hơn? 
Cách làm đơn giản nhất là giáo viên cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ 
BM-SK02 Trang 10 nhận thấy ab bc ca 2a ab 2b bc 2c ac a2 b2 c2 .
Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta 
có hướng biến đổi khác:
 a3 b3
Từ a3 b3 ab a b * suy ra: a b
 ab
Tương tự với a,b,c là các số dương, ta có: 
 b3 c3
 b c
 bc
 c3 a3
 c a
 ca
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 a b c 
 ab bc ca
Từ đó ta có bài toán: 
Bài 9: Với a,b,c dương, chứng minh rằng: 
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 a b c 
 ab bc ca
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách nhưng 
 a3 b3 2ab ab
nếu sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 2 ab
 ab ab
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
Tương tự ta có: 2 ab 2 bc 2 ca
 ab bc ca
Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức: 
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 a b c 
 ab bc ca
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 ab 2 bc 2 ca
 ab bc ca
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức: 
BM-SK02 Trang 11 2 a b c 2 ab 2 bc 2 ca (a,b,c là số dương)
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
Như vậy bài tập 2 ab 2 bc 2 ca hay hơn bất 
 ab bc ca
đẳng thức trong bài tập 9.
Ta có bài tập sau:
Bài 10: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 ab 2 bc 2 ca
 ab bc ca
Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để chứng minh 
bất đẳng thức. Giáo viên biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra được một số bài 
tập cho học sinh rèn luyện kĩ năng này.
Bài 11: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
 2 a3 b3 c3 ab a b bc b c ca c a 
Thật vậy: 
Áp dụng bất đẳng thức * cho lần lượt cặp số a;b , b;c , c;a , ta có:
 a3 b3 ab a b 
b3 c3 bc b c 
 c3 a3 ca c a 
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
 2 a3 b3 c3 ab a b bc b c ca c a 
Dấu “=” xảy ra khi a b c.
Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho đôi một các số dương a,b,c 
thì dấu “=” xảy ra khi a b c.
Ta có: a b 2 ab ; b c 2 bc và c a 2 ca .
Khi đó ta có một bài toán mới:
Bài 12: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
 a3 b3 c3 ab ab bc bc ca ca
Giáo viên đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào làm theo 
BM-SK02 Trang 12 hướng làm của bài tập 11 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như vậy mà phải áp 
dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức AM - GM. 
Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức AM - GM là đủ. Khi đó lời giải sẽ rất 
gọn gàng và thể hiện được linh hoạt, tính sáng tạo của học sinh.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:
 a3 b3 2ab ab
 b3 c3 2bc bc
 c3 a3 2ca ca
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:
 a3 b3 c3 ab ab bc bc ca ca
Dấu “=” xảy ra khi a b c.
Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a3 b3 ab a b (*) theo hướng sau:
 a3 b3 abc ab a b abc
 a3 b3 abc ab a b c 
 1 1
 a3 b3 abc ab a b c 
Tương tự ta có: 
 1 1
 b3 c3 abc bc a b c 
 1 1
 c3 a3 abc ca a b c 
Suy ra:
 1 1 1 1 1 1
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc ab a b c bc a b c ca a b c 
 1 1 1 1 a b c
 .
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc a b c abc
 1 1 1 1
 .
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
Ta có bài toán sau:
BM-SK02 Trang 13 Bài 13: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 .
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt đầu từ đâu. 
Tuy nhiên, bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết về bất đẳng thức. Các 
lời giải đều gọn gàng nhưng không tự nhiên. Sự hướng dẫn của giáo viên sẽ giúp 
cho học sinh thấy tự nhiên hơn và thấy bài toán “đơn giản” hơn. 
Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc 1. Ta có bài toán mới.
Bài 14: Cho a,b,c dương và abc 1. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 1.
 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1
 (Đề thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)
Khi sử dụng kết quả bài toán này ta sẽ chứng minh được bài toán sau đây: 
Bài 15: Cho a,b,c là các số dương và abc 1. Chứng minh rằng:
 ab bc ca
 1.
 a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca
Ta sẽ chứng minh:
 ab bc ca 1 1 1
 1
 a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1
 ab 1
bằng cách chứng minh: 
 a5 b5 ab a3 b3 1
 bc 1
 b5 c5 bc b3 c3 1
 ca 1
 c5 a5 ca c3 a3 1
 ab 1
Thật vậy, 
 a5 b5 ab a3 b3 1
 a5 b5 ab ab a3 b3 1 
 a5 b5 ab a3 b3 
 a5 b5 a4b ab4
BM-SK02 Trang 14 a b a4 – b4 0
 a b a2 – b2 a2 b2 0
 a b 2 a b a2 b2 0
Dấu “ ” xảy ra khi a b.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng thức, 
trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”
Bài 16: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:
 a3 b3 c3 a b c
 .
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm cách đánh giá a2 ab b2 ???
Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức 
 2
 a2 b2 a b 
 ab hoặc ab 
 2 2 
 a2 b2 3
Nếu sử dụng ab thì a2 ab b2 a2 b2 
 2 2
 a3 2a3
Suy ra 
 a2 ab b2 3 a2 b2 
 b3 2b3
Tương tự, ta có: 
 b2 bc c2 3 b2 c2 
 c3 2c3
 c2 ca a2 3 c2 a2 
Như vậy 
 a3 b3 c3 2a3 2b3 2c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 a2 b2 3 b2 c2 3 c2 a2 
Công việc tiếp theo của học sinh không hề đơn giản. Đến đây bài toán trở lên khó 
hơn rất nhiều.
Nên giáo viên hướng dẫn học sinh đi theo con đường khác: 
BM-SK02 Trang 15 Làm xuất hiện biểu thức a2 ab b2 từ bất đẳng thức a3 b3 ab a b * 
Ta có * 3a3 2a3 2a2b 2ab2 – ab2 – a2b – b3
 3a3 2a b a2 ab b2 
 a3
Không những tạo ra a2 ab b2 mà còn tạo ra được cả biểu thức .
 a2 ab b2
 a3 2a b
Như vậy .
 a2 ab b2 3
 b3 2b c
Tương tự ta có: 
 b2 bc c2 3
 c3 2c a
 c2 ca a2 3
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.
Bài tập khó như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bình thường! Điều đó giúp 
học sinh thấy tự tin hơn, chỉ cần bình tĩnh và chắc chắn kiến thức cơ bản là có thể 
làm được.
Đến đây giáo viên nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng làm trước đã 
thất bại. Sau khi chứng minh được thì hướng làm trước có thực hiện được không?
Ta đã có: 
 a3 b3 c3 2a3 2b3 2c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 a2 b2 3 b2 c2 3 c2 a2 
 2a3 2b3 2c3 a b c
Cần chứng minh: .
 3 a2 b2 3 b2 c2 3 c2 a2 3
Qua việc chứng minh bằng cách trên, chúng ta có ý tưởng gì chứng minh bài này?
Bằng cách tương tự, học sinh sẽ nghĩ ra:
 2a3 2a b
Chứng minh: 
 3 a2 b2 3
 2b3 2b c
 3 b2 c2 3
BM-SK02 Trang 16 2c3 2c a
 3 c2 a2 3
Đến đây thì thật đơn giản để chứng minh các bất đẳng thức này:
 2a3 2a b
Thật vậy: 
 3 a2 b2 3
 b b a 2 0 (đúng)
Dấu “ ” xảy ra khi a b.
Như vậy hướng làm đầu tiên vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải không 
đẹp. Tuy nhiên, điều đáng mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng thức chặt hơn bất 
đẳng thức cần chứng minh trong bài 16.
Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 16 ta có bài toán mới:
Bài 17: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 
 2a3 2b3 2c3
 a b c.
 a2 b2 b2 c2 c2 a2
Từ bất đẳng thức a3 b3 ab a b * ta có hướng phát triển khác:
 a3 b3 a2b ab2
 4 4
 b3 c3 b2c bc2
Tương tự ta có: 
 4 4
 c3 a3 c2a ca2
 .
 4 4
 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
Từ đó suy ra 
 4 4 4 4 4 4
 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2 b c b2 c a c2 a b 
 1 
 4 4 4 4 4 4
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số không âm, ta có
 a4 a2 b c a4 a2 b c 
 2 . a3
 b c 4 b c 4
 a4 a2 b c 
Như vậy a3 
 b c 4
BM-SK02 Trang 17 b4 b2 c a 
Tương tự: b3 
 c a 4
 c4 c2 a b 
 c3 
 a b 4
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều này ta có:
 4 4 4 2 2 2
 a b c 3 3 3 a b c b c a c a b 
 a b c 
 b c c a a b 4 4 4 
Kết hợp với 1 ta có một kết quả đẹp:
 4 4 4 3 3 3 3 3 3
 a b c 3 3 3 a b b c c a 
 a b c 
 b c c a a b 4 4 4 
Từ đó ta có bài toán tiếp theo:
Bài 18: Cho các số a,b,c dương. Chứng minh rằng: 
 a4 b4 c4 a3 b3 c3
 .
 b c c a a b 2
Chỉ qua một số kĩ thuật biến đổi cơ bản ta đã có một bất đẳng thức đẹp. Mặc dù 
biết được cách biến đổi để tạo ra bài 18 nhưng nếu học sinh không sâu sắc, yêu 
cầu chứng minh bài 18 cũng là một việc hết sức khó khăn đối với học sinh. Khi đến 
bài tập này, giáo viên cần cho học sinh thời gian để tư duy, nhớ lại một số bước 
khi biến đổi. Sau khi thực hiện được bài tập này thì học sinh trưởng thành rất 
nhiều kể cả tư duy và kĩ năng trình bày.
Nếu biến a3 b3 ab a b * theo cách giống như tạo ra bài 2 
thì * 4 a3 b3 a b 3 
 3
 a3 b3 a b 
 2 2 
 3
 2 2
 3 3
 a b a b
 3
 2c 2c3
 3 3
 a b a b
BM-SK02 Trang 18 3
 2a 2a3
Tương tự ta có: 3 3
 b c b c
 3
 2b 2b3
 3 3
 c a c a
 3 3 3
 a b c a3 b3 c3 
Suy ra: 8 2 3 3 2 3 3 3 
 b c c a a b b c c a a b 
Với nhiều học sinh bất đẳng thức Nesbit trở nên rất quen thuộc
 x y z 3
 x, y, z 0 
 y z z x x y 2
 3 3 3
 a b c 1 a3 b3 c3 1 3 3
Nên 3 3 2 3 3 3 . .
 b c c a a b 4 b c c a a b 4 2 8
Như vậy ta lại tạo ra được bài toán mới.
 3 3 3
 a b c 3
Bài 19: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 8
Có nhiều hướng khác nhau tổng quát bất đẳng thức (*) nhưng chủ yếu có hai 
hướng. Một là tổng quát số mũ; hai là tổng quát số hạng tử.
Hướng thứ nhất, ta có bài tập sau:
Bài 20: Cho a,b dương, n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
 an bn a b ab n 1 ** .
Thật vậy, với n 1 đẳng thức xảy ra.
Với n 2 , do vai trò a,b như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử a b.
Suy ra an 1 bn 1 . Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: 
 n 1 n 1
 a b a b n 1
 an bn a. an 1 b. bn 1 a b ab 
 2
(Bất đẳng thức đã được chứng minh)
Những bài toán tổng quát giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng ở mức độ cao 
hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tương đối khó. Thông thường 
tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc bằng phương pháp quy nạp 
không hoàn toàn. Đối với học sinh trung học cơ sở thì không yêu cầu học sinh đi 
BM-SK02 Trang 19