Toán 9 - Chủ đề tự chọn: Cực trị hình học

Chủ đề tự chọn: 
CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Giáo viên : Trần Anh Vũ
 I/Đặt vấn đề :
Trong chương trình hiện nay , môn học tự chọn mang tính bắt buộc , nhưng tài liệu phục vụ cho việc dạy và học môn này còn hạn chế .Trong quá trình dạy học tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 bản thân tôi đã viết chủ đề này nhằm giúp cho học sinh đào sâu hơn kiến thức đã được học , tập thói quen tự học , tập dượt nghiên cứu những vấn đề đơn giản và phục vụ cho những em có khả năng học và hứng thú với bộ môn Toán. 
 II/Cơ sở lý luận:
+ Theo hướng dẫn dạy học tự chọn cấp THCS và THPT số 8607/BGDĐT –GDTrH ban hành ngày 16/8/ 2007 của bộ Giáo dục và Đào tạo.
+ Theo hướng dẫn của Sở GD &ĐT Quảng Nam năm 2006 về chương trình khung bồi dưỡng HS giỏi môn Toán THCS.
+ Phương pháp dạy các chủ đề tự chọn nâng cao hướng vào bổ sung , nâng cao kiến thức khai thác sâu chương trình, rèn luyện kỹ năng và tư duy sáng tạo cho học sinh.
+Rèn luyện cho các em có năng lực học tập , nâng cao khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức Toán học vào các bộ môn khác .
 III/ Cơ sở thực tiễn:
+Đây là dạng toán hình học được sử dụng trong chương trình hình học THCS . Tuy nhiên trong sách giáo khoa không có hướng dẫn phương pháp giải toán một cách cụ thể ,vì vậy học sinh thường lúng túng khi gặp dạng toán này.
	+Trong quá trình dạy chủ đề tự chọn loại nâng cao và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 , bản thân tôi đã tìm hiểu nhiều tài liệu và nhận thấy đây là dạng toán tương đối khó , tuy nhiên phần nhiều các tài liệu chỉ đưa ra bài tập và bài giải chứ ít đề cập đến lý thuyết vì vậy học sinh ít giải được dạng toán này do không hiểu đề, không tìm ra lời giải hoặc có khi chỉ đơn giản là không trình bày bài giải được. 
	+ Các bài toán cực trị gắn toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
 IV /Nội dung nghiên cứu :
Phần 1: Giới thiệu chung:
Tên chủ đề : Cực trị hình học
Loại chủ đề: Nâng cao
Mục tiêu : Sau khi học xong chủ đề này học sinh cần đạt được :
+ Kiến thức : Cùng với kiến thức sách giáo khoa, hệ thống được kiến thức hình học trong chương trình THCS , biết giải bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất trong hình học.
+ Kỹ năng : Biết nhận ra các dạng bài tập có liên quan đến tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất trong hình học và vận dụng được các kiến thức đã học để giải chúng .
+ Thái độ : Có ý thức tự học , cẩn thận , chính xác, sáng tạo.
Thời lượng : 8 tiết
Phần 2A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình học: 1 tiết
Phần 2B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học : 3 tiết
Phần 3 -Bài tập ôn luyện : 3 tiết
Kiểm tra : 1 tiết
Hướng dẫn tự học:
+ Đọc kỹ và hiểu được phần 2A : Phương pháp giải các bài toán cực trị hình học.
+ Đọc kỹ phần 2B : các kiến thức cần nhớ và các ví dụ sau đó tự làm các ví dụ và so sánh với bài giải trong chủ đề để rút kinh nghiệm.
+ Dựa vào các ví dụ , làm các bài tập. Nếu chưa giải được hãy đọc phần hướng dẫn giải. Phần hướng dẫn giải chỉ là bài giải chưa hoàn chỉnh , hãy trình bày bài giải đầy đủ và cụ thể.
 + Sau khi học hết chủ đề tự làm bài kiểm tra.
Phạm vi áp dụng : 
Tài liệu này dùng cho :
+Học sinh khá , giỏi và ham thích bộ môn Toán
+Dạy học tự chọn môn Toán lớp 9(nâng cao)
+Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9.
Phần 2: Kiến thức trọng tâm
A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.
1- Dạng chung của bài toán cực trị hình học :
“ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :
a) Bài toán về dựng hình .
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn , xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
b) Bài toán vể chứng minh .
Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
c) Bài toán về tính toán.
Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
 2- Hướng giải bài toán cực trị hình học :
 a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :
	+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số )
	+Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m
 b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được :
	+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số )
	+Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m 
 3 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .
	+ Cách1 :Trong các hình có tính chất của đề bài,chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.
+ Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu.
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O).Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.	
Giải :
+Cách 1 :
H
O
C
D
A
B
P
h .1
	Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1). 
	Kẻ OH ^ CD . 
DOHP vuông tại H Þ OH AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất .
+Cách 2 :
H
O
A
B
P
h .2
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ^ AB 
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất Û OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP 
OH = OP Û H ≡ P
Do đó maxOH = OP 
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học.
Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc , đường xiên , hình chiếu .
a-Kiến thức cần nhớ:A
B
H
C
h.4
a
A
B
H
K
a
b
h.5
A
B
C
h.3
a1) DABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) Þ AB ≤ BC . 
Dấu “=” xảy ra Û A ≡ C . ( h.3 )
a2) ( h.4 )
+ AH ^ a Þ AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra Û B ≡ H .	
+ AB < AC Û HB < HC
a3)( h.5 )
A,K Îa; B, H Îb; a // b ; HK ^ a Þ HK ≤ AB 
Dấu “=” xảy ra Û A ≡ K và B ≡ H .
b-Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.
A
C
D
B
O
H
A
B
C
D
O≡H
h.6
h.7
Giải :
Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH ^ AC .
 Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :
SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)
SABCD = 24 cm2 Û BH ≡ BO Û H ≡ O Û BD ^AC
Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .
A
D
B
C
E
K
F
G
H
H
O
h.8
Giải :
DHAE = DEBF = DFCG = DGHD
Þ HE = EF = FG = GH 
Þ EFGH là hình thoi .
Þ Þ 
Þ 
Þ EFGH là hình vuông 
Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.
DHOE vuông cân : HE2 = 2OE2 Þ HE = OE
Chu vi EFGH = 4HE = 4OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất Û OE nhỏ nhất 
Kẻ OK ^AB Þ OE ≥OK ( OK không đổi )
OE = OK Û E ≡ K
Do đó minOE = OK
Như vậy , chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.
C 
A
B
K
H
D
M
1
2
y
x
h.9
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D .xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .Tính diện tích tam giác đó.
Giải:
Gọi K là giao điểm của CM và DB 
MA = MB ; , 
Þ DMAC = DMBK Þ MC = MK
Mặt khác DM ^CK 
Þ DDCK cân Þ 
Kẻ MH ^ CD .
 DMHD = DMBD Þ MH = MB = a
Þ SMCD =CD.MH ≥ AB.MH =2a.a= a2
SMCD = a2 Û CD ^ Ax khi đó = 450 ; =450. 
Vậy min SMCD = a2 . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BC =a .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có là góc tù , điểm D di chuyển trên cạnh BC . Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD có giá trị lớn nhất .
C
A
B
D
F
E
h.10
H
Giải:
Gọi S là diện tích DABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :
SABD + SACD = S
Kẻ BE ^AD , CF ^ AD 
ÞAD.BE +AD.CF = S
Þ BE +CF = 
Do đó BE + CF lớn nhất Û AD nhỏ nhất Ûhình chiếu HD nhỏ nhất 
Do HD ≥ HB ( do >900 ) và HD = HB Û D ≡ B 
Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .
Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
a-Kiến thức cần nhớ:
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC +CB ≥ AB
AC +CB = AB Û C thuộc đoạn thẳng AB
b-Các ví dụ:
Ví dụ 5:Cho góc và điểm A nằm trong góc đó . Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .
h.11
O
x
A
B
C
D
m
y
Giải:
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .
OD =OA, OC = OB , 
Þ DDOC = DAOB Þ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD 
Mà AC +CD ≥ AD
ÞAC +AB ≥ AD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ÎAD
Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.12
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.12
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.13
 Giải :
Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).
DAEF vuông tại A có AI là trung tuyến Þ AI =1/2EF
DCGH vuông tại C có CM là trung tuyến Þ CM =1/2GH
IK là đường trung bình của DEFG Þ IK = 1/2FG
KM là đường trung bình của DEGH Þ KM = 1/2EH
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC 
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A,I,K,M,C thẳng hàng.
Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, nên EF//DB , tương tự GH//DB .Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).
Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.
C
C
a-Kiến thức cần nhớ:
h.14
h.15
h.16
h.17
C
D
A
B
O
O
A
O
B
C
D
D
A
B
A
B
C
D
D
H
K
a1) AB là đường kính , CD là dây bất kỳ Þ CD ≤ AB (h.14)
a2) OH,OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD : 
AB ≥ CD Û OH ≤ OK (h.15)
a3) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD Û (h.16)
a4) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD Û (h.17)
b-Các ... , MD ≥ MH .
2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK =. =
minSMDE = Û D ≡ H và E ≡ K
Bài 4 : Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .
h.33
K
A
B
M
D
C
1
2
x
y
Hướng dẫn: (h.33)
Gọi K là giao điểm của AC và BD .
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB
Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
;
Þ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó : min (S1 +S2) = Û M là trung điểm của AB.
Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.
h.34
A
M
B
Q
H
P
C
N
y
I
h-x
Hướng dẫn: (h.34)
Gọi I là giao điểm của AH và MN
Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h - x
DAMN D ABC 
Þ 
Þ SMNPQ = xy = . x(h - x)
Þ SMNPQ lớn nhất Û x(h - x)lớn nhất 
 x +(h - x) = h không đổi nên
 x(h - x) lớn nhất Û x = h - x Û x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của DABC
Bài 6 : Cho D ABC vuông tại A . Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn: (h.35)
h.35
A
K
B
H
M
C
N
I
E
Kẻ AH ^BC , IE ^AH 
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.
IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2
IM = EH
 nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2 
Đặt AE = x , EH =y ta có :
 Þ IK2+ IN2 + IM2 ≥ . 
Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.
A
h.36
B
C
M
N
KKK
x
n
z
m
y
k
I
Bài 7 : Cho tam giác nhọn ABC .Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z .
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn: (h.36)
Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
 BC = a , AC = b , AB = c .
x2 +y2 +z2 = 
=(IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 )
= (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2 
Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2
 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 
x2+ k2 ≥ 	y2+ m2 ≥	
 z2 + n2 ≥ 
Þ x2 +y2 +z2 ≥ . 
min(x2 +y2 +z2 ) = Û x = k , y = m , z = n.
Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.
Bài 8 : Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
h.37
Hướng dẫn: (h.37)
Kẻ OH ^CD , ta tính được OH = 4cm
SABFE = 1/2(AE + BF).EF 
= OH.EF £ OH. AB = 4.10 =40
max SABEF =40 cm2
Û EF // AB , khi đó OH ^ AB
h.38
Bài 9 : Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.
Hướng dẫn:(h.38)
Đặt CM = m , CN = n , MN = x
m + n + x = 2CD = 2a và m2 +n2 = x2 
Do đó : x2= m2 +n2 ≥ 
2x2 ≥ ( 2a - x)2 Þ ≥ 2a - x
x ≥ 
min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của , AN là phân giác của 
Bài 10 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất .
h.39
a
a
Hướng dẫn:(h.39)
Kẻ OD ^ AB ; O’E ^ AC ta có:
SABC = AB.AC =.2AD.2AE= 2.AD.AE
Đặt OA =R ; O’A = r ;
AD = R sina ; AE = r cosa 
Þ SABC = Rr. 2sina .cosa 
2sina .cosa £ sin2a + cos2a =1
SABC £ Rr
Do đó : 
max SABC = Rr Û sina = cosa Û sina = sin( 900- a ) Û a = 900 - a Û a = 450.
 Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc thì D ABC có diện tích lớn nhất .
Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn . Vẽ tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH . Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: (h.40)
DEFG là hình bình hành.
Kẻ OI ^FH , ta có OI là đường trung bình của D BHC nên OI = ½ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên Þ OI = ½ OM Þ GD = ½ OM 
Mà ED = ½ OM Þ EG = GD 
Þ DEFG là hình thoi
ÞÞDEFG đều
Þ SDEFG =2SEFG = 2. = £ = 
max S = Û H ≡ B Û Û Û AC = R.
Bài 12 : Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .
Chứng minh rằng : 
h.41
A
B
K
D
z
C
I
H
·O
x
y
·
M
E
c
b
Tìm vị trí của điểm D để tổng nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.41)
a) Lấy E trên BC sao cho 
DCDE đồng dạng với D ADB
Þ 
Tương tự DBDE đồng dạng với D ADC
Þ
Þ
b) == Do đó S nhỏ nhất Û nhỏ nhất Û x lớn nhất Û D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
h.42
A
B
P
Q
C
O
H
M
Bài 13 : Cho DABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh BC .Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.42)
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a
PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina
Do a không dổi nên 
PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.
Bài 14 : Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.
 Hướng dẫn: (h.43)
Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC
Đặt AB = 2a , AC =2x thì r1 = a , r2= x Suy ra BC =2a - 2x và r3 = a - x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Ta có : =
h.43
S lớn nhất Û x( a -x) lớn nhất 
Mặt khác x + (a - x) = a không đổi nên 
 x( a -x) lớn nhất Û x = a - x Û x = Û C ≡O1
Lúc đó ta có S =
Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kính đường tròn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1) và(O2) .
Hướng dẫn: 
Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O2 ) (h.44)
Xét DOO1O2 ta có : O1O2 £ O O1 +OO2
Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x) Þ 6x £ 2R Þ x £ 
Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O1)và (O2 ) , ta có :
 S = 
Do x £ nên x2 £ Þ S ≥ ;	
min S = Û x =
Khi đó O1,O,O2 thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O1) và (O2 ) là và (h.45).
V/ Kết quả nghiên cứu:
Qua việc áp dụng đề tài để dạy chủ đề tự chọn ( nâng cao ) và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường và bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện , đề tài đã giúp các em nắm vững được phương pháp giải toán , khắc phục được những hạn chế trong việc giải toán cực trị hình học ; vận dụng được các kiến thức đã học trong thực tế ,phát huy được khả năng tư duy sáng tạo của các em.
Trong các năm gần đây viêc áp dụng đề tài này vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường và cấp huyện đã có kết quả đáng kể , nhiều em đã đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh.
VI/ Kết luận:
	Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy chủ đề này có thể áp dụng được cho việc dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh tiếp thu tốt có hiệu quả . những em ham thích bộ môn Toán và có năng khiếu học Toán có thể sử dụng tài liệu này để tự học, tự nghiên cứu. Học sinh có hứng thú hơn , tự tin hơn khi học Toán. 
VII/ Đề nghị:
	Hiện nay tài liệu tham khảo dạy và học môn Toán rất nhiều ( sách , báo , internet ) , nhưng để sử dụng một cách có hiệu quả vào việc giảng dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên cần phải có sự đầu tư một cách thích đáng về thời gian và trí tuệ . Do vậy kính đề nghị Phòng Giáo dục và Đào tạo tổng hợp và giới thiệu các chủ đề tự chọn có chất lượng để giáo viên và học sinh trong huyện tham khảo và sử dụng. 
VIII/ Phụ lục: 
Đề kiểm tra (tham khảo)
Thời gian : 45 phút
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 , điểm M nằm trên đường chéo BD .
a) Nêu cách dựng đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng đường tròn (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB,BC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi .
c) Xác định vị trỉ của điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất . 
2-Đáp án , biểu điểm :
a) Qua M kẻ đường vuông góc với BD cắt AB,BC,CD,DA tại P,Q,F,E .
H
J
Do AB,BC tiếp xúc với (K) nên K Î MB
PQ ^ KM nên PQ là tiếp tuyến của (K)
Vậy (K) là đường tròn nội tiếp DPBQ 
Tương tự (I) là đường tròn nội tiếp DEDF (2 đ)
b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) và (K) bằng:
 2p.IM + 2p.MK = 2p .IK 
 MD = ID +IM =
 MB = KB +MK =
Þ BD = MD + MB = =IK
Þ IK = Do BD = AB =
Þ IK = ( - 1) = 2 - 
Vậy tổng chu vi hai đường tròn bằng 2p(2 - ) (4 đ)
Gọi x và y là bán kính các đường tròn (I) và(K) 
Ta có : x + y = 2 - 
Gọi S1 ,S2 là diện tích các hình tròn trên 
S1 + S2 = px2 +py2 = p(x2 + y2 ) ≥
S1 + S2 nhỏ nhất Û x =y Û M là trung điểm của BD. ( 4đ)
IX/ Tài liệu tham khảo:
	1-Sách Giáo khoa Toán 7,8,9 – Nhà xuất bản Giáo dục -2007
	2- Các bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng ở THCS- Vũ Hữu Bình ( chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục -2004
	3-Toán tổng hợp hình học 9 -Nguyễn Đức Chí , Nguyễn Ngọc Huân, Bùi Tá Long - Nhà xuất bản TP.Hồ Chí Minh -1996
X/ Mục lục:
I/
Đặt vấn đề ------------------------------------------------------------------ 
Trang 1
II/
Cơ sở lý luận---------------------------------------------------------------
Trang 1
III/
Cơ sở thực tiễn-------------------------------------------------------------
Trang 1
IV/
Nội dung nghiên cứu -----------------------------------------------------
Trang 2
 Phần 1: Giới thiệu chung---------------------------------------------
Trang 2
 Phần 2: Kiến thức trọng tâm-----------------------------------------
Trang 3
 A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.-----------------
Trang 3
 B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học-
Trang 4
 Phần 3: Bài tập ôn luyện----------------------------------------------
Trang 15
V/
Kết quả nghiên cứu:------------------------------------------------------- 
Trang 22
VI/
Kết luận:-------------------------------------------------------------------- 
Trang 22
VII/
Đề nghị:-------------------------------------------------------------------- 
Trang 22
VIII/
Phụ lục: --------------------------------------------------------------------- 
Trang 22
ĨX/
Tài liệu tham khảo:------------------------------------------------------- 
Trang 23
X/
Mục lục:--------------------------------------------------------------------- 
Trang 24
Tiên Kỳ, ngày 25 tháng 2năm 2010
 Người viết
Trần Anh Vũ