Tài liệu bài tập Toán Lớp 9 - Các dạng Toán ôn thi vào Lớp 10 (Có lời giải)

Mục lục
Phần I Đại số
Chương 1. Căn bậc hai - Căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Các dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
. Dạng 1. Tìm căn bậc hai hoặc căn bậc hai số học của một số . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. Dạng 2. So sánh các căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
. Dạng 3. Tìm x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
√
A2 = |A| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Các dạng toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
. Dạng 4. Tìm điều kiện để
√
A xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng
√
A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. Dạng 6. Khai phương một tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. Dạng 7. Nhân các căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
. Dạng 8. Rút gọn, tính giá trị biểu thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
. Dạng 9. Phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. Dạng 10. Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i
ii
Mục lục
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. Dạng 11. Khai phương một thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. Dạng 12. Chia các căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
. Dạng 13. Rút gọn, tính giá trị biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
. Dạng 14. Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Biến đỗi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. Dạng 15. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. Dạng 16. Đưa thừa số vào trong dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
. Dạng 17. Khử mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
. Dạng 18. Trục căn thức ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
. Dạng 19. Rút gọn biểu thức không chứa biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
. Dạng 20. Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
. Dạng 21. Rút gọn biểu thức chứa biến và các câu hỏi phụ liên quan . . . . . . . . . 48
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7. Căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. Dạng 22. Tìm căn bậc ba của một số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. Dạng 23. So sánh các căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
. Dạng 24. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
. Dạng 25. Giải phương trình chứa căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8. Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Giáo viên: ....................................
iii
Mục lục
1. Rút gọn biểu thức không chứa căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
. Dạng 26. Rút gọn biểu thức không chứa căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
. Dạng 27. Bài toán phụ sau khi rút gọn biểu thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3. Rút gọn biểu thức chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
. Dạng 28. Tính giá trị của biểu thức khi biết x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
. Dạng 29. Tìm x để biểu thức thỏa mãn phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
. Dạng 30. Tìm x để biểu thức thỏa mãn bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
. Dạng 31. Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. Giải phương trình chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
. Dạng 32. Giải phương trình chứa căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
5. Luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6. Các bài toán nâng cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
7. Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9. Giới thiệu đề kiểm tra 1 tiết chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1. Đề số 1- Tự Luận cho HS đại trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2. Đề số 2: Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà . . . . 99
3. Đề số 3 - Dành cho HS Khá, Giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Chương 2. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1. Khái niệm hàm số. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
. Dạng 33. Biểu diễn điểm A(x0; y0) trên hệ trục tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
. Dạng 34. Nhận dạng hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
. Dạng 35. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
. Dạng 36. Tìm giá trị của x hoặc y khi biết giá trị còn lại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
. Dạng 37. Hàm số đồng biến và nghịch biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4. Luyện tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
5. Các bài toán nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2. Đồ thị hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
iv
Mục lục
1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ... 
· SI · pi · IB2 = 81pi
2
cm3.
3. Khối trụ có đáy là hình tròn (I, IB) chiều cao IO nên có thể tích là
V ′ = IO · pi · IB2 = 243pi
2
cm3.

} Bài 4. Một cái hộp hình trụ chứa vừa khít 4 quả ten-nít. Biết diện tích toàn phần của hộp là
597cm2. Tính đường kính và thể tích của mỗi quả ten-nít.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
647
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Gọi R là bán kính của mỗi quả ten-nít thì bán kính đáy hộp là R, chiều cao của trụ là 8R.
Ta có Sdttp = 2 · Sđáy + Sxq = 2piR2 + 2piR · 8R = 18piR2.
Ta lại có diện tích xung quanh đề bài cho là 597cm2 ⇒ R ≈ 3, 25cm.
Vậy V =
4
3
piR ≈ 4
3
pi · (3, 25)3 ≈ 144cm3. 
} Bài 5.
Cho hình vẽ bên. Tính tổng thể tích của các khối tạo thành khi quay
hình bên quanh trục BD.
B
C
A
F
E D
3
5
3
5
L Lời giải.
Tam giác ABC quay quanh trục BD sẽ tạo thành hình nón với bán kính đáy bằng cạnh AB và
đường cao là BC.
Thể tích hình nón này là
V1 =
1
3
pi · AB2 ·BC
=
1
3
pi · AB2 ·
√
AC2 −BC2
=
1
3
pi · 32 ·
√
52 − 32
= 12pi (đvtt).
Hình chữ nhật CDEF quay quanh trục BD sẽ tạo thành hình trụ với bán kính đáy bằng cạnh
DE và đường cao là CD.
Thể tích hình trụ này là
V2 = pi ·DE2 · CD
= pi · 52 · 3
= 75pi (đvtt).
Thể tính khối tạo thành khi quay hình trên quanh trục BD là
V = V1 + V2 = 87pi (đvtt).

} Bài 6. Một hình nón có đỉnh là tâm một hình cầu và có đáy là hình tròn tạo bởi một mặt
phẳng cắt hình cầu. Biết diện tích đáy hình nón là 144picm2 và diện tích xung quanh của nó là
180picm2. Tính thể tích phần không gian bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón.
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
648 4. Ôn tập chương IV
Tính bán kính đáy hình nón là
pi · IM2 · 144pi ⇔ r = IM = 12cm.
Tính đường sinh hình nón là
Sxq = 180pi ⇔ pi · r · l = 180pi ⇔ l = OM = 15cm.
Chiều cao hình nón là
h = OI =
√
OM2 − IM2 =
√
l2 − r2 = 9cm.
Tính hiệu thể tích giữa hình cầu và hình nón được
V = Vcầu − Vnón =
4
3
pi ·OM3 − 1
3
pi · IM2 · h = 4068picm3.
O
MN
I

} Bài 7. Tam giác đều ABC có độ dài cạnh là a, ngoại tiếp một đường tròn. Cho hình quay
một vòng xung quanh đường cao AH của tam giác đó, ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu.
Tính thể tích phần hình nón nằm ngoài hình cầu.
L Lời giải.
Gọi I là tâm của tam giác ABC. Bán kính hình cầu là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC, nghĩa
là IH.
Ta có AH2 = CA2 − CH2 = 3a
2
4
⇒ AH = a
√
3
2
.
Vậy R = IH =
1
3
· AH = 1
3
· a
√
3
2
=
a
√
3
6
.
Do đó thể tích hình cầu là Vc =
4
3
piR3 =
a3
√
3
54
(đvtt).
Thể tích hình nón là
Vn =
1
3
pi · AH ·HB2 = 1
3
pi · a
√
3
2
·
(a
2
)2
=
a3
√
3
8
(đvtt).
B C
I
A
H
Vậy phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là V ′ =
a3
√
3
8
− a
3
√
3
54
=
23a3
√
3
216
(đvtt). 
} Bài 8. Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn là 9 cm và bán kính đáy bé là 6 cm, chiều cao
bằng 4 cm.
1. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt.
2. Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó.
L Lời giải.
1.
Giáo viên: ....................................
649
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Kẻ CH ⊥ AB (tại H). Khi đó CH = OO′ = 4 (cm).
Mặt khác, HA = OA−OH = OA−O′C = 3 (cm).
Vậy l = CA =
√
CH2 +HA2 = 5 (cm).
Diện tích xung quanh hình nón cụt là
Sxq = pi(r1 + r2)l = 75pi.
O′
OH
A
C
B
D
2. Gọi giao điểm của OO′ và CA là S.
Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có
SO′
CO′
=
SO
AO
.
Gọi SO′ = x (cm) (x > 0) thì từ đẳng thức trên ta có
x
6
=
x+ 4
9
.
Giải phương trình này ta có nghiệm x = 8 (nhận).
Vậy chiều cao của hình nón sinh ra hình nón cụt đó là h = SO = SO′ +OO′ = 12 (cm).
Thể tích cần tìm là V =
1
3
pir2h =
1
3
pi · 92 · 12 = 324pi (đvtt).

} Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi là diện tích lần lượt là 6 cm và 2 cm2.
1. Tính thể tích và diện tích hình trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB.
2. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một khối cầu bán kính R. Tính R và phần thể tích giữa
hình trụ và khối cầu.
L Lời giải.
1.
Ta có®
2(AB + AD) = 6
AB · AD = 2 ⇔
®
AB + AD = 3
AB · AD = 2 ⇒
®
AB = 2 (cm)
AD = 1 (cm).
Thể tích của hình trụ
V = AB · piAD2 = 2pi (cm3).
Diện tích của hình trụ
S = AB · 2piAD + 2 · piAD2 = 4pi + 2pi = 6pi (cm2).
A
B C
D
2. Ta có bán kính khối cầu
R =
AB
2
= 1 (cm).
Thể tích khối cầu
V1 =
4
3
piR3 =
4pi
3
(cm3).
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
650 4. Ôn tập chương IV
Phần thể tích giữa khối trụ và khối cầu bằng
V − V1 = 14
3
pi (cm3).

} Bài 10. Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó và OA = a, OB = b. Vẽ hai tia
Ax,By vuông góc với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau tại O và lần lượt cắt Ax, By tại
C, D. Cho ĈOA = 30◦.
1. Tính tỉ số thể tích của các hình do tam giác AOC và BOD tạo thành khi quay hình này
quanh trục AB.
2. Giả sử B̂DC = 60◦. Tính thể tích hình nón cụt được tạo thành khi quay hình vẽ quanh trục
AB.
L Lời giải.
1.
Quay 4AOC quanh trục AB ta được hình nón có
+ Chiều cao h = OA = a.
+ Bán kính đáy r = AC = OA · tan 30◦ = a
√
3
3
.
Khi đó thể tích của hình nón này là
V1 =
1
3
pir2h =
pia3
9
.
Quay 4BOD quanh trục AB ta được hình nón có
+ Chiều cao h = OB = b.
+ Bán kính đáy r = BD = OB · tan 60◦ = b√3.
B
C
A O
D
30
◦
60
◦
Khi đó thể tích của hình nón này là
V2 =
1
3
pir2h = pib3.
Vậy thể tích cần tìm là
V1
V2
=
a3
9b3
.
2. Quay hình vẽ quanh trục AB ta được hình nón cụt có
+ Bán kính đáy lớn R = BD = b
√
3.
+ Bán kính đáy nhỏ r = AC =
a
√
3
3
.
+ Chiều cao h = AB = OA+OB = a+ b.
Suy ra thể tích của hình nón cụt cần tìm là
V =
1
3
pih
(
R2 + r2 + rR
)
=
1
3
pi(a+ b)
Å
3b2 +
1
3
a2 + ab
ã
.
Giáo viên: ....................................
651
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

} Bài 11. Cho hình thang vuông ABCD có Â = “D = 90◦, BC = 4 cm, CD = 2 cm, “B = 60◦.
Khi quay hình thang vuông ABCD quanh trục AD tạo thành một hình nón cụt.
1. Tính thể tích của hình nón cụt.
2. Cắt hình nón cụt trên bởi một mặt phẳng qua trục AD thì mặt cắt tạo thành là hình gì?
Tính diện tích của hình đó.
L Lời giải.
60
◦
D
K
L
B
C
A
H
I
1. Ta có r = CD = 2 (cm), R = AB, h = AD.
h = AD = sin 60◦ ·BC =
√
3
2
· 4 = 2√3 (cm).
R = AB = DC + cos 60◦ ·BC = 2 + 1
2
· 4 = 3 (cm).
Vậy V =
1
3
pih (r2 +R2 + rR) =
1
3
· pi · 2√3 · (22 + 32 + 2 · 3) = 38pi
√
3
3
(cm3) .
2. Cắt hình nón cụt trên bởi một mặt phẳng qua trục AD thì mặt cắt tạo thành là hình thang
cân có độ dài 2 đáy lần lượt là 2r và 2R và chiều cao là h.
Diện tích của hình thang này là
S =
h(2r + 2R)
2
= h(r +R) = 2
√
3 · (2 + 3) = 10
√
3 (cm2).

} Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi V1, V2, V3 theo thứ tự là thể tích của những hình
sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC,AB,AC. Chứng minh rằng
1
V 21
=
1
V 22
+
1
V 23
.
L Lời giải.
Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A. Khi quay ∆ABC quanh
cạnh BC, ta thu được hai hình nón có bán kính đáy chung là HA,
chiều cao lần lượt là HB và HC.
Thể tích của hình sinh ra là tổng thể tích hai hình nón này.
Vậy V1 =
1
3
pi(CH · AH2 +BH · AH2) = 1
3
piBC · AH2.
B
A C
H
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
652 4. Ôn tập chương IV
Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB, ta thu được
hình nón có bán kính đáy AC, chiều cao AB.
Vậy V2 =
1
3
piAB · AC2.
B
A C
Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC, ta thu được hình nón có bán
kính đáy AB, chiều cao AC. Vậy V2 =
1
3
piAC · AB2.
Do đó
1
V 22
+
1
V 23
=
9
pi2
· 1
AB2 · AC2 ·
Å
1
AB2
+
1
AC2
ã
=
9
pi2
· 1
AB2 · AC2 ·
1
AH2
=
9
pi2
· AB
2 + AC2
AB2 · AC2 ·
1
AH2
· 1
AB2 + AC2
=
9
pi2
·
Å
1
AB2
+
1
AC2
ã
· 1
AH2
· 1
BC2
=
9
pi2
· 1
AH2
· 1
AH2
· 1
BC2
=
9
pi2
· 1
AH4
· 1
AH2
· 1
BC2
=
1
V 21
.
B
C
A

} Bài 13. Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB.
1. Trên AB lấy điểm H sao cho
HA
HB
=
2
3
. Tính HA,HB theo R.
2. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O;R) tại M ; tiếp tuyến tại
M với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A,B lần lượt tai A′, B′. Chứng minh rằng tam
giác A′OB′ vuông và AA′ ·BB′ = R2.
3. Đặt AA′ = x;BB′ = y. Tính x, y theo R.
4. Cho nửa hình tròn (O;R) quay một vòng quanh cạnh AB được một hình có thể tích là V1;
cho hình thang vuông ABB′A′ quay quanh AB ta được một hình có thể tích là V2. Tính tỉ
số
V1
V2
.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
653
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
1. Ta có
HA
HB
=
2
3
⇒ HA
2
=
HB
3
=
HA+HB
5
=
AB
5
=
2
5
R
⇒

HA =
4
5
R
HB =
6
5
R.
A BOH
M
A′
B′
R
b) Hai tam giác OAA′ và B′BO có{
 = “B = 90◦
ÂOA′ = B̂B′O (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
.
Suy ra OAA′ v 4B′BO.
Do đó ÂA′O = B̂′OB.
Mà ÂA′O + Â′OA = 90◦.
Suy ra B̂′OB + Â′OA = 90◦.
Vậy Â′OB′ = 90◦ hay tam giác A′OB′ là tam giác vuông.
Mặt khác, do 4OAA′ v 4B′BO nên AA
′
BO
=
OA
BB′
⇔ AA′ ·BB′ = OA ·OB = R2.
Cách khác:
Gọi N là giao điểm của AM và OA′.
Ta có M̂AB =
1
2
sđA¯M .
Mà B̂′OB =
1
2
B̂OM =
1
2
sđA¯M .
Suy ra M̂AB = B̂′OB.
Tam giác vuông AON có
N̂AO + N̂OA = 90◦ hay M̂AB + Â′OA = 90◦.
Do đó B̂′OB + Â′OA = 90◦.
Suy ra Â′OB′ = 180◦ −
Ä
B̂′OB + Â′OA
ä
= 90◦.
Vậy tam giác A′OB′ là tam giác vuông.
Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông OA′B′, ta có OM2 = A′M ·B′M .
Mà theo tính chất của tiếp tuyến thì
®
AA′ = A′M
BB′ = B′M
.
Suy ra AA′ ·BB′ = OM2 = R2.
A BOH
M
A′
B′
N
R
c) Ta có OH = OA− AH = R− 4
5
R =
R
5
⇒MH = √OM2 −OH2 =
R2 −
Å
R
5
ã2
=
2
√
6
5
R.
⇒ AM = √MH2 + AH2 =
Â
2
√
6
5
R
å2
+
Å
4
5
R
ã2
=
2
√
10
5
R.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
654 4. Ôn tập chương IV
⇒ AN = AM
2
=
√
10
5
R.
⇒ ON = √OA24− AN2 = √R2 −Ç√10
5
å2
=
√
15
5
R.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA′, ta có
OA2 = ON.OA′ ⇒ OA′ = OA
2
ON
=
R2
√
15
5
R
=
√
15
3
R.
⇒ AA′ = x = √OA′2 −OA2 =
√Ç√
15
3
R
å2
−R2 =
√
6
3
R.
Mặt khác, ta đã chứng minh được
AA′ ·BB′ = R2 ⇒ BB′ = y = R
2
AA′
=
R2
√
6
3
R
=
√
6
2
R.
Vậy x =
√
6
3
R và y =
√
6
2
R.
d) Nửa hình tròn (O;R) quay một vòng quanh cạnh AB được hình cầu bán kính R có thể tích
là
V1 =
4
3
piR3.
Hình thang vuông ABB′A′ quay quanh AB được hình nón cụt với hai bán kính đáy lần lượt
bằng AA′, BB′ và chiều cao bằng AB có thể tích là
V2 =
1
3
pi · AB · (AA′2 +BB′2 + AA′ ·BB′)
=
1
3
pi · 2R ·
[Ç√
6
3
R
å2
+
Ç√
6
2
R
å2
+R2
]
=
19
9
piR3.
Vậy
V1
V2
=
12
19
.

Giáo viên: ....................................