Tài liệu Tổng hợp kiến thức cơ bản môn Toán Lớp 9

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 
PHẦN I – ĐẠI SỐ 
A. Kiến thức cần nhớ. 
 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. 
 A cã nghÜa khi A  0 
 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. 
 a. 2A A 
 b. . ( 0; 0)AB A B A B   
 c. ( 0; 0)
A A
A B
B B
   
 d. 2 ( 0)A B A B B  
 e. 2 ( 0; 0)A B A B A B   
 2 ( 0; 0)A B A B A B    
 f. 
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
   
 i. ( 0)
A A B
B
BB
  
 k. 2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A BA B
  

 m. 
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A BA B
   

 3. Hµm sè y = ax + b (a  0) 
 - TÝnh chÊt: 
 + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. 
 + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. 
 - §å thÞ: 
 §å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0). 
 4. Hµm sè y = ax2 (a  0) 
 - TÝnh chÊt: 
 + NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x 0. 
 + NÕu a 0. 
 - §å thÞ: 
 §å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). 
 + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. 
 + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh. 
 5. VÞ trÝ tư¬ng ®èi cña hai ®ưêng th¼ng 
 XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') 
 (d) vµ (d') c¾t nhau  a  a' 
 (d) // (d')  a = a' vµ b  b' 
 (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 
 6. VÞ trÝ tư¬ng ®èi cña ®ưêng th¼ng vµ ®ưêng cong. 
 XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) 
 (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm 
2 
(d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm
(d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
7. Phư¬ng tr×nh bËc hai.
XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)
C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän 
 = b2 - 4ac 
NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 
ph©n biÖt: 
a
b
x
2
1

 ; 
a
b
x
2
2


NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : 
a
b
xx
2
21


NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 
' = b'2 - ac víi b = 2b' 
- NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b
x
''
1

 ; 
a
b
x
''
2


- NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b
xx
'
21


- NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
8. HÖ thøc Viet vµ øng dông.
- HÖ thøc Viet: 
NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a

  

  

- Mét sè øng dông: 
+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x2 - Sx + P = 0 
(§iÒu kiÖn S2 - 4P  0)
+ NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:
x1 = 1 ; x2 = 
c
a
NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: 
x1 = -1 ; x2 = 
c
a

9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phư¬ng tr×nh, hÖ phư¬ng tr×nh
B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm
nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn 
B. Các dạng bài tập
D¹ng 1: Rút gọn biểu thức 
Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A 
 §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau:
- Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) 
3 
- §ư a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) 
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) 
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... 
- Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng.
D¹ng 2: Bài toán tính toán 
Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A. 
 TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän 
biÓu thøc A 
Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a 
 C¸ch gi¶i:
- Rót gän biÓu thøc A(x).
- Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän.
D¹ng 3: Chứng minh đẳng thức 
Bµi to¸n : Chøng minh ®¼ng thøc A = B 
 Mét sè phư¬ng ph¸p chøng minh:
- Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa.
A = B  A - B = 0
- Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp.
A = A1 = A2 = ... = B
- Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p so s¸nh.
A = A1 = A2 = ... = C 
B = B1 = B2 = ... = C 
- Phư ¬ng ph¸p 4: Phư¬ng ph¸p tư¬ng ®ư¬ng.
A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*) 
(*) ®óng do ®ã A = B 
- Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
- Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p.
- Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 4: Chứng minh bất đẳng thức 
Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B 
 Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: 
- BÊt ®¼ng thøc Cosi:
n
n
n aaaa
n
aaaa
.....
...
321
321 

 (víi 0..... 321 naaaa ) 
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: naaaa  ...321
- BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki:
Víi mäi sè a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;bn 
  )...)(...(... 223
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211 nnnn bbbbaaaababababa 
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: 
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
 ...
3
3
2
2
1
1
 Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: 
- Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa
A > B  A - B > 0 
- Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp
A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M  0 
A = B 
4 
- Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p tư¬ng ®ư¬ng
A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*) 
(*) ®óng do ®ã A > B 
- Phư ¬ng ph¸p 4: Phư ¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu
A > C vµ C > B  A > B 
- Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p ph¶n chøng
§Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi tư¬ng ®ư¬ng
®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. 
- Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
- Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p.
- Phư ¬ng ph¸p 8: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai 
Bµi to¸n 1: Gi¶i phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) 
 C¸c phư¬ng ph¸p gi¶i:
- Phư ¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®ư a vÒ phư¬ng tr×nh tÝch.
- Phư ¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
x2 = a  x =  a
- Phư ¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm
Ta cã  = b2 - 4ac 
+ NÕu  > 0 : Phư¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1

 ; 
a
b
x
2
2


+ NÕu  = 0 : Phư¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
xx
2
21


+ NÕu  < 0 : Phư¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Phư ¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän
Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' 
+ NÕu ' > 0 : Phư¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1

 ; 
a
b
x
''
2


+ NÕu ' = 0 : Phư¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
xx
'
21


+ NÕu ' < 0 : Phư¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Phư ¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et.
NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:









a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n 
biÖt. 
Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ). 
 XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng
5 
a. Trưêng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m.
Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã:
(*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) 
+ NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh
+ NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm
b. Tr-êng hîp a  0: TÝnh  hoÆc '
+ TÝnh  = b2 - 4ac
NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: 
a
b
x
2
1

 ; 
a
b
x
2
2


NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : 
a
b
xx
2
21


NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 
+ TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b'
 NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: 
a
b
x
''
1

 ; 
a
b
x
''
2


 NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: 
a
b
xx
'
21


 NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 
- Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn.
Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c =
0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm. 
 Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm:
1. HoÆc a = 0, b  0
2. HoÆc a  0,   0 hoÆc '  0
TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu 
kiÖn 2. 
Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c 
= 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt





0
0a
 hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 
0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. 
 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:





0
0
b
a
 hoÆc





0
0a
hoÆc 





0
0
'
a
Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c 
= 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp. 
 §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:





0
0a
hoÆc 





0
0
'
a
Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c 
= 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm. 
6 
 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: 





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 
0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. 
 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: 





0
0
b
a
 hoÆc





0
0a
hoÆc 





0
0
'
a
Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c 
= 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu. 
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:






0
0
a
c
P
 hoÆc 







0
0'
a
c
P
Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + 
c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng. 
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:












0
0
0
a
b
S
a
c
P hoÆc 












0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + 
c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m. 
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:












0
0
0
a
b
S
a
c
P hoÆc 












0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + 
c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. 
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu:
P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. 
Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + 
c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1. 
 C¸ch gi¶i:
- Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0  m
- Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2
- HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 =
1x
P
Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + 
c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 
a.   21 xx b. kxx 
2
2
2
1
c. n
xx

21
11
d. hxx  22
2
1 e. txx 
3
2
3
1
7 
 §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc '  0 (*)
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:





 ...  ta cã yA = kxA + b  b = yA - kxA 
- Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA);
B(xB;yB) 
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b
(D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:





b ax y
 b ax y
BB
AA
Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) 
Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc 
víi ®-êng cong (C): y = f(x) 
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*) 
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b 
vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) 
 Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ 
tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x) 
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*) 
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. 
Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) 
MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***) 
Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D). 
PHẦN II – HÌNH HỌC 
A. Kiến thức cần nhớ
1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
b2 = ab' c2 = ac' 
 h2 = b'c' 
 ah = bc 
 a2 = b2 + c2 
222
111
cbh

2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän.
0 < sin < 1 0 < coss < 1 



cos
sin
tg



sin
cos
cot g sin2 + cos2 = 1 
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A
11 
tg.cotg = 1 


2
2
cos
1
1  tg


2
2
sin
1
cot1  g
3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng.
b = asinB = acosC 
b = ctgB = ccotgC 
c = a sinC = acosB 
c = btgC = bcotg B 
4. §-êng trßn.
- C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét
®-êng trßn. 
- T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc
®èi xøng. 
- Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y. 
Trong mét ®-êng trßn
+ §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy
+ §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc
víi d©y Êy. 
- Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y:
Trong mét ®-êng trßn: 
+ Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m
+ Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau
+ D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
+ D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
- Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: 
Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau: 
+ Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
+ Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
+ Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
+ D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.
- VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: 
VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung 
HÖ thøc liªn hÖ 
gi÷a d vµ R 
b
a
c
C
B
A
12 
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau
2 d < R 
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
1 d = R 
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau
0 d > R 
- VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: 
VÞ trÝ t-¬ng ®èi 
Sè ®iÓm 
chung 
HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ 
R 
- Hai ®-êng trßn c¾t nhau
2 R - r < OO' < R + r 
- Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
+ TiÕp xóc ngoµi
+ TiÕp xóc trong
1 
OO' = R + r 
OO' = R - r 
- Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau
+ (O) vµ (O') ë ngoµi nhau
+ (O) ®ùng (O')
+ (O) vµ (O') ®ång t©m
0 
OO' > R + r 
OO' < R - r 
OO' = 0 
5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn
- TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp 
®iÓm. 
- DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: 
13 
+ §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung
+ Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh
+ §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña
®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua 
®iÓm ®ã. 
- TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau 
 MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: 
+ MA = MB
+ MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB
+ OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB
- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai 
®-êng trßn ®ã: 
TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong 
6. Gãc víi ®-êng trßn
Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o 
1. Gãc ë t©m
AOB sd AB
2. Gãc néi tiÕp 1
2
AMB sd AB
3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn
vµ d©y cung.
1
2
xBA sd AB
B
O
A
M
d'
d
O'
O
d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
x
B
A
O
14 
4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng
trßn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD 
5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi
®-êng trßn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD 
 Chó ý: Trong mét ®-êng trßn
- C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau
- Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m
cïng ch¾n mét cung. 
- Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi
tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn. 
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th×
b»ng nhau. 
7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn.
- §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d
- §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 
180
Rn
l


8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 
2
360 2
R n lR
S

 
9. C¸c lo¹i ®-êng trßn
§-êng trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c
§-êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c
§-êng trßn bµng tiÕp
tam gi¸c
T©m ®-êng trßn lµ giao 
cña ba ®-êng trung trùc 
cña tam gi¸c 
T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba 
®-êng ph©n gi¸c trong cña 
tam gi¸c 
T©m cña ®-êng trßn bµng 
tiÕp trong gãc A lµ giao 
®iÓm cña hai ®-êng ph©n 
M
D
C
B
A
O
O
B
A
D
C
M
O
C
B
A
O
C
B
A
F
E
J
B
C
A
15 
gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B 
hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm 
cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A 
vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi 
t¹i B (hoÆc C) 
10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian.
a. H×nh trô. 
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2h
b. H×nh nãn: 
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = 2
1
r
3
h
c. H×nh nãn côt: 
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l
- ThÓ tÝch: V = 2 21 2 1 2
1
( )
3
h r r r r  
d. H×nh cÇu. 
- DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2 = d
- ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 3
4
3
R
11. Tø gi¸c néi tiÕp:
 DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét
gãc . 
B. C¸c d¹ng bµi tËp.
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. 
 C¸ch chøng minh: 
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau
- Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng
gãc 
- Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ
- Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
- Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu
- Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng
 r: b¸n kÝnh 
Trong ®ã 
 h: chiÒu cao 
 r: b¸n kÝnh 
Trong ®ã l: ®-êng sinh 
 h: chiÒu cao 
 r1: b¸n kÝnh d¸y lín 
 r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá 
Trong ®ã l: ®-êng sinh 
 h: chiÒu cao 
 R: b¸n kÝnh 
Trong ®ã 
 d: ®-êng kÝnh 
16 
- Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau.
D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
 C¸ch chøng minh: 
- Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba
- Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu
- Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
- Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng)
- Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n
- Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng
nhau. 
D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song 
 C¸ch chøng minh: 
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau:
+ ë vÞ trÝ so le trong
+ ë vÞ trÝ so le ngoµi
+ ë vÞ trÝ ®ång vÞ.
- Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn
- Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh
D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc 
 C¸ch chøng minh: 
- Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c.
- Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c.
- §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y.
- Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau.
D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy. 
 C¸ch chøng minh: 
- Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n
gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) 
- VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet.
D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau 
 C¸ch chøng minh: 
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)
- Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)
- Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
17 
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
- C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng 
 C¸ch chøng minh: 
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét
- Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
- Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ
D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
 C¸ch chøng minh: 
Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*)
- Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB
- NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng
minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: 
MA.MB = ME.MF 
MC.MD = ME.MF
Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB 
MCE  MFD 
 MA.MB = MC.MD 
* Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA  MBT
D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
 C¸ch chøng minh: 
DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét
gãc . 
D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R) 
 C¸ch chøng minh: 
- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)
- Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh
- Dïng gãc néi tiÕp.
D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc
 C¸ch tÝnh: 
- Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
- Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c
- Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
- Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...