Toán 9 - Bài tập phần hệ thức lượng trong tam giác vuông

gBÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 Bài 1: Trong hình vẽ sau biết , , ; , .
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết , , , .
Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR.
Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ.
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Hướng dẫn câu c: Hạ . Chứng minh : AB = CI.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm 
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?
Bài 5: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Hướng dẫn :
Câu a : Từ KH = BC.CosA 
Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý 
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8.
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE . Suy ra 
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . 
Hướng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5. Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA. b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 9: Cho , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
ĐÁP ÁN
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết , , ; , .
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài giải
a) .
b) Þ.
c) Þ.
d) 
Þ .
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết , , , .
Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR.
Bài giải
a) Xét DPTQ, kẻ đường cao TK , ta có .
; Þ ;
Þ .
b) Ta có ;
Kẻ đường cao RH, ta có .
Xét DPTQ, ta có : ;
Þ .
Diện tích tam giác PQR : .
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Giải :a) Áp dụng định lí Pitago. Ta có :
b) Áp dụng tỉ số lượng giác. Ta có :
 (*)
c) Hạ . Ta có : ( g-g) 
nên (CH-CGV) 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta có : hay AC là tia phân giác của .
d) Mặt khác : ( cặp góc soletrong)
nên hay cân tại D.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm 
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?	
Hướng Dẫn
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
 AH = AB . SinB
 = 60.Sin300 = 60. = 30
AHC ( = 1v)
 AH = AC. Cos400 
 AC = = = 39,164
 APC có ( = 1v)
AP = AC.Cos 200 
 = 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
b) APC ( = 1v) 
 CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Giải : a) ( g-g)
 và chung
Suy ra : 
Mặt khác : 
Hay HK = cosA.BC
b) .
Mặt khác : HM = KM = ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
nên HK = HM = KM hay rMKH là tam giác đều.
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Giải: a) ( g-g)
nên ( c -g- c)
Vậy AF = BE.cosC
b) Vì rABC (= 900 ). 
nên AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm.
 nên AE = EC = 4cm.
Mặt khác : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm.
 ( Định lí Pitago)
SABFE = SABC - SCFE 
= = 20,16 (cm2)
c) Hạ AH BE; FK BE.
Ta có : SABFE = SABE + SBFE 
 = 
 (1)
mà + BE = ( Định lí Pitago) (2)
 + ( g - g)
 và chung nên ( c-g-c)
nên (3)
Từ (1), (2) và (3). Ta có : 
 SinAOB = 
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). 
Lấy điểm M trên cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : . 
Giải: a) Ta có : ( g - g)
Vì ; ( cùng phụ với )
 b) Từ câu a), ta có : 
 mà Suy ra : (1) 
Mặt khác : ( g - g)
 = = ( 2)
 Thay (2) vào (1). Ta có : 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA.
	b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH 
biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
GIẢI: 
a) ( g - g)
Vì ( cùng bằng )
 (*)
Mặt khác : Xét tứ giác AKCH
Ta có : ; 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta có : rCKH rBCA( c-g-c).
b) 
 mà ( cặp góc đồng vị) 
nên 
c) SAKCH = SABCH + SBKC = 
 = + 
= 
 =2. ( 10+4cos600).sin600 + 
Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ nhật song song với nhau.
Tính diện tích tứ giác?
Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = 
 mà AH = ; ; 
 + ( cặp góc soletrong)
 = 
Ta chứng minh số đo không đổi.
Thật vậy : ( Tính chất góc ngoài đỉnh O)
mà 
Suy ra : ( Cố định )
Vậy = = 
Và tgMQN = ; 
Vậy : = (cm2)
Bài 10: Cho , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
Giải : ; 
nên tgB.tgC = 
mà AD = 2HD
nên tgB.tgC = 
Bài tập 11: Cho . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. 
Giải: 
Ta có : tg = 
Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) 
 = 2MH.
mà 
nên MH = 
Vậy 
Bài 10: Cho , phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm. Chứng minh : CosA = bCosB.
	Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.	b) Cạnh EF.
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7.
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta có :
 + EI = sinD. DE = sin 400.7 (cm)
 + EF = (cm) 
b) 
CosB 
+ 
Bài 1: Cho . Vẽ phân giác AD, đường cao AH. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC.
b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : .
c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải : 
a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : 
+ Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : 
Suy ra : . CD = 
b) ( g-g)
c) Ta có : AH .BC = AB .AC 
Từ 
; 
a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : 
Vậy CosB = 0,25 
+ nên AB = 
+ Áp dụng công thức tính chiều dài đường phân giác trong. Ta có :
 hay 
AC =