Tài liệu ôn tập môn Hình học khối 9

HÌNH HỌC 
I. Bất đẳng thức và cực trị 
Trong chương trình trung học cơ sở thì những bất đẳng thức chúng ta gặp chỉ xoay 
quanh các yếu tố của tam giác như ba cạnh , ,a b c , chu vi p , bán kính đường tròn nội 
tiếp, ngoại tiếp ,r R  và các yếu tố độ dài trong một đường tròn. 
Để nắm bắt rõ điều này, tôi sẽ bổ sung một số hệ thức lượng trong tam giác mà một số 
hệ thức mà các bạn có thể chưa gặp trong chương trình học cấp 2, tuy nhiên đây là các 
hệ thức rất cơ bản trên cấp 3 
i) Hệ thức về diện tích tam giác 
( ) ( )( ) ( )1 1 sin
2 2 4a a
abcS ah pr bc A p a r p p a p b p c
R
= = = = = - = - - - 
ii) Hệ thức về hàm số sin, cos, trung tuyến, phân giác trong, phân giác ngoài, đường 
cao 
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 cos
2 sin
2 2 1
4
2 cos
2 2
1 1 1 1
a
a
a b c
b c bc A a
a R A
b c am
Abc
l
b c
h h h r
+ - =
=
+ -
=
=
+
+ + =
Trong các hệ thức trên, hầu hết là quen thuộc với các bạn nên tôi sẽ chỉ chứng minh 
hệ thức (1) và (2). Chứng minh như sau 
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam 
giác ABM với góc B ta có 
2 2 2
2
2 2
2 cos
2 2 cos 2
2 a
a c ac B b
ac ac B m
ì + - =
ï
í
+ - =ïî
Trừ hai vế đẳng thức với nhau ta có 
2 2 2
2 2 2
4a
b c am + -= 
Đối với hệ thức (2) áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác ,ABD ACD ta được 
1 sin
2 2
1 sin
2 2
ABD a
ACD a
AS cl
AS bl
ì =ïï
í
ï =
ïî
Mặt khác ( )
2 cos1 1 2sin sin
2 2 2ABD ACD a a
AbcAS bc A S S l b c l
b c
= = + = + Þ =
+
am 
ah al 
a 
b 
c 
A 
C B M D 
iii) Một số hệ thức đặc biệt khác 
Với O là điểm bất kì trên mặt phẳng thì ( )2 2 2 2 2 2 23 9OA OB OC OG a b c+ + = + + + 
với G là trọng tâm tam giác 
Chứng minh 
Áp dụng hệ thức trung tuyến cho các tam giác , , ,OAD OGD OBC GBC ta được 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 4
4 2 2
2 2 4
4 2 2
OA OD OG AD
OM GD OG OD
OB OC OM BC
GM BC GB GC
+ = +
+ = +
+ = +
+ = +
Cộng bốn đẳng thức trên lại vế theo vế ta có 
2 2 2 2 2 2 23OA OB OC OG GA GB GC+ + = + + + (*) 
Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy ra 
2 2 2
2 2 2
3
a b cGA GB GC + ++ + = 
Thế vào (*) ta có ( )2 2 2 2 2 2 23 9OA OB OC OG a b c+ + = + + + 
Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau 
2 2 2 2 2 2 2 2 29 9 9R OG a b c R a b c= + + + Þ ³ + + (**) 
Trước hết, chúng ta có một bài toán cơ bản là điều kiện tương đương để ba số dương 
là ba cạnh một tam giác. Điều kiện như sau: 
, , 0a b c > là ba cạnh tam giác , , 0 :
a y z
x y z b x z
c x y
= +ì
ïÛ $ > = +í
ï = +î
Chứng minh 
Điều kiện cần: 
Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC , khi đó, , ,x y z là các đoạn 
được biểu diễn trên hình 
Điều kiện đủ: 
Với 
a y z
b x z
c x y
= +ì
ï = +í
ï = +î
 ta dễ dàng chứng minh , ,
a b c
b c a a b c
c a b
+ >ì
ï + > Þí
ï + >î
 là ba 
cạnh tam giác 
Rõ ràng điều kiện trên là rất đơn giản nhưng lại rất hữu dụng, các bạn sẽ có thể nhìn 
một bất đẳng thức hình học dưới cái nhìn đại số và không bị ràng buộc bởi cái yếu tố 
cạnh của tam giác nữa. Ta hãy xét một vài ví dụ 
· Các bất đẳng thức chỉ chứa yếu tố các cạnh tam giác 
Cho , ,a b c là ba cạnh tam giác. Chứng minh 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
22 2 2
[1] 2
[2] 2
[3] 3
1 1 1 1 1 1[4] 2
a b c ab bc ca
a b c a b c
ab a b bc b c ca c a abc
p a p b p c a b c
+ + < + +
+ + < + +
+ + + + + >
æ ö+ + ³ + +ç ÷- - - è ø
A 
B C 
D 
O 
M 
G 
x x 
y 
y z 
z 
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
[5] 2
3[6] 
2
[7] 2
[8] 
3[9] 2 
1[10] 4 1
2
[11] 
a b c a b c
p a p b p c
a b c
p a p b p c
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
a b c a b c a b c abc
a b c abc
b c c a c a a b b c c a
a b c abc a b c
p p a
+ + ³ + +
- - -
+ + ³
- - -
+ + ³ + +
+ - + - + -
+ - - + - + + £
+ + + <
+ + + + + +
+ + + < + + =
< -
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3
[12] 2 2 2 0
[13] 0
[14] 0 
[15] 1 
[16] 
p b p c p
ab a b c bc b c a ca c a b
a b c b c a c a b
a b a b b c b c c a c a
a b c a c b
b c a c b a
a b b c c a
a b b c c
+ - + - £
+ - + + - + + - ³
- + - + - ³
- + - + - ³
+ + - - - <
- - -
+ +
+ + +
1 
8a
<
Các bất đẳng thức trên đây, phần lớn đều có thể giải được bằng cách sử dụng điều 
kiện tương đương trên, các bạn có thể tự làm, chỉ trừ bất đẳng thức [9] [12] [15] [16], 
trong các bất đẳng ở trên tôi chỉ giải một vài bất đẳng thức mà tôi thấy khó hơn cả 
 [10] ( )2 2 2 14 1
2
a b c abc a b c+ + + < + + = 
Bất đẳng thức trên tương đương (sử dụng điều kiện tương đương) 
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 14
2
x y y z z x x y y z z x+ + + + + + + + + < với 1
2
x y z+ + = 
Để cho hai vế của bất đẳng thức trên cùng bậc (*) ta nhân thêm các lượng như sau 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3
32 2 2 2 2 2 2 2 2
12 4 8
2
0 3
x y z x y y z z x x y y z z x x y z
x y z x y z xy yz zx x y x z y x y z z x z y x y z
xyz
é ù+ + + + + + + + + + + < + +ë û
Û + + + + + + + + + + + + + < + +
Û <
[9] 
( ) ( ) ( )
3 2 a b c abc
b c c a c a a b b c c a
+ + + <
+ + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
0
a a b a c b b c b a c c a c b abc a b b c c a
b c a c a b a b c
Û + + + + + + + + + < + + +
Û + - + - + - >
[15] 1 a b c a c b
b c a c b a
+ + - - - < và 1 
8
a b b c c a
a b b c c a
- - -
+ + <
+ + +
Chú ý rằng 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b b c c aa b c a c b
b c a c b a abc
a b b c c aa b b c c a
a b b c c a a b b c c a
- - -
+ + - - - =
- - -- - -
+ + =
+ + + + + +
ta có đpcm 
· Các bất đẳng thức có liên quan đến các yếu tố khác ( ), , , , , ...m l h R r S 
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
9 2
1 1 1 1 1 1 3
2
 4
2 3
2 3 , , 0 5
9
a b c a b c
a b c a b c
a
r r r h h h r
l l l h h h
R r
a b c am
p q ra b c S p q r
q r r p p q
R a b c
+ + ³ + + ³
+ + > + +
³
+ +
³
+ + ³ >
+ + +
³ + +
Độ mạnh của bất đẳng thức 
Tại sao chúng ta phải nhắc đến điều này, thực ra có quá nhiều bất đẳng thức mà tôi 
không thể liệt kê ra hết được nhưng chúng ta không cần biết hết mà chỉ cần nhớ 
những bất đẳng thức mạnh mà thôi, vậy thì một bất đẳng thức A gọi là mạnh hơn bất 
đẳng thức B khi nào, khi từ A có thể suy ra B. 
Chẳng hạn như trong một dãy những bất đẳng thức liên quan đến ba cạnh , ,a b c và 
diện tích S thì bất đẳng thức 2 2 2 29R a b c³ + + là rất mạnh, thật vậy, ta có 
( )22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
39 9
16 4
abc abcR a b c a b c S
S a b c
³ + + Û ³ + + Û ³
+ +
 (*) 
Ta hãy so sánh (*) với các bất đẳng thức sau 
( )
( )
2 2 2
2
3
12
4
3 3
a b c S
a b c
S
+ + ³
+ +
³
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
23
2 2 2
2 2 2 2 2
3
4
2
 1
4 3
abc S
ab bc ca a b c
S
a p b p c b p c p a c p a p b p R
³
+ + - - -
³
- - + - - + - - £
Đối với ba bất đẳng thức đầu, dễ thấy vế trái của chúng lớn hơn vế trái của (*) nên (*) 
mạnh hơn ba bất đẳng thức đó. Ta cũng có thể dùng (*) để chứng minh bất đẳng thức 
cuối. Việc xét xem giữa (*) và (1) bất đẳng thức nào mạnh hơn là một điều khó khăn 
nhưng ta có thể chứng minh (1) khá ngắn gọn bằng cách sử dụng điều kiện tương 
đương. Khi đó 
( ) ( )1 4 4 3xy yz zx SÛ + + ³ 
( ) ( )2 3xy yz zx xyz x y zÛ + + ³ + + 
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 0
x y y z z x xyz x y z
x y z y z x z x y
Û + + ³ + +
Û - + - + - ³
 Bất đẳng thức (2) quá quen thuộc, ta sẽ không chứng minh, còn với (3) và (4) thì 
chỉ cần áp dụng công thức tính ,a am l ta sẽ thu được kết quả. 
 Bất đẳng thức 2R r³ là một bất đẳng thức quan trọng và chắc các bạn cũng biết 
đến lời giải hình học của nó, nhưng tôi sẽ đưa ra một chứng minh khác chỉ bằng các 
hệ thức lượng và các bất đẳng thức đã nêu 
( ) 242
4 16
a b c abcabc SR r S
S a b c
+ +
³ Û ³ Û ³
+ +
Chứng minh vế trái của bất đẳng thức trên lớn hơn bình phương vế trái của (*) là đơn 
giản, từ đó ta chứng minh được 2R r³ 
 Xét bất đẳng thức (5) 
Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta có 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
2
22 2 2 2 2 2
2
1 2
2
a b c q r r p p q a b c
q r r p p q
a b c p q r a b c
q r r p p q
p q ra b c a b c a b c
q r r p p q
æ ö
+ + + + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø
æ ö
Þ + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø
é ù+ + ³ + + - + +ë û+ + +
Ta cần chứng minh tiếp vế phải lớn hơn 2 3S , chính là bất đẳng thức (1) 
· Các bất đẳng thức hình học thuần túy 
Trong phần này tôi sẽ trình bày những bất đẳng thức hình học “thuần túy” theo nghĩa 
là khi chứng minh chúng ta hầu như chỉ cần những kiến thức đơn giản nhất về hình 
học mà không phải dùng đến những thứ “cao siêu” như phương tích, hệ thức lượng 
[1] Cho đường tròn bán kính 1 và n điểm 1 2, ,..., nA A A không cùng nằm trên một 
đường thẳng. Khi đó trên đường tròn có thể chọn được điểm M để 
1 2 ... nMA MA MA n+ + + ³ 
[2] Nếu một đa giác lồi nằm bên trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác lồi bên 
ngoài không nhỏ hơn chu vi của đa giác trong. 
[3] Trong một tam giác không cân, đường phân giác al luôn nằm giữa đường cao ah 
và đường trung tuyến am 
[4] Nếu qua trọng tâm G của tam giác ABC vẽ đường thẳng cắt các cạnh của tam 
giác tại ,M N thì ta có bất đẳng thức 2OM ON³ 
[5] Cho tam giác ABC có cạnh a b c> > và một điểm O nằm trong tam giác. 
, ,P Q R lần lượt là giao điểm các đường thẳng , ,AO BO CO với ba cạnh tam giác. Ta 
có OP OQ OR a+ + < 
[6] Nếu M là điểm nằm trên đường phân giác ngoài của góc C trong tam giác 
( ) ABC M Cº thì MA MB CA CB+ > + 
[7] Nếu một tam giác nhọn đặt được vào trong một đường tròn thì bán kính đường 
tròn đó không nhỏ hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
[8] Nếu các đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên các cạnh khác nhau của hình vuông 
cạnh 1 thì chu vi của nó không nhỏ hơn 2 2 
· Cực trị hình học 
[1] Trong tất cả các tam giác có cạnh a và đường cao ah cho trước, tìm tam giác có 
góc A nhỏ nhất 
[2] Trong tất cả các tam giác có các cạnh ,AB AC có độ dài cho trước, tìm tam giác 
có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất 
[3] Tìm bên trong ABC một điểm O sao cho tổng bình phương khoảng cách từ 
điểm đó đến các cạnh của tam giác là nhỏ nhất 
[4] Cho góc XAY và một điểm O nằm trong góc đó. Hãy kẻ qua một đường thẳng 
cắt ra từ góc đó một tam giác có diện tích lớn nhất 
[5] Bên trong góc nhọn BAC cho một điểm M . Tìm trên các cạnh ,AB AC các điểm 
,X Y sao cho chu vi tam giác XYM là nhỏ nhất 
[6] Từ điểm M trong tam giác ABC cho trước hạ các đường vuông góc 
1 1 1, ,MA MB MC xuống các đường thẳng , ,BC CA AB . Với vị trí nào của M trong 
ABC đại lượng 
1 1 1
a b c
MA MB MC
+ + có giá trị nhỏ nhất 
[7] Cho tam giác đều ABC cạnh 10 và M là điểm thỏa mãn 9MB MC+ = . Tìm max 
MA 
II. Các bài toán “kinh điển” và bài tập 
Bài toán con bướm 
Qua trung điểm M của dây PQ của ...  
yêu cầu riêng biệt với nhau và thật chính xác. Nếu ba điểm đó thẳng hàng thì dứt 
khoát quĩ tích phải là đường thẳng, đoạn thẳng hoặc tia. Nếu chúng không thẳng hàng 
thì quĩ tích phải là đường tròn hoặc cung tròn. Từ đó, bạn đã có được một định hướng 
tương đối tốt cho lời giải của bài toán 
 Sau đây là những bài tập cho các bạn, tất cả đều là những bài mà tôi cho là cơ bản, 
hoặc hay và lạ nên bài nào bạn cũng nên suy nghĩ thử ít nhất là một lần, không nhất 
thiết là bạn phải làm cho ra, chỉ cần là bạn đã bỏ thời gian để suy nghĩ về nó 
[1] Quĩ tích những điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng cho trước là 0k > 
[2] *Trên mặt phẳng cho hai điểm ,A B cố định. Quĩ tích những điểm M thỏa mãn 
hệ thức : 0MA MB k= > 
 Với 1k ¹ , quĩ tích là một đường tròn và được gọi là đường tròn Apolonius 
 Với 1k = , quĩ tích là một đường thẳng 
[3] Quĩ tích những điểm X thỏa mãn bất đẳng thức XA XB XC£ £ 
[4] *Cho điểm O cố định và hình H , điểm M di động trên hình H , tìm quĩ tích 
những điểm N nằm giữa ,O M và chia đoạn OM theo tỉ số ( ): , 0a b a b > 
[5] Cho A Bº cố định. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn 2 2 0MA MB k+ = > 
Gợi ý: Sử dụng công thức đường phân giác 
[6] Cho A Bº cố định. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn 2 2MA MB k- = 
[7] *Cho hai đường tròn ( ) ( ), 'O O phân biệt. Quĩ tích những điểm có phương tích 
(*) đến hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng và được gọi là trục đẳng 
phương của hai đường tròn 
Định nghĩa phương tích 
Phương tích của một điểm đến một đường tròn là một giá trị đại số và được tính bằng 
công thức ( )
2 2
/M OP OM R= - 
Phương tích của điểm M đối với đường tròn ( )O đặc trưng cho vị trí tương đối của 
M đối với ( )O . Cụ thể là những điểm cùng nằm trên một đường tròn tâm O thì có 
cùng phương tích. 
Đối với điểm M nằm ngoài ( )O thì ( )/M OP chính là độ dài đoạn MN với N là tiếp 
điểm của tiếp tuyến của ( )O qua M . Đối với điểm M nằm trong ( )O thì ( )/M OP là 
phần bù của tích .MN MP với NP là dây cung bất kì của ( )O qua M 
[8] Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không cắt nhau và không chứa nhau. Tìm 
quĩ tích những điểm M có tính chất là đường thẳng bất kì qua M đều cắt ít nhất là 
một trong hai đường tròn trên 
Gợi ý: Hãy vẽ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn và xét các miền của mặt phẳng 
được tạo thành 
[9] *Cho hai điểm ,P Q chuyển động đều, vận tốc v theo hai đường thẳng cắt nhau 
tại điểm O . Chứng minh rằng trên mặt phẳng tồn tại một điểm A cố định mà khoảng 
cách từ đó đến các điểm ,P Q lúc nào cũng bằng nhau 
[10] Các điểm , ,A B C có tính chất là: với mọi điểm M luôn có hoặc MA MB£ hoặc 
MA MC£ . Chứng minh rằng điểm A nằm trên đoạn BC 
[11] *Cho đường tròn và điểm P nằm trong đường tròn đó. Qua mỗi điểm Q của 
đường tròn ta kẻ tiếp tuyến. Đường vuông góc hạ từ tâm của đường tròn xuống đường 
thẳng PQ cắt tiếp tuyến tại điểm M . Tìm tập hợp các điểm M 
Gợi ý: Quĩ tích là đường thẳng vuông góc với OP 
[12] ,A B là hai điểm cố định trên đường tròn, M là điểm thay đổi trên đường tròn đó. 
Trên mỗi đường gấp khúc AMB định ra một điểm K gọi là trung điểm của nó. Tìm 
tập hợp các điểm K (bài toán Archideme) 
Gợi ý: Kéo dài AM một đoạn MN MB= . Khi đó K là trung điểm MN và MNB = 
½ AMB không đổi. Cần nhớ phải xét cả hai cung AB lớn và nhỏ 
[13] Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp tâm hình chữ nhật nội tiếp tam giác có một 
cạnh nằm trên cạnh BC của tam giác 
Gợi ý: Quĩ tích là đoạn thẳng nối trung điểm đường cao tại A và trung điểm BC 
[14] Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm ,A B . Qua điểm A kẻ một cát tuyến cắt các 
đường tròn tương ứng tại các điểm ,P Q . Hỏi trung điểm PQ sẽ vẽ nên đường gì khi 
cát tuyến quay quanh điểm A 
[15] *Cho ( ),O R và một điểm A cố định, vẽ cát tuyến di động cắt ( )O tại ,M N . 
Tiếp tuyến tại ,M N cắt nhau tại E . Tìm quĩ tích E 
[16] *Cho ( ),O R và một dây AB cố định, M là điểm di động trên ( ),O R . Trên tia 
AM ta lấy điểm N sao cho AN kBM= . Tìm quĩ tích N 
[17] Cho parabol 2y x= . Tìm quĩ tích những điểm nằm trên mặt phẳng sao cho từ đó 
ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến vuông góc với parabol. 
Gợi ý: Quĩ tích là đường thẳng 1
4
y = - 
[18] *Cho tam giác ABC , M là điểm di động trên đoạn AB , kéo dài AC một đoạn 
CN BM= . Tìm quĩ tích trung điểm MN 
[19] *Cho ( ),O R và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến PA và cát 
tuyến PBC bất kì ( )( ), ,A B C OÎ . Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Tìm quĩ tích 
trực tâm H đó 
Những bài tập tôi đánh dấu (*) là những bài tôi cho là quan trọng nhất, dễ ra thi nhất. 
Vì vậy, tôi sẽ trình bày lời giải hoặc đưa ra gợi ý cho những bài tập đó 
[2] Xét 1k ¹ . 
Thuận. Giả sử M là điểm thoả hệ 
thức đề bài và không nằm trên 
đường thẳng AB . Vẽ hai phân giác 
trong và ngoài ,MX MY . Ta có 
 090XMY = . 
Theo tính chất đường phân giác thì 
,XA YA MA k X Y
XB YB MB
= = = Þ cố định 
MÞ thuộc đường tròn đường kính XY cố định. Với M nằm trên đường thẳng AB 
thì M Xº hoặc M Yº . 
Đảo. Chọn điểm M bất kì thuộc đường tròn đường kính XY . Ta sẽ chứng minh M 
cũng là một điểm thỏa tính chất của đề bài. Từ A , vẽ đường thẳng song song với MY 
cắt ,MX MB lần lượt tại ,I D . Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADB , ta có 
1IA XB MD
ID XA MB
= . Lại có MD YA IA IB MX
MB YB
= Þ = Þ là phân giác AMB Þ đpcm 
[4] Bài toán là một ứng dụng cơ bản của phép vị tự 
Sơ lược về phép vị tự 
Thông thường thì khi định nghĩa phép vị tự phải 
dùng đến kiến thức về vector, nhưng đối với các bạn 
cấp 2 thì điều này là chưa thật cần thiết. Vì vậy, tôi 
sẽ trình bày sơ lược về phép biến hình này một cách 
đơn giản và dễ hiểu nhất có thể. 
Cho hai hình H và 'H và một điểm O trên mặt 
phẳng. Khi đó ta nói phép vị tự tâm O biến tỉ số 0k > biến hình H thành hình 'H 
khi và chỉ khi với mỗi điểm M thuộc hình H tồn tại duy nhất một điểm 'M thuộc 
'H sao cho 'M Î tia OM và ' :OM OM k= . 'H được gọi là ảnh của H qua phép 
vị tự tâm O tỉ số k 
Từ định nghĩa trên ta có quĩ tích của N là ảnh của H qua phép vị tự tâm O tỉ số 
( ):a a b+ 
Lưu ý. 
Qua phép vị tự thì đường tròn biến thành đường tròn, đường thẳng biến thành 
đường thẳng. 
Khi gặp một bài toán yêu cầu tìm quĩ tích điểm M mà ta luôn có quan hệ giữa 
điểm M và điểm N nào đó cũng di động như tia AM luôn cùng hướng với BN , 
AM kBN= với ,A B là hai điểm cố định, ta có thể chuyển việc tìm quĩ tích điểm M 
thành việc tìm quĩ tích điểm N , sau đó suy ngược lại quĩ tích M bằng phép vị tự 
Bài [19] cũng sử dụng phép vị tự để giải, đầu tiên là tìm quĩ tích điểm đối xứng 
của O qua BC 
M 
B A Y X 
D 
I 
O H 'H 
Bài [9] và [18] sử dụng phép quay 
Sơ lược về phép quay 
Phép quay tâm O theo góc 0 00 180f< < là một phép biến hình trên mặt phẳng, 
biến điểm X thành điểm 'X thỏa mãn điều kiện 'OX OX= và góc quay từ OX tới 
'OX bằng f theo chiều ngược kim đồng hồ 
Qua phép quay đường tròn biến thành đường tròn bằng nó, đoạn thẳng biến thành 
đoạn thẳng bằng nó và góc giữa hai đường thẳng chứa hai đoạn bằng góc quay. 
Dấu hiệu để các bạn nhận biết bài toán quĩ tích giải bằng phép quay là có hai 
đoạn AB và CD nào đó sau các phép biến đổi bằng nhau. Nếu thật sự là phép quay 
thì tâm quay chính là giao điểm của trung trực ,AC BD và thông thường tâm quay là 
cố định. 
Bài [16] sử dụng phép quay, sau đó vị tự 
[15] Thuận.Vẽ hai tiếp tuyến ,AX AY với ( )O . Gọi H là trung điểm 
MN OH MNÞ ^ . Kéo dài OH cắt XY 
tại 'E . Dễ thấy AXHOY nội tiếp đường 
tròn đường kính OA 
( )'/' . ' ' . ' E OE X E Y E H E O PÞ = = 
' ', ' 'E M E N là hai tiếp tuyến tới ( )O 
( )
2
'/' ' ' ' ' ' '. 'E OM H E O P E M E H E O^ Þ = =
Từ đó ta có ' ' 'E H E H= . Mà , 'H H nằm 
cùng phía đối với điểm 'E nên 'H Hº 
Suy ra ', ' 'M M N N E Eº º Þ º 
EÞ thuộc đường thẳng XY cố định 
Giới hạn. Đường thẳng XY trừ ( )XY 
( )UV chỉ đoạn UV trừ hai đầu mút 
Đảo. Gọi 0E là điểm bất kì thuộc phần giới hạn của đường thẳng XY . Vẽ hai tiếp 
tuyến 0 0 0 0,E M E N với ( )O . Chứng minh hoàn toàn tương tự phần thuận ta có 
0 0, ,A M N thẳng hàng Þ 0E là một điểm thỏa yêu cầu bài toán 
Kết luận. Quĩ tích E là phần giới hạn của đường thẳng XY . 
IV. Chứng minh các tính chất hình học khác 
· Thẳng hàng 
[1] Cho tam giác ABC và , ,U V W là ba điểm 
thẳng hàng lần lượt thuộc các đường thẳng 
, ,BC CA AB . Chứng minh rằng trung điểm các 
đoạn , ,AU BV CW thẳng hàng 
Gợi ý: Vẽ các đường phụ như trên hình và 
chứng minh thẳng hàng bằng định lý Menelaus 
[2] Đường tròn đường kính ,BV CW cắt nhau tại hai điểm có đoạn nối đi qua trực 
tâm H của ABC . 
Tương tự, các cặp đường tròn đường kính ,AU BV và ,AU CW cũng cắt nhau tại hai 
điểm có đoạn nối đi qua trực tâm H 
A 
M 
N 
'E 
O 
X Y 
H 
. . . 
A 
B C 
V 
U 
W 
[3] Trực tâm của 4 tam giác , , ,ABC BZX CXY AYZ thẳng hàng 
Gợi ý: Sử dụng câu [2] 
[4] Định lý Pappus 
Nếu , ,A C E là ba điểm nằm trên một đường thẳng, 
, ,B D F nằm trên đường thẳng khác. Nếu ba đường 
thẳng , ,AB CD EF lần lượt cắt , ,DE FA BC thì ba 
giao điểm thẳng hàng 
Gợi ý: Giả sử rằng ba đường thẳng , ,AB CD EF tạo 
thành ta giác UVW rồi áp dụng định lý Menelaus cho 
các cát tuyến thẳng hàng sau , ,LDE AMF BCN , 
,ACE BDF . Sử dụng các đẳng thức hợp lý, ta sẽ có hệ thức để chứng minh , ,L M N 
thẳng hàng theo định lý Menelaus đảo 
[5] Cho ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc ,AB AC tại ,Q R . Cho 
{ }BO QR PÇ = . Gọi ,M N là trung điểm ,AC BC . Chứng minh rằng , ,M N P thẳng 
hàng 
· Đồng qui 
[1] Với hình vẽ như bài [1] phần thẳng hàng, hãy chứng minh đường tròn đường kính 
, ,AU BV CW đồng qui tại hai điểm có đoạn nối đi qua trực tâm H 
[2] Cho hình vuông ABCD và M là điểm bất kì nằm trong hình vuông. Từ 
, , ,A B C D ta vẽ ' , ' , ' , 'AA MB BB MC CC MD DD MA^ ^ ^ ^ . Chứng minh rằng 
', ', 'AA BB CC và 'DD đồng qui 
Gợi ý: Sử dụng phép quay 
[3] Cho tam giác ABC . Dựng ra phía ngoài 2 hình vuông ,ACKJ BCGI . Chứng minh 
rằng ,BJ AI và đường cao đỉnh C đồng qui 
[4] Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Từ , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh 
, , ,AB BC CD DA ta vẽ các đường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng. 
Chứng minh rằng các đường thẳng này đồng qui. 
Chứng minh rằng điểm này còn là điểm đồng qui của các đường thẳng Simson của 
bốn đỉnh đối với tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại 
[5] Cho ( )O cắt ba cạnh , ,AB BC CA lần lượt tại 1 2 1 2 1 2, , , , ,C C A A B B . Chứng minh 
rằng nếu các đường thẳng vuông góc , ,AB BC CA tại 1 1 1, ,C B A đồng qui thì các 
đường thẳng vuông góc với các cạnh tại 2 2 2, ,C B A cũng đồng qui ( dùng phép đối 
xứng tâm) 
[6] Cho tam giác ABC , , ,U V W lần lượt thuộc các đường thẳng , ,BC CA AB . Khi đó 
các đường vuông góc với , ,BC CA AB tại , ,U V W đồng qui 
2 2 2 2 2 2AW BU CV AV CU BWÛ + + = + + 
C 
D B 
A 
E 
F 
M 
N L