Tài liệu ôn tập và luyện thi môn Toán vào Lớp 10 (Phần Đại số +Hình học) - Cao Khắc Dũng

CHUYÊN ĐỀ 1:
ĐẠI SỐ:
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC:
I/ VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
*Các kiến thức cần nhớ:
	+ Hằng đẳng thức đáng nhớ
	+ Điều kiện để căn thức có nghĩa và 
	+ Các phép tính về căn thức: cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa.
	+ Các phép biến đổi đơn giản căn thức
	+ Công thức căn phức tạp: 
 (với a, b > 0 và a2 – b > 0 )
Bài 1: Phân tích các biểu thức sau thành luỹ thừa bậc hai
a/ ;	b/ ;	c/ ;	d/ .
e/ ;	f/ 
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau
	a/ ;	b/ 
Bài 3:
	a/ b/ 
	c/ 
Bài 4:
	a/ Tính: ;	b/ Tính: 
Bài 5: Thực hiện phép tính
	a/ ;	b/ 
c/ 
Bài 6: Thực hiện phép tính
	a/ ;	b/ 
	c/ 
Bài 7: Thực hiện phép tính
Bài 8:
Bài tập 9*: Thực hiện các phép tính sau
a/ ; b/ 
c/ 
d/ ; e/ với 
f/ ; g/ 
h/ ; i/ 
k/ 
l/ ; m/ .
Bài 10*: Tính giá trị của các biểu thức sau
a/ ; b/ 
Bài 11*: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a/ ;	b/ ;	c/ 
II/ VẤN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI:
*Các kiến thức cần nhớ:
	+ Hằng đẳng thức đáng nhớ
	+ Điều kiện để biểu thức có nghĩa 
	+ Các phép tính về phân thức: cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa.
	+ Phương pháp rút gọn biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để .
Bài 2: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn B
b/ Với mọi x > 0 và x khác 1. Chứng minh rằng B > 3.
Bài 3: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn C
b/ Tính giá trị của C khi 
c/ Cho biết . Tính giá trị của biểu thức C.
Bài 4: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn D
b/ Tìm x để D = 2.
Bài 5: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn E
b/ Tìm x để 
Bài 6: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn F
b/ Với giá trị nào của b thì 
c/ Tính kết quả của F khi 
Bài 7: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn G
b/ Tính giá trị của biểu thức G khi 
c/ Với giá trị nào của x thì G đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 8: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn H
b/ Với những giá trị nguyên nào của a thì H nhận giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn I
b/ Tính giá trị của biểu thức I khi 
c/ Với những giá trị nào của x thì 
Bài 10: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn K
b/ Tính giá trị của K khi 
c/ Tìm x khi 
Bài 11: Cho biểu thức 
a/ Rút gọn M
b/ Biết rằng khi thì M = 1 . Hãy tìm các giá trị của a và b .
III. VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
***Phương pháp giải:
+ Dạng 1: 
Giải phương trình (3). Đối chiếu với điều kiện (2) rồi chọn nghiệm thích hợp.
+ Dạng 2: 
Giải phương trình (3) hoặc (3’) rồi đối chiếu nghiệm với (2) hoặc (2’).
@Chú ý: Đối với phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Giải các phương trình sau
a/ 
b/ 
c/ 
Bài 2: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a/ ; b/ 
c/ ; d/ 
e/ 
f/ 
g/ 
h/ 
i/ 
k/ 
m/ ; n/ 
Bài 3:
 ;	b/ ;	c/ 
d/ ;	e/ ;	f/ 
a/ ;	b/ ;	c/ 
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a/ ; b/ 
c/ ; d/ 
e/ 
f/ Cho hệ phương trình 
Gọi (x ;y) là nghiệm của hệ phương trình . Hãy tính giá trị của biểu thức S = x3 + y3.
g/ Cho hệ phương trình .
Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai nghiệm của hệ. Không giải hệ phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
IV/ VẤN ĐỀ 4 : SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI
Không dùng máy tính hoặc bảng số
Bài 1 : So sánh các cặp số sau
a/ và ;	b/ và 
c/ với ;	d/ với 
e/ với ;	f/ và 
Bài 2: Cho a, b, c là những số hữu tỉ khác 0 và a = b + c.
Chứng minh rằng: là một số hữu tỉ.
Gợi ý: 
Bài 3: Cho a, b, c là ba số hửu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng:
 là một số hữu tỉ
Bài 4: Cho a, b, c là ba số hửu tỉ thoả mãn điều kiện : ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng: là một số hữu tỉ.
Gợi ý: Thay 1 = ab + bc + ca vào các biểu thức rồi phân tích thành nhân tử.
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức:
 với 
Áp dụng: Chứng minh rằng 
Bài 6: Chứng minh rằng với 
Áp dụng: Cho .Chứng minh rằng: 18 < S < 19.
Bài 7: Chứng minh rằng với 
Áp dụng:Chứng minh rằng 
Bài 8: Chứng minh rằng 
Áp dụng: 
Bài 9: Tính 
Bài 10: Chứng minh rằng 
Áp dụng tính: 
CHUYÊN ĐỀ 2
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI và BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bất đẳng thức Cô-Si:
Với thì 
Dấu “ = ” xảy ra 
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
Với và , ta có:
 Dấu “ = ” xảy ra 
Ví dụ: Cho x >0, y > 0 thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Gợi ý: + Vĩ x > 0, y > 0 nên dều dương.
	+ Theo Cô-Si : 
Phương pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức, ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó ( hay dùng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki )
Ví dụ1: Tìm GTLN của biểu thức ( Điều kiện: )
Gợi ý: 
Phương pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức ( ĐK: )
Gợi ý: 
Phương pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số
a/ Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử:
Ví dụ 3a/ Cho x > 0 . Tìm GTNN của biểu thức 
Gợi ý: 
b/ Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho ( có thẻ sai khác một hằng số ):
Ví dụ 3b/ Cho 0 < x < 2. Tìm GTNN của biểu thức 
Gợi ý: 
Phương pháp 4:Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.
Ví dụ 4: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2. 
Tìm GTNN của biểu thức 
Gợi ý: ; Tương tự:.
Bài 1: Cho x > 0; y > 0 và x + y = 2a ( a > 0 ). Tìm GTNN của 
Bài 2 : Tìm GTLN của 
Bài 3: Cho x + y = 15. Tìm GTNN và GTLN của 
Bài 4: Tìm GTNN của với x > 0.
Bài 5 : Cho a, b, x là những số dương . Tìm GTNN của 
Bài 6: Cho x không âm. Tìm GTNN của 
Bài 7: Tìm GTNN của 
Bài 8: Cho x > 0 . Tìm GTNN của 
Bài 9: Cho x > 0; y > 0 và . Tìm GTNN của 
Bài 10: Cho x > y và xy = 5. Tìm GTNN của 
Bài 11: Cho x > 1. Tìm GTLN của 
Bài 12: Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của 
Bài 13*: Cho thoả mãn điều kiện 
a/ Tìm GTLN của biểu thức 
b/ Tìm GTNN của biểu thức 
Bài 14*: Cho x, y, z là những số dương thoả mãn điều kiện 
Tìm GTNN của biểu thức 
Bài 15*: Cho thoả mãn điều kiện 
Tìm GTNN của biểu thức 
Bài 16*: Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện 
Tìm GTNN của biểu thức 
Bài 17*: Cho x, y thoả mãn điều kiện 
Tìm GTLN của biểu thức 
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ ;	b/ 
c/ ;	d/ 
e/;	f/ với x > 0
g/ G = 2x2 + 2xy + y2 – 2x +2y +2 ;	h/ H = x4 – 8xy – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 200
i/ Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của xy.
Bài 19 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau :
a/ ;	b/ 
Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ ;	b/ ;	c/ 
d/ ;	e/.
Gợi ý:
1/ + Vận dụng . Đẳng thức xảy ra khi 
2/ + Vận dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki 
3/ + Vận dụng ĐK: 
; 
4/ + Vận dụng 
5/ + Vận dụng 
6/ + Vận dụng 
7/ + Vận dụng 
8/ + Vận dụng 
9/ + Vận dụng 
10/ +Vận dụng 
11/ + Vận dụng 
12/ + Vận dụng 
13a/
b/ 
 Để B nhỏ nhất thì ( xy + yz + zx ) lớn nhất à theo câu a/
14/ Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương:
Do đó: 
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 4
15/Ta có: ; 
Tương tự : .. Dấu = xảy ra khi 
16/Ta có: a + b + c = 1 Þ1 – a = b + c > 0. Tương tự : 1 – b > 0 ; 1 – c > 0.
Mặt khác : 
Suy ra: 
Dấu = xảy ra khi 
17/ + Nếu 
 + Nếu 
Suy ra: . Dấu = xảy ra khi:
CHUYÊN ĐỀ 3
 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Xác định hàm số y = ax + b , biết đồ thị của nó đi qua:
a/ A(2;1) và B(1;2)
b/ A(1;3) và B(3;2)
c/ A(1;2) và B(2;0)
Trong mỗi trường hợp, hãy tính độ dài AB.
Bài 2: Toạ độ các đỉnh của tam giác ABC là: A(0;1), B(6;5) và C(12; -1). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
Bài 3: Toạ độ các đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8) và C(-6;-2). Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 4: Giải các hệ phương trình: 
a/ ;	b/ ;	c/ 
d/;	e/ ;	f/ 
g/ ;	h/ 
Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số k:
a/ ;	b/ ;	c/ 
d/ Định k để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện .
Bài 6: Giải các phương trình
a/ ;	b/ 
c/ ;	d/ 
Bài 7: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a/ ;	b/ 
c/ ;	d/ .
@ Giải các hệ phương trình hỗn tạp:
Bài 1: Giải hệ phương trình
a/ ( Đề thi Đại học Khối B, năm 2008 – 2009 )
b/ ( Đề thi Đại học Khối D, năm 2008 – 2009 )
c/ Gợi ý c/: Ta có 7xy ( x – y ) = 2 ( x – y )(x2 + xy + y2 ) 
à ( x – y )(2x2 – 5xy + 2y2) = 0à 
d/ Gợi ý d/ : Hệ 
e/ Cho hệ phương trình Định a để hệ phương trình có nghiệm kép.
Gợi ý e/: 
Hệ có nghiệm kép khi 
f/ 
Gợi ý f/: x(x+1) và y(y+1) là hai nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO KHÔNG THAM SỐ :
I/ Giải các hệ phương trình :
Bài 1 :
Bài 2 :
Bài 3 :
Bài 4 : Cho a và b là hai số thỏa : .
Chứng minh rằng : a và b thỏa mãn 2ab – 12a + 15b = 0.
Bài 5 : 
Bài 6 : 
Bài 7 : 
Bài 8 : 
Bài 9 : 
Bài 10 :
Bài 11 : 
Bài 12 : 
Bài 13 : 
Bài 14 :
Bài 15 :
Bài 16 :
Bài 17 :
Bài 18 :
Bài 19 :
Bài 20 :
CHUYÊN ĐỀ 4
 ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng với mọi a, b, c thì phương trình trên luôn có nghiệm.
Bài 2: Cho phương trình : 
a/ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi a, b
b/ Tìm a, b để phương trình trên có nghiệm duy nhất 
Bài 3: Cho phương trình 
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Giả sử phương trình trên có hai nghiệm . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau theo m : 
Bài 4: Cho phương trình : 
a/ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi m . Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b/ Gọi là hai nghiệm của phương trình. Định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó? 
Bài 5: Cho phương trình : 
a/ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
c/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với tham số m.
Bài 6: Gọi là hai nghiệm số của phương trình Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 
Bài 7 : Cho phương trình 
a/ Định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 
b/ Ứng với giá trị m = 1. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai với các hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 
Bài 8: Cho phương trình 
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm các giá trị của m để hai nghiệm thoả 
Bài 9: Cho phương trình ( với m khác 1)
a/ Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
Bài 10: Cho phương trình 
a/ Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình trên có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này .
Bài 11: Cho phương trình ẩn x : 
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm . Tìm nghiệm còn lại ?
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c/ Tính theo m.
d/ Tính theo m.
e/ Tìm tổng nghịch đảo của các nghiệm và tổng bình phương ng ... thöùc : AM. AP = AN. AQ = 4R2 
Chöùng minh trung tuyeán AI cuûa tam giaùc APQ vuoâng goùc vôùi MN
Tìm taäp hôïp caùc taâm E cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc PMN khi MN quay chung quanh O
Baøi 47 :Cho moät ñieåm M chuyeån ñoäng treân moät ñöôøng thaúng d naèm ngoaøi moät ñöôøng troøn taâm O. Töø M keõ caùc tieáp tuyeán MA, MB vôùi ñöôøng troøn (O) ( A, B laø tieáp ñieåm). Tìm taäp hôïp giao ñieåm I cuûa hai ñöôøng thaúng OM vaø AB
Baøi 48 : Cho töù giaùc ABCD coù hai ñöôøng cheùo caét nhau tai O. Bieát raèng ñieän tích cuûa hai tam giaùc AOB vaø COD laàn löôït baèng 9 vaø 16.Haõy tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD
Baøi 49 : Cho hai ñöôøng troøn taâm O vaø O’ coù cuøng baùn kính R caét nhau taïi M, N vaø OO’ = R. Moät hình vuoâng ABCD coù A, D naèm treân cung nhoû MN cuûa (O’ ). Tính caïnh cuûa hình vuoâng ABCD theo R
Baøi 50 : Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi P vaø Q laàn löôït thuoäc AB, AC sao cho trung ñieåm I cuûa PQ thuoäc caïnh ñaùy BC.
Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆ APQ luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh 
Baøi 51 : Cho ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R, moät ñieåm M coá ñònh ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O) vaø ñöôøng kính AB löu ñoäng quay quanh O. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MAB caét ñöôøng thaúng MA taïi N, caùt tuyeán MA vaø MB caét ñöôøng troøn (O) theo thöù töï taïi C, D, CD caét MO taïi E
Chöùng toû 4 ñieåm A, C, E, N naèm treân moät ñöôøng troøn
Tìm quyõ tích taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆MAB khi ñöôøng kính AB löu ñoäng quanh O 
------------------- HẾT ----------------------
CHUYÊN ĐỀ: TOÁN QUỸ TÍCH
Bài 1:Từ điểm B bất kì trên đường tròn tâm O kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đưòng tròn tại điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của B qua tâm O.
Chứng minh rằng cung IA bằng cung AB
Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH
Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định 
Gọi M là giao điểm của BH với đường phân giác của góc AOB, khi B di động M chạy trên đường nào?
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và tam giác cân ABC ( AB = AC> R)có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó. Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối MB lấy một điểm D sao cho MD= MC
a) Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của góc BMx
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì?
c) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di động trên cung nhỏ AC
Bài 3: Xét đoạn thẳng AB. Trên nửa măt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự tại C, D, E
a) Nêu cách dựng đường tròn (M)
b) Chứng minh rằng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By. 
Chứng minh D, M , E thẳng hàng 
c) Chứng minh AMvuông góc BM
d) Tìm tập hợp điểm M
Bài 4: Cho tam giác ABC ( < 90o ) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ các đường cao BD, CE. Các tia BD, CE lần lượt cắt đường tròn (O; R) tại các điểm thứ hai D’, E’. 
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C nằm trên đường tròn
b) Chứng minh rằng E’D’ // ED
c) Chứng minh rằng OA vuông góc ED
d) Bây giờ cho điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED không đổi
Bài 5 : Cho đường tròn ( O ; R), hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc vôùi nhau. Trong ñoaïn AB laáy ñieåm M khaùc O. Ñöôøng thaúng CM caét ñöôøng troøn (O) taïi ñieåm thöù hai N. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB taïi M caét tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) taïi N ôû ñieåm P. Chöùng minh :
a/ Töù giaùc OMNP noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn
b/ Töù giaùc CMPO laø hình bình haønh 
c/ Tích CM CN khoâng ñoåi
d/ Khi M chuyeån ñoäng treân ñoaïn AB thì P chaïy treân moät ñoaïn thaúng coá ñònh 
Baøi 6 : Töø ñieåm P coá ñònh naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O; R) cho tröôùc veõ tieáp tuyeán PA vaø caùt tuyeán PBC. Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC, H1 laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua BC, O1 laø ñieåm ñoái xöùng cuûa O qua BC
a/ Chöùng minh H1 naèm treân ñöôøng troøn (O) 
b/ Chöùng minh töù giaùc OAHO1 laø hình bình haønh 
c/ Töø P keû Px vuoâng goùc vôùi PA, treân Py laáy ñieåm I sao cho PI = R (I vaø O thuoäc hai nöûa maët phaúng khaùc nhau bôø PA). Chöùng minh töù giaùc PIHO1 laø hình bình haønh
d/ Khi caùt tuyeán PBC quay quanh P thì H chaïy treân ñöôøng naøo?
Baøi 7 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Qua A veõ moät ñöôøng thaúng (d). Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B, C leân ñöôøng thaúng (d), H laø chaân ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC keû töù A
a/ Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñöôøng kính PQ luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh khi (d) quay quanh A
b/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa PQ
Baøi 8 : Cho moät ñieåm C baát kì treân ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB coá ñònh. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB taïi O caét ñöôøng thaúng AC taïi D vaø caét tieáp tuyeán taïi C cuûa ñöôøng troøn (O) taïi E
a/ Chöùng toû 4 ñieåm O, B, C, D naèm treân moät ñöôøng troøn. Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn ñoù
b/ Chöùng minh tam giaùc ECD caân
c/ Ñöôøng thaúng BC caét ñöôøng thaúng OE tai H. Chöùng minh raèng giao ñieåm cuûa BD vaø AH naèm treân ñöôøng troøn (O)
d/ Tìm quyõ tích taâm I khi C di ñoäng treân ñöôøng troøn (O)
Baøi 9 : Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB vaø C laø ñieåm chính giöõa cuûa cung AB. Goïi M laø moät ñieåm di ñoäng treân cung AB. Treân daây cung AM ta laáy moät ñieåm N sao cho 
AN = BM
a/ Chöùng minh tam giaùc CNM vuoâng caân 
b/ Tìm quyõ tích cuûa ñieåm N khi M di ñoäng treân cung AB
Baøi 10 : Cho ñöôøng troøn taâm O coù baùn kính R vaø hai ñöôøng kính coá ñònh Ab vaø cd vuoâng goùc vôùi nhau. Treân cung nhỏ AC ta laáy ñieåm E ( E khaùc A vaø C ). Treân tia ñoái cuûa tia EA ta laáy ñieåm M sao cho EM = EB. Chöùng minh
a/ ED // MB
b/ EC laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB
c/ Khi E di chuyeån treân cung nhoû AC thì M di chuyeån treân moät cung troøn maø ta phaûi xaùc ñònh taâm vaø baùn kính
Baøi 11 : Cho hai ñöôøng troøn ñoàng taâm O baùn kính R vaø r ( R > r). Töø moät ñieåm coá ñònh treân ñöôøng troøn nhoû, ta veõ daây MA cuûa ñöôøng troøn ñoù. Trong ñöôøng troøn lôùn, ta veõ daây BMC vuoâng goùc vôùi MA. Daây BMC caét ñöôøng troøn nhoû taïi D
a/ Chöùng toû BC vaø MD coù cuøng trung ñieåm I
b/ Khi A löu ñoäng treân ñöôøng troøn nhoû thì ñieåm I löu ñoäng treân ñöôøng troøn naøo? Taïi sao?
Baøi 12 : Cho moät ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R coù AB laø ñöôøng kính coá ñònh, MN laø ñöôøng kính löu ñoäng. Goïi d laø tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi B, ñöôøng thaúng AM vaø AN laàn löôït caét d taïi P vaø Q
a/ Chöùng toû töù giaùc MNQP noäi tieáp ñược ñöôøng troøn
b/ Chöùng minh heä thöùc : AM. AP = AN. AQ = 4R2 
c/ Chöùng minh trung tuyeán AI cuûa tam giaùc APQ vuoâng goùc vôùi MN
d/ Tìm taäp hôïp caùc taâm E cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc PMN khi MN quay chung quanh O
Baøi 13 :Cho moät ñieåm M chuyeån ñoäng treân moät ñöôøng thaúng d naèm ngoaøi moät ñöôøng troøn taâm O. Töø M keõ caùc tieáp tuyeán MA, MB vôùi ñöôøng troøn (O) ( A, B laø tieáp ñieåm). Tìm taäp hôïp giao ñieåm I cuûa hai ñöôøng thaúng OM vaø AB
Baøi 14 : Cho ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R, moät ñieåm M coá ñònh ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O) vaø ñöôøng kính AB löu ñoäng quay quanh O. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MAB caét ñöôøng thaúng MA taïi N, caùt tuyeán MA vaø MB caét ñöôøng troøn (O) theo thöù töï taïi C, D; CD caét MO taïi E
a/ Chöùng toû 4 ñieåm A, C, E, N naèm treân moät ñöôøng troøn
b/ Tìm quyõ tích taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆MAB khi ñöôøng kính AB löu ñoäng quanh O 
Bài 15: (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong; năm 2002 – 2003 )
Cho đường tròn ( O; R ) và đường thẳng (d) cắt (O;R) tại hai điểm A, B. Từ một điểm M bất kỳ trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) ( N, P là các tiếp điểm ).
a/ Chứng minh: 
b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di chuyển trên (d).
c/ Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông.
d/ Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đường cố định khi M di động trên (d).
Bài 16: 
Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn (O) sao cho 
AB < 2R. Gi¶ sö M lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung lín AB cña ®­êng trßn .
a) KÎ tõ B ®­êng thẳng vu«ng gãc víi AM, ®­êng th¼ng nµy c¾t AM t¹i I vµ (O) t¹i N. Gäi J lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn ®­êng trßn th× mçi ®iÓm I, J ®Òu n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi D AMB lµ lín nhÊt.
Bài 17: Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB = 2R vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn mét nöa ®­êng trßn ( M kh«ng trïng víi A, B). Ng­êi ta vÏ mét ®­êng trßn t©m E tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®­êng kÝnh AB tại N. §­êng trßn (E) c¾t MA, MB lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ C, D.
a) Chøng minh r»ng ba ®iÓm C, E, D th¼ng hµng.
b) Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh K vµ tÝch KM.KN kh«ng ®æi.
c) Gäi giao ®iÓm cña c¸c tia CN, DN víi KB, KA lÇn l­ît lµ P vµ Q. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch D NPQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ chøng tá khi ®ã chu vi D NPQ ®¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt.
d) T×m quü tÝch ®iÓm E.
Bài 18: Cho ®o¹n th¼ng AB cã trung ®iÓm lµ O. Gäi d, d’ lµ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t­¬ng øng t¹i A, B. Mét gãc vu«ng ®Ønh O cã mét c¹nh c¾t d ë M, cßn c¹nh kia c¾t d’ ë N. kÎ OH ^ MN. Vßng trßn ngo¹i tiÕp D MHB c¾t d ë ®iÓm thø hai lµ E kh¸c M. MB c¾t NA t¹i I, ®­êng th¼ng HI c¾t EB ë K. Chøng minh r»ng K n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®inh khi gãc vu«ng quay quanh ®Ønh O.
Bài 19: Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng:
	a) Tích AM.AC không đổi.
	b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
	c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
	d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 20: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I.
	1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được.
	2.Gọi H là điểm đối xứng với I qua K. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau.
	3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC.
	4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C.
Bài 17
Bài 18
Bài 20
Bài 19
------------------------ HẾT --------------------------