Toán 9 - Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ngày soạn : /./ 2009
Ngày giảng:.. /../ 2009
CHỦ ĐỀ 1:
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
I./ Mục tiêu:
	* Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác.
	* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao
	* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.
II/ Nội dung:
	I. Kiến thức cơ bản:
	1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Định lí 1: b2 = a. c’ ; c2 = a .c’
- Định lí 2: h2 = b’ .c’
- Định lí 3: b.c = a.h	`
- Định lí 4: = + 
2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB
b= c.TgB= c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB
- Nếu biết 1 góc nhọn thì góc còn lại là 900 - 
- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc Tìm góc đó bằng cách tra bảng
- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn
- Từ hệ thức :
b = a.SinB = a . CosC
 a = = 
c = a. SinC = a . CosB
 a = = 
	30 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: 
Cho vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền là
A. 4 	 B. 5 	 C. 6 	D. một gía trị khác
 Ví dụ2: 
Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường cao là 
A. 1,3 	B. 2 	C. 2,4 	 D. 1 giá trị khác
Ví dụ3: Cho có các độ dài các cạnh như sau. nào là vuông ?
A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10)	C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 )
Ví dụ4: Cho ABC ( = 1v), AH BC ; AB = 6, AC = 8
Tính AH = ? HB = ? HC = ? 
Theo pi ta go : ABC ( = 1v)
 BC = = = = 10
- Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC 
 AH = = = 4,8 
Từ đ/lí 1:
 	 AB2 = BC. HB
 HB = = = 3,6
AC2 = BC . HC 
 HC = = = 6,4
Ví dụ5: 
 ABC( = 1v) ; AH BC
GT AH = 16 ; HC = 25
KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ?
 Hướng Dẫn	
- Pi ta go AHC ( = 1v)
 AC = = = = 29,68
Từ đ/lí 1: AC2 = BC.HC 
BC = = 35,24 
Pi ta go ABC ( = 1v)
 AB = = 18,99
 Từ đ/lí 2: AH2 = HB.HC 
 HB = = = 10,24
Ví dụ6: 	
Cho ABC ( = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 
 	a) Tính tỉ số lượng giác của 
b) Từ KQ ( a) các tỉ số lượng giác của góc B
Hướng Dẫn
a. Theo Pi ta go ABC ( = 1v)
 BC = = = = 5
SinC = = ; CosC = = ; tgC = = ; CotgC = = 
 Do và là hai góc phụ nhau 
SinB = cosC = ; cosB = sinC = 
gB = cotgC = ; cotgB = tgC = 
Ví dụ7: Cho ABC ( = 1v) ; AB = 6 ; = tg = . Tính 
a) AC = ? 
b) BC = ? 
a. tg = = 
 AC = = = 2,5 (cm)
b) Pi ta go ABC ( = 1v)
 	 BC = = = 
 = 6,5 (cm)
 Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức
1). 1 – Sin2 = ? 
 	2). (1 - cos).(1+ cos) = ? 
3). 1+ sin2 + cos2 = ? 
4). sin - sin.cos2 = ? 
5). sin4 + cos4 + 2sin2 .cos2 = ? 
6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620 
Gợi ý
 a) sin2 + cos2 = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2 
 	b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 
 	c) Đs : = 2
d) đặt thừa số chung Đs : sin3 
 	e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1
Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 750 
Hướng Dẫn
Kẻ AH ; BK CD
Ta có : AB = KH = 12 (cm)
 DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6 
 DH = = 3 (cm) 
AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196 	
 SABCD = = 
 = 167,94 (cm)
Ví dụ9: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm 
a) AP ? ; BP ? 
b) CP ?	
Hướng Dẫn
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
 AH = AB . SinB
 = 60.Sin300 = 60. = 30
 AHC ( = 1v)
 AH = AC. Cos400 
 AC = = = 39,164
 APC có ( = 1v)
AP = AC.Cos 200 
 = 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP
 = 60 – 36,802 = 23, 198
b) APC ( = 1v) 
 CP = AC. Sin200 
 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
HỆ THỨC LƯỢNG 
CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
	 (Đề sưu tầm từ cỏc vũng thi Olypic đầu tiờn- lớp 9)
 Bài 1:Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
 Tớnh độ dài AH.
 Lời giải sơ lược:
 Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc 
	ABC vuụng ở A, cú đường cao AH ta được:
	AB2 = BH. BC hay 202 = x(x + 9).
	Thu gọn ta được phương trỡnh : x2 + 9x – 400 = 0
	Giải phương trỡnh này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại)
	Dựng định lý Pitago tớnh được AH = 12cm
 Lưu ý : Giải PT bậc 2 nờn dựng mỏy tớnh để giải cho nhanh.
	Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chúng ghi kết qu
Bài 2: Cho tam giỏc ABC , , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tớnh độ dài cạnh AB.
 Lời giải sơ lược:
 Kẻ AH BC. Đặt AB = 2x. Từ đú tớnh được BH = x và 
 AH = x ; HC = 8 – x 
	Áp dụng định lớ Pitago ta cho tam giỏc AHC vuụng tại H
	Ta cú: AC = = 
	Do AB + AC = 12 nờn 2x + = 12
 Giải PT trờn ta được : x = 2,5
 AB = 2.2,5 = 5cm
	Chỳ ý: Ta cũng tớnh được chu vi tam giỏc ABC = 20cm .
	 Diện tớch tam giỏc ABC = cm. 
 Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BD là phõn giỏc. Biết rằng AD = 1cm;
 BD = cm. Tớnh độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phõn)
 Bài giải sơ lược
 Áp dụng định lớ Pitago tớnh được AB = 3cm. 
 Đặt BC = x , dựng Pitago tớnh được AC = .
 Do AD = 1 nờn DC = – 1 x
 Tam giỏc ABC cú BD là phõn giỏc gúc ABC nờn : 
 hay . Từ đú ta được phương trỡnh 8x2 – 6x – 90 = 0
 Xử dụng mỏy tớnh tỡm được x = 3,75cm
 Trả lời : BC = 3,75cm 
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; BD là phõn giỏc . Biết AD = 4cm; BD = cm . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC.
 (Nhập kết quả dưới dạng phõn số) 
 - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chỳ ý nhập kết quả 
 theo yờu cầu. 
Bài 5: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đỏy lớn CD = 10cm, đỏy nhỏ bằng đường 
 cao, đường chộo vuụng gúc với cạnh bờn . Tớnh độ dài đường cao của 
	hỡnh thang cõn đú.
 Bài giải sơ lược:
 Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x 
 AHD = BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) 
 Suy ra : DH = CK = . 
 Vậy HC = HK + CK = x + = 
 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc ADC vuụng ở A cú đường cao AH
 Ta cú : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100
 Giải phương trỡnh trờn ta được x = và x = – (loại)
 Vậy : AH = 
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao ứng với cạnh đỏy cú độ dài 
 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bờn dài 12cm. Tớnh độ dài cạnh đỏy BC.
Bài giải sơ lược:
 Đặt BC = 2x, từ tớnh chất của tam giỏc cõn ta suy ra CH = x
 Áp dụng định lớ Pitago tớnh được AC = 
 Từ hai tam giỏc vuụng KBC và HAC đồng dạng ta được:
 hay 
 Đưa về phương trỡnh 15,62 + x2 = 6,76x2
 Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5
	Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức :
 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 
Hướng dẫn: + = 900 sin = cos; cos = sin; ..... và cos450 = ta được:
 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 
 = (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 
 = (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + .... + (cos2 440 + sin2440) + – 
 = 1.44 = 44 
Bài tập tương tự: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
	a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – .
b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 . 
	c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 . 
Bài 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tớnh chu vi 
 của hỡnh chữ nhật ABCD ?
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tớnh x và y rồi suy 
 ra chu vi của hỡnh chữ nhật bằng 2(x + y)
 Cỏch 1: Ta cú SABCD = x.y hay x.y = 108
 Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1)
	Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 x + y = 21 
	Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
 Vậy chu vi của hỡnh chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm
 Cỏch 2: Từ x – y = 3 y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trỡnh:
	 x (x – 3) = 108 x2 – 3x – 108 = 0 (1) 
 x2 – 12x + 9x – 108 = 0
 ( x – 12)(x + 9) = 0
	Nghiệm dương của phương trỡnh x = 9. Từ đú tỡm y và trả lời kết quả.
 Lưu ý: Giải phương trỡnh (1) trờn mỏy tớnh để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú diện tớch 504 dm2.
Biết AB – AC = 47dm.
 Tớnh độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta cú: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đú ta được phương trỡnh:
	x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trờn mỏy tớnh x = 63
 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = cm. Hỡnh vuụng ADEF cạnh bằng 2 cm cú 
 D AB , E BC , F AC. Biết AB > AC và . Tớnh AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta cú x2 + y2 = = 45. (1)
	Hỡnh vuụng ADEF cú cạnh bằng 2 nờn 
	Mà nờn SABC = 9.Do đú: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
 Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9 
 Do x > y > 0 nờn x + y = 9 và x – y = 3 
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm cỏc đường phõn giỏc ,
	M là trung điểm BC. Cho biết .
	Tớnh BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chỳ ý ; I là giao điểm cỏc đường phõn giỏc 	 ta tớnh được , từ đú chứng minh được BC = 2CD 
	và AB = 2AD. Xử dụng tớnh chất đường phõn giỏc BD
	kết hợp với định lý pitago ta tỡm được mối quan hệ giữa 
	ba cạnh tam giỏc.
 Lời giải: 
 Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI AC . 
 (gúc ngoài tam giỏc BIC)
 = = (do BI và CI là phõn giỏc của cỏc gúc B và C và ABC 
 vuụng ở A); kết hợp với giả thiết ta được . Vậy CIM = CID (g.c.g)
 Do đú : CM = CD mà BC = 2CM nờn BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
 BD là phõn giỏc của tam giỏc ABC nờn hay = 2.
 Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)
 Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
 Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = (4)
 Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = . Vậy a = . Do đú c = .
 Vậy a : b : c = = = (): (1.4) : (.4) = 5 : 4 : 3 
 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3
Lưu ý: Bài toỏn này được trớch từ Quyển “Nõng cao và phỏt triển Toỏn 9- Vũ Hữu Bỡnh” cú sửa
 đổi để phự hợp với đề thi trắc nghiệm. 
Bài 11: Tớnh độ dài cạnh AB của tam giỏc ABC vuụng tại A cú hai đường trung tuyến AM và
 BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. 
 Hướng dẫn: 
 Đặt AB = x ; AN = y AC = 2y.
 Áp dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng ứng với cạnh huyền ta được
 BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
 Dựng định lớ Pitago cho hai tam giỏc vuụng ABC và ABN vuụng tại A
 Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 y2 = 81 – x2 (2)
 Thay (2) vào (1) ta được phương trỡnh :
 x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 
 Thu gọn phương trỡnh trờn ta được phương trỡnh : 3x2 = 180
 Nghiệm dương của phương trỡnh : x = 
 Trả lời: AB = cm
Bài 12: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tớnh cos A .
 Hướng dẫn: Kẻ cỏc đường cao AH và BK . Từ tớnh chất của tam giỏc cõn 
 và định lớ Pi ta go ta tớnh được CH = 5cm ; AH = 12 cm 
	Xử dụng cặp tam giỏc đồng dạng KCB và HCA ta tớnh được
CK = AK = Vậy cos A = = : 13 = 
 Trả lời: cos A = 
CHUYấN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HèNH 9
CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
 ...  – a)2 + BD2 +AC2 
Tđ BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab
Chỳ ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giỏc như sau:
HS cụng nhận hệ thức này ( sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số - hệ thức Chasles )
Ngày soạn : /./ 2009
Ngày giảng:.. /../ 2009
CHỦ ĐỀ 2 :
Sự xác định đường tròn Đường kính và dây của đường tròn
I./ Mục tiêu:
	* Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác.
	* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao
	* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.
*Củng cố về cách xác định đường tròn
*Vận dụng kt vào chứng minh bài tập về đường kính và dây của ( 0 )
*Rèn luyện kĩ năng vẽ hìng và chứng minh hình học
II/ Nội dung	
I. Kiến thức cơ bản:
	1) Sự xác định đường tròn – t/ c của đường tròn
- Định nghĩa : 
- Kí hiệu : ( 0; R ) hoặc ( 0 )
*Các cách xđ đường tròn : Biết
+ Tâm và R
+ Một đoạn thẳng là đường kính của nó
+ Ba điểm không thẳng hàng
*Tâm đối xứng : Là tâm đường tròn đó
* Trục đối xứng : Là đường kính
2) vị trí tương đối của hai đương tròn
1) Hai đường tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r
2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
a. Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r
b. Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 0
3) Hai đường tròn không giao nhau:
a. Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r 
b. Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r
	3) Các Ví Dụ minh hoạ:
Ví dụ1: ABCD là hình vuông. O giao 2 đường chéo , OA = cm . Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm A,B, C, D , O. Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đường tròn ?
Hướng Dẫn
OA = 2 = R O nằm bên trong (A)
AB = AD = 2 = R B , D nằm trên (A)
AC = 2 2 = R C nằm ngoài (A) 
Ví dụ2: 
 ABC cân nội tiếp (O) 
GT AHBC ; BC= 24; AC = 20
 a) AD là đường kính 
KL b) sđ ACD 
 c) AH ? R ?
Hướng Dẫn
a) ABC cân tại A (gt)
 AH BC (gt) 
 AH là trung trực của BC (1)
 AD là trung trực của BC (2)
Vì O nằm trên trung trực của BC
Nên O nằm trên trung trực của AD
Vậy : AD là đường kính (O)
b) ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD OC = AD ACD = 900 
c) Ta có : BH = HC = = = 12
 Pi ta go : AHC( = 1v)
AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 256
 AH = = 16
Đ/lí 1: b2 = a.b’
 AC2 = AD .AH AD = = = 25
 R = = = 12,5
Ví dụ3 : Cho (O) có bán kính OA = 3cm ; Dây BC của đường tròn OA tại trung điểm của OA . Tính BC ?
Hướng Dẫn
Gọi H là trung điểm OA
Có : OH = HA (gt)
Và BC OA tại H
 OBA cân tại B
OB = BA = R (1)
Mà OB = OA = R (2) 
Từ (1) và (2) 
OB = BA = OA = R
 OBA là đều = 600 (đpcm)
HB = OB.Sin = 3.Sin600 = 3.
Vậy : BC = 2.BH = 2.= 3 (cm)
Ví dụ4: Cho nửa (O) đường kính AB và dây E F không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường kẻ từ A, B đến E F
CMR: IE = KF
Hướng Dẫn
Kẻ OH E F
Ta có : tứ giác AIKB là hình thang 
 OB = OA = R (1)
 AI // BK (2) OH là đường trung bình
 HI = HK (2)
 Mà HE = H F Đ/lí đường kính dây cung (3)
 Từ (1) , (2) và (3) IE = F K ( đpcm)
Ví dụ5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Dây CD , các đường với CD tại C và D t/ứng cắt AB ở M,N 
CMR: AB = BN 
Hướng Dẫn
Từ O kẻ OI CD IC = ID ( đ/lí đường kính)
Tứ giác CDNM là hình thang có IC = ID (1)
 OI // CM // DN OI là đường TB
 OM = ON ( 1) mà OA = OB = R (2)
Từ (1) và (2) AM = BN (đpcm)
Ví dụ6: Cho (O) , A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M,N là tiếp điểm)
Chứng minh: OAMN
Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng : MC//AO
Tính độ dài các cạnh AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm 
 Chứng minh:
a) Chứng minh: OA MN
AMN cân tại A ( vì MA = NA ; t/c t2 )
OA là p/giác (t/c tiếp tuyến)
 OA là đường cao nên OAMN
b) H là giao điểm MN và OA 
Có ON = OC = R 
 HM = NM ( OA là trung tuyến ) 
 HO là đường trung bình MNC 
 HO // MC
Pi ta go vuông AON
AN = = 
Từ hệ thức lượng : AN.ON = AO . HN
 Hay : 4.3 = 5 HN
 HN = = 2,4
Mà HM = HN MN= 2.HN = 2. 2,4 = 4,8 
 AM = AN = 4 cm 
Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C nửa đường tròn . Kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn . Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng
a) CE = CF
b) AC là tia p/giác của BAE
c) CH2 = AE.BF
 Chứng minh:
 a) Ta có: AE d ; BF d AE // BF 
Tứ giác AEFB là hình thang
Mà : OA = OB = R
OC // AE // BF 
 CE = CF ( Đ/ lí đường TB )
b) AOC có : 
OC = OA = R AOC cân tại O
 = 
= ( so le vì AE // OC )
 = Nên AC là phân giác BC
c) CAE (= 1v) và CAH (= 1v) có
AC ( cạnh huyền chung )
 = CAE = CAH AE = AH
Tương tự : BF = BH
ABC có : OC = AB là trung tuyến AB
 ACB tại C 
Theo hệ thức lượng : 
CH2 = HA . HB
 = AE . BF ( đpcm)
Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA
a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I . Tính độ dài CI , biết OA = R 
Chứng minh:
a) Gọi H là giao điểm của OA và CD
Ta có : OA CD ( gt) 
 HC = HD ( đ/lí 2)
Mà tứ giác OCAD có : OH = HA ( gt) 
 HC = HD ( Cm trên)
 OCAD là hình bình hành 
Mà OA CD OCAD là H ình Thoi
b) AOC có : OC = CA ( cạnh H. Thoi)
 OC = OA = R 
 OC = CA = OA nên AOC đều 
Do đó : CA = 600 
Mà OCI tại C vì OCCI (gt)
CI = OC . tg600 = R
Ví dụ 9: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vẽ các đường tròn (I ; IA) và (B ; BA) 
a) (I) và (B) có các vị trí tương đối như thế nào ? vì sao ?
b) Kẻ một đường thẳng đi qua A , căt các (I) và (B) theo thứ tự tại M và N . So sánh các độ dài AM và MN ? 
Chứng minh:
a) IB = BA – IA = R – r 
nên (I) và (B) tiếp xúc trong tại A 
b) AMB có : OA = OB = r
 nên MI là đường trung tuyến của AB
 AMB vuông tại M AMB = 900 
Mà ABN cân tại B ( BA = BN = R )
 Có BM là đường cao , nên là đường trung tuyến AM = MN
Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn ( C (O) ; D (O’) )
a) Tíng sđ góc CAD
b) Tính độ dài CD . Biết OA = 4,5 cm , OA = 2cm 
chứng minh:
a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A , Cắt CD tại M
Ta có : MA = MC 
 MA = MD 
( Theo t/c tiếp tuyến)
 MA = MC = MD 
Nên ACD có đường trung tuyến ứng với cạnh CD AM = CD 
 ACD vuông tại A 
 CAD = 900 
b)Ta có MO , M0’ làtia phân giác hai góc kề bù AMC và AMD 
 OMO’ = 900
Nên OMO’ vuông tại M 
Nên MA là đường cao
Theo hệ thức lượng :
MA2 = OA.O’A = 4,5 . 2 = 9 
 MA = = 3
Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm)
	15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRềN ( TỰ LU Y ỆN)
Bài 1: Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O) đường kớnh AD. Gọi H là 
 trực tõm của tam giỏc .
Tớnh số đo gúc ABD
Tứ giỏc BHCD là hỡnh gỡ? Tại sao?
Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh 2OM = AH.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp đường trũn (O). Đường cao AH cắt 
 đường trũn ở điểm D. 
AD cú phải là đường kớnh của đường trũn (O) khụng ? Tại sao?
Chứng minh: BC2 = 4AH . DH
Cho BC = 24cm, AB = 20cm. Tớnh bỏn kớnh của đường trũn (O).
Bài tập 3. Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB. Gọi H là trung điểm OA. Dõy
 CD vuụng gúc với OA tại H.
Tứ giỏc ACOD là hỡnh gỡ? Tại sao?
Chứng minh cỏc tam giỏc OAC và CBD là cỏc tam giỏc đều.
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng.
Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH. HB .
 Bài tập 4. Hỡnh bờn cho biết AB = CD. Chứng minh rằng:
MH = MK.
MB= MD .
Chứng minh tứ giỏc ABDC là hỡnh thang cõn.
Bài 5. Cho đường trũn đường kớnh 10 cm, một đường thẳng d cỏch tõm O một 
 khoảng bằng 3 cm. 
Xỏc định vị trớ tương đối của đường thẳng d và đường trũn (O).
Đường thẳng d cắt đường trũn (O) tại điểm A và B. Tớnh độ dài dõy AB.
Kẻ đường kớnh AC của đường trũn (O). Tớnh độ dài BC và số đo (làm trũn đến độ).
Tiếp tuyến của đường trũn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tớnh độ dài BM.
Bài 6. Cho tam giỏc ABC nhọn, đường trũn đường kớnh BC cắt AB ở N và cắt AC ở 
	 M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
	 1. Tớnh số đo cỏc gúc BMC và BNC.
	 2. Chứng minh AH vuụng gúc BC.
	 3. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.
Bài 7.	Cho đường trũn tõm (O;R) đường kớnh AB và điểm M trờn đường trũn sao cho 
	 Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại H.
	1. Chứng minh AM và AN là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (B; BM):
 2. Chứng minh MN2 = 4 AH .HB .
	3. Chứng minh tam giỏc BMN là tam giỏc đều và điểm O là trọng tõm của nú.
	4. Tia MO cắt đường trũn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.
	 Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng. 
Bài 8. Cho đường trũn (O) và điểm A cỏch O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới 
	 đường trũn (B là tiếp điểm).
Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc OAB.
Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trờn đường trũn O và AC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
AO cắt đường trũn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tõm tam giỏc ABC.
Bài 9. Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là 
 hai tiếp điểm)	. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
Chứng minh OA BC và tớnh tớch OH. OA theo R
Kẻ đường kớnh BD của đường trũn (O). Chứng minh CD // OA.
Gọi E là hỡnh chiếu của C trờn BD, K là giao điểm của AD và CE.
Chứng minh K là trung điểm CE.
Bài 10. Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C 
là cỏc tiếp điểm). Kẻ BE AC và CF AB ( E ), BE và CF cắt nhau tại H.
Chứng minh tứ giỏc BOCH là hỡnh thoi.
Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
Xỏc định vị trớ điểm A để H nằm trờn đường trũn (O).
Bài 11. Cho đường trũn (O ; 3cm) và điểm A cú OA = 6 cm. Kẻ cỏc tiếp tuyến AB 
	 và AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC
Tớnh độ dài OH.
Qua điểm M bất kỡ thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường trũn, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tớnh chu vi tam giỏc ADE.
Tớnh số đo gúc DOE.
Bài 12. Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB. Gọi Ax , By là cỏc tia vuụng 
 gúc với AB( Ax , By và nửa đường trũn thuộc cựng một nửa mặt phẳng 
bờ AB). Qua điểm M bất kỡ thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn, cắt By ở N.
Tớnh số đo gúc MON. 
Chứng minh MN = AM + BN.
Tớnh tớch AM. BN theo R. (sỏch bài tập toỏn 9- trang 135)
Bài 13: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hỡnh 
	chiếu của điểm H trờn cỏc cạnh AB và AC.
	1. Chứng minh AD. AB = AE. AC 
	2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE 
 là tiếp tuyến chung của hai đường trũn (M; MD) và (N; NE).
 3. Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH.Giả sửAB = 6cm,
	 AC = 8 cm . Tớnh độ dài PQ.
Bài 14. Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến 
 chung ngoài của hai đường trũn ( với (O) và D (O’) ).
Tớnh số đo gúc CAD.
Tớnh độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm.
Bài 15. Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung 
	ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M 
 qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng :
MNQP là hỡnh thang cõn.
PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường trũn (O) và (O’) .
MN + PQ = MP + NQ.