Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy cho học sinh qua bài toán hình học có nhiều cách giải

rèn luyện tư duy cho học sinh qua bài toán
hình học có nhiều cách giải
 GV: Tạ Quang Hưng
 Trường THCS Nghĩa Hưng –
Vĩnh Tường –Vĩnh Phúc.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy các bạn học sinh thường hạn chế trong tư duy linh hoạt khi giải toán ,đặc biệt khi gặp phải những bài toán hình học phải vẽ thêm hình phụ. Trong bài này tôi trao đổi cùng các bạn học sinh một phương pháp để rèn tư duy linh hoạt khi giải các bài toán hình học qua một số bài toán hình học có nhiều cách giải.
Bài toán 1: 
 Chứng minh rằng :Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường 
 phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân. 
 Lời giải:
Xét DABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác (Hình 1)
 A
 B M C
 (Hình 1)
Ta sẽ chứng minh DABC cân tại A,tức là: 
DABC phải có :AB=AC hoặc B=C .Như vậy ,ta có 
hai hướng để chứng minh DABC cân. 
 - Hướng 1: DABC có AB=AC.
 +Với kiến thức lớp 7,nếu sử dụng các trường hợp
bằng nhau của tam giác thì ta có các cách giải sau:
 Cách 1:(Hình 2 )
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=DM.
 A 
 B C
 M
 (Hình 2)
 D
 Khi đó : DABM=DDCM (c.g.c)
 vì MB=MC(gỉa thiết),BMA= CMD, AM=DM(cách vẽ)
Từ đó,suy ra:AB=DC (1); BAM=CDM(2).
 Mà BAM=CAM(gt) (3).
Từ (2);(3) suy ra: CDM =CAM . Do đó có DACD cân tại C
suy ra:AC=DC (4). Từ (1);(4) suy ra: AB=AC.(đpcm)
 Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng.
 Giả sử : AB >AC(Hình 3)
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AB tại F,cắt AC tại E .
 A
 C
 F 
 M E
 B (Hình 3)
Khi đó : DAFM=DAEM(g.c.g) vì BAM=CAM;
 AM chung; FMA=EMA=900.
Từ đó,suy ra: FM=CM (5)
Dễ thấy : DBMF=DCME(c.g.c) vì BM=CM(gt);
 BMF=CME; FM=EM (theo(5)).
Do đó ,suy ra: BFM=CEM, mà hai góc này là 
hai góc so le trong nên suy ra BF// CE. Điều này 
mâu thuẫn với BF và EC cắt nhau tại A.
Chứng tỏ điều giả sử là sai.
 Giả sử : AB <AC chứng minh tương tự, cũng dẫn đến mâu thuẫn. Chứng tỏ điều giả sử sai.
 A
 H C
 M
 B (Hình 4)
Vậy :AB=AC (đpcm).
 Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng .
 Giả sử :AB >AC (Hình 4)
Trên cạnh AB lấy điểm H sao cho AH=AC.
Khi đó : DAHM=DACM(c.g.c) vì AM chung;HAM=CAM;
 AH=AC(cách vẽ).
suy ra:AHM=ACM (6);MH=MC (7);
Mà MB=MC(gt) (8).Do đó,từ (7) và(8) suy ra: MB=MH
nên có DBMH cân tại M hay có MBH=MHB (9)
Từ (6);(9) ta có : B+C=MBH+ACM=MHB+AHM=1800(Hai góc kề bù)
 A
 (Hình 5)
 I K
 B M C
mâu thuẫn với DABC có:A+B+C=1800;A >00.Do vậy,điều giả sử sai.
 Giả sử: AB <AC chứng minh tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy AB=AC.(đpcm)
 Cách 4: (Hình 5)
Vẽ MI ^ AB, MK ^AC
Dễ thấy : MI=MK ( tính chất tia phân giác của một góc)
Khi đó :
 D vuông AMI=D vuông AMK (cạnh huyền –góc nhọn)
 suy ra: AI=AK (10)
 D vuông BMI=D vuông CMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
 suy ra: BI=CK (11)
 P
 A
 (Hình 6)
 B M C
 Từ (10);(11) ta có : AI+BI=AK+CK hay AB=AC .Vậy DABC cân tại A.
Với kiến thức lớp 8,ta có các cách giải sau.
 Cách 5: (Hình 6)
Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP=AB (12).
 Dễ thấy AM là đường trung bình của DCBP.
 do đó có AM //CP ị BAM=APC (hai góc đồng vị) (13)
 CAM=ACP(hai góc so le trong) (14)
 mà BAM=CAM (gt) (15)
 Từ (13),(14),(15) suy ra APC= ACP ị DACP cân tại A ị AP=AC (16)
 A
 (Hình 7)
 Q N C
 B M
 Từ (12),(16) ta có : AB=AC hay DABC cân.
 Cách 6 : (Hình 7).
 Chứng minh bằng phản chứng .
 Giả sử AB>AC .
 Trên cạnh AB lấy điểm Q sao cho AQ=AC.
 Gọi N là giao điểm của QC với AM.
Dễ thấy : DAQN=DACN (c.g.c) vì AQ=AC (cách dựng); QAN=CAN (gt); AN chung.
ị MN là đường trung bình của DQCB ị MN//BQ
suy ra QN=CN 
mà BM=CM (gt)
Điều này mâu thuẫn với QB và MN cắt nhau tại A.
 Giả sử :AB<AC chứng minh tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn.
 A
 B C
 (Hình 8)
 O
 Vậy AB=AC hay DABC cân.
 Cách 7:(Hình 8)
Trên tia đối của tia AM lấy điểm O sao cho : AM=OM
 Khi đó ABOC là hình bình hành.
 mặt khác AO là đường phân giác của góc BAC 
 nên ABOC là hình thoi ị AB=AC ịDABC cân.
 Cách 8:(Hình 5)
(Phương pháp diện tích )
 Từ hình 5 ,ta có DABM và DACM có chung đường cao hạ từ đỉnh A và có hai cạnh 
 đáy BM ,CM bằng nhau ,nên SABM=SACM (17)
 mà SABM=AB.MI ;SACM=AC.MK (18)
 Từ (17);(18) suy ra AB.MI =AC.MK hay AB.MI = AC.MK (19)
 Mặt khác MI=MK(tính chất tia phân giác của một góc )
 Do đó từ (19) suy ra AB=AC hayDABC cân.
 Cách 9: (Hình 1)
(Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác).
 Vì AM là đường phân giác của tam giác ABC nên có :
 mặt khác AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên MB=MC ị 
 từ đó có ị AB=AC hay DABC cân.
 - Hướng 2: DABC có B=C.
 Cách 10:(hình 5)
 Từ cách 4 ta có D vuông BMI=D vuông CMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 suy ra B=C hay DABC cân.
 Nhận xét : Qua bài toán này chúng ta thấy nếu khéo léo trong việc vẽ thêm hình 
 phụ và vận dụng kiến thức hợp lí ta có thể tìm được nhiều lời giải cho một bài toán.
Bài toán 2:
 Cho tứ giác lồi ABCD có B+D=1800,CB=CD .Chứng minh rằng AC là tia
 phân giác của góc A.
 B
 C
 (Hình 1)
A D E
Lời giải.
Để chứng minh AC là phân giác của góc A ta phải chứng
được một trong hai điều kiện sau :
A1=A2
C cách đều hai cạnh AB và AD.
11
2
Như vậy,ta có hai hướng để chứng minh AC là phân giác 
của góc A.
 Hướng 1: Chứng minh A1=A2.
 Ta có các cách giải sau.
 Cách 1 : Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho AB=DE(hình 1).
Theo bài ra,ta có ABC + CDA=1800. (1)
 Mặt khác : CDA + CDE= 1800(hai góc kề bù) (2)
Từ (1),(2) suy ra ABC=CDE.
 Dễ thấy DABC = DEDC (c.g.c) (Vì AB=DE (cách dựng), ABC=EDC (chứng minh 
 trên), CB=CD (gt))
 suy ra BAC = DEC hay A1= DEC (3)
 AC = EC do vậy DACE cân tại C ị CAE =CEA hay A2= DEC (4)
 B
 C 
 (Hình 2)
A D M
Từ (3),(4) ị A1=A2 .Do đó ta có Đpcm.
 Cách 2: (Hình 2) Trên tia đối của tia DA lấy
điểm M sao cho DDCM cân tại C.
Từ DDCM cân tại C ị CDM=CMD (5)
1
 Mà ADC+ CDM =1800 (hai góc kề bù) (6)
2
 ABC+ ADC =1800 (gt) (7) 
Từ (5),(6),(7) ị CMD =ABC hay
 CMA = ABC (8)
Từ DDCM cân tại C ị CM=CD , mà CD =CB (gt)ị CM=CB 
 Do đó DBCM cân tại C ị CMB =CBM (9)
 Từ (8) và (9) ta có CMA – CMB = ABC – CBM hay ABM =AMB 
 ị DABM cân tại A ị AB=AM .
 Do vậy có DAMC=DABC(c.c.c)( vì AC chung,CB= CM (chứng minh trên)
 AB= AM(chứng minh trên))
 B
 H
 C
A D K
 suy ra MAC=BAC hay A1=A2.Do đó có đpcm.
 Hướng 2: Chứng minh C cách đều cạnh AB và AD.
Cách 3: (Hình 3)
 Kẻ CH ^ AB ,CK ^ AD.
Ta có ADC+CDK =1800 (hai góc kề bù) ( 10)
 ABC+ADC=1800 (gt) (11)
 Từ (10),(11) suy ra CDK=ABC hay HBC =KDC 
 mà CB=CD (gt) Do đó Dvuông HBC= Dvuông KDC (cạnh huyền –góc nhọn)
suy ra CH=CK tức là C là điểm cách đều hai cạnh AB và AD.Do đó có đpcm.Bài toán 3: 
 Chứng minh rằng :Tứ giác lồi ABCD có A=B ,AD=BC thì tứ giác ABCD 
 D C 
 A B
 là hình thang cân.
Lời giải
Tứ giác ABCD là hình thang cân nếu ABCD là 
 hình thang và A=B.
Từ đó điểm mấu chốt để ABCD là hình thang cân là 
ta phải chứng minh được ABCD là hình thang;tức là 
 D 
 D’ C
 Hình 1
 A B
cần chứng minh AB//CD.
 Cách 1:(Hình 1)
Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại D’.
Khi đó ,dễ thấy ABCD’ là hình thang cân ị AD’=BC
mặt khác :AD=BC (gt) nên có AD=AD’ ị D trùng với D’.
Vậy ABCD là hình thang cân .
 D C
 Hình 2
 A B
 Cách 2:(Hình 2)
Từ hình 2 dễ thấy : DADB=DBCA (c.g.c) vì có AB chung;
 A=B(gt); AD=BC(gt).suy ra BD=AC 
DADC=DBCD (c.c.c) vì có DC chung; AD=BC (gt);
 BD=AC(Chứng minh trên).
Suy ra D=C.
Mà A+B+C+D=3600 do đó có 2(A+D)=3600 hay A+D=1800.
 D C
 A H K B 
 Hình 3
suy ra AB//CD.
 Cách 3:(Hình 3)
Hạ DH ^ AB; CK^AB ị DH//CK (1)
Dễ thấy : DHDA=DKCB(cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra DH=CK (2)
Từ (1);(2) ị DHKC là hình bình hành ị DC//HK 
 ị DC//AB.
 D C
 A E B
 Cách 4:(Hình 4)
Vẽ qua C đường thẳng song song với DA cắt AB tại E.
Từ CE//DA (1)ị E=A(2 góc đồng vị)
 mà A=B (gt) ị E=B ị DCBE cân tại C.
 G
 Hình 5
 D C
 A B
 suy ra CE=CB mà AD=BC (gt) nên có CE =AD (2)
Từ (1);(2) có ADCE là hình bình hành ị DC//AE
hay DC//AB .
 Cách 5:(Hình 5)
Nếu AD//BC thì ta có ABCD là hình bình hành ,mà A=B
ị ABCD là hình thang cân.
Nếu trái lại gọi G là giao điểm của AD và BC . 
Dễ thấy DGAB cân tại G (vì A=B)ịGA=GB ị GD+DA=GC+CB ;mà AD=BC(gt)
ị GD=GC ịDGCD cân tại G ị GCD=GDC .
D GAB và DGDC có chung đỉnh G nên ta có A+B=GDC+GCD ị 2A=2GDC 
hay A=GDC ị DC//AB.
Sau đây mời các bạn hãy giải các bài toán sau bằng nhiều cách .
Bài 1:
 Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC 
 và AD .Chứng minh rằng hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một 
 điểm thuộc cạnh đáy CD.
Bài 2: 
 Cho hình vuông ABCD ,E là một điểm nằm trong hình vuông sao cho 
 EBC=ECB=150.Chứng minh rằng tam giác AED là tam giác đều.
Bài 3:
 Cho tam giác nhọn ABC (AB ≠ AC) vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông 
 ABDE và ACGH .Gọi M là trung điểm của EH .Chứng minh rằng AM vuông góc
 với BC.
 ------------------------------Hết----------------------------------