Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản

Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa 
1. Kiến thức:
Để chứng minh A>B ta đi chứng minhA-B>0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức 
2. Các ví dụ:
* Ví dụ 1: x,y, z chứng minh rằng
Giải: 
Ta xét hiệu 
b.Ta xét hiệu
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
* Ví dụ 2: Chứng minh rằng
a. 
b. 
c. Hãy tổng quát bài toán
Giải:
 a. Ta xét hiệu
 Vậy 
 Dấu bằng xảy ra khi a=b
 b. Ta xét hiệu
Vậy 
 c.Tổng quát
Tóm tắt các bước để chứng minh A B theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H =A-B
Bước 2: Biến đổi H=( C+D) hoặc (C+D)++(E+F)
Bước 3: Kết luận A B
Bài tập nâng cao
Cho abc=1 và a>36 chứng minh rằng
2. Chứng minh rằng : Với mọi số thực x,y,z ta có
 a. 
 b. 
Gợi ý
2. a.Ta xét hiệu 
	H=x+y+z+1-2xy+2x-2xz-2x
	=(x-y)+(x-z)+(x-1)
 H>0 ta có đpcm
 b.Vế trái có thể viết
 H=(x-2y +1)+(y-1)+1
	Suy ra H >0 ta có đpcm.
Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương
1. Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
(AB) = A2AB +B
(A+B+C) = A+B+C+2AB +2AC +2BC 
(AB) = A 3AB +3AB B
AB =(AB)(A+AB+B)
2.Các ví dụ
 *Ví dụ1: 
Cho a,b, c d,e là các số thực chứng minh rằng:
 a. 
b. 
c. 
Giải:
 a. 
 ( Bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy ( Dấu bằng xảy ra khi 2a=b suy ra a= ).
 b. 
Bất đẳng thức cuối đúng 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c. 
Bất đẳng thức đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh.
 * Ví dụ 2: Chứng minh rằng
	(1)
Giải
Bất đăng thức cuối cùng đúng, vậy ta có điều phải chứng minh
 * Ví dụ 3: Cho xy=1, x>y . Chứng minh rằng
	Giải:
 vì x>y nên x-y>0
 Vì xy=1 nên 2xy=2
Điều này luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức đã biết
 1.Một số bất đẳng thức hay dùng:
	1. 
	2. 
	3. 
	4.
2.Các ví dụ 
* Ví dụ 1: Cho a,b ,c là các số không âm, chứng minh rằng:
Giải:
 Dùng bất đẳng thức phụ 
 Ta có 
Vậy ta có điều phải chứng minh.
 * Ví dụ 2: Cho a,b,c,d >0 và abcd =1. Chứng minh rằng
 Giải:
 Do abcd=1 nên ( Dùng )
Ta có
	(1)
Mặt khác 
	Vậy 
 Phương pháp 4: sử dụng tính chất bắc cầu 
 1. Kiến thức: 
A>B và B>C thì A>C
0<x<1 thì x<x
Các ví dụ 
* Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d >0 thoả mãn a>c+d, b>c+d
	Chứng minh rằng ab>ad+bc
Giải:
Ta có
	Ta có điều phải chứng minh.
 * Ví dụ 2: Cho a,b,c >0 thoả mãn a+b+c= 
Chứng minh
	Giải:
 Ta có 
	(Vì a+b+c= )
 Chia cả hai vế cho abc>0 ta có (đpcm)
* Ví dụ 3: Cho 0< a,b,c,d <1. Chứng minh rằng:
 (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) >1-a-b-c-d
 Giải: 
 Ta có (1-a)(1-b)=1-a-b+ab
 Do a>0, b>0 nên ab>0 . Suy ra (1-a)(1-b) >1-a-b (1)
 Do c0 ta có
 (1-a)(1-b)(1-c) >(1-a-b )(1-c) = 1-a-b-c+ca+cb
 Do a,b,c,d>0 nên ca+cb>0 . 
Suy ra (1-a)(1-b)(1-c) > (1-a-b-c) (2)
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> (1-a-b-c) (1-d) = 1-a-b-c-d +ad+bd+cd
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> 1-a-b-c-d . 
 (Điều phải chứng minh)
* Ví dụ 4: Cho . Chứng minh rằng
	Giải:
	Do và
 Ta có
 (1)
 Mà (2)
 Từ (1) và (2) suy ra 
 Tương tự ta có 	
 Cộng các bất đẳng thức ta được 
	(điều phải chứng minh)
* Ví dụ 5 : So sánh 31 và 17
Giải :
Ta thấy 
Mặt khác 
Vậy hay 31< 17
 Phương pháp 5: Dùng tính chất của tỉ số
Kiến thức: 
* Cho a,b,c là các số dương thì 
a. Nếu thì 
 b. Nếu thì 
 * Nếu a,b,c,d >0 và thì 
 2. Các ví dụ
 * Ví dụ 1: Cho a,b,c,d >0 chứng minh rằng
Giải:
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 	(1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) ta có 	(3)
Tương tự ta có
 	(4)
 	(5)
 	(6)
Cộng vế với vế của (3), (4), (5),(6) ta có 
 (Điều phaỉ chứng minh)
* Ví dụ 2: Cho và b,d >0 chứng minh rằng 
Giải:
Từ 
Vậy (Đó là điều cần chứng minh).
*Ví dụ 3: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thoả mãn 
 a+b=c+d=1000 .Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải 
 Không mất tính tổng quát giả sử 
Từ Vì a+b=c+d
+ Trường hợp 1: Nếu thì 
+ Trường hợp 2: Nếu b=999 thì a=1
Đạt giá trị lớn nhất khi d=1 , c= 99
Vậy giá trị lớn nhất của =999+đạt được khi a=d=1; c=b=999
 Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 
Kiến thức: 
Nếu a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác thì a,b,c>0 và 
Các ví dụ 
 * Ví dụ 1: Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. 
 Chứng minh rằng.
 a. 
 b. 
Giải: 
Vì a,b,c là số do ba cạnh của tam giác nên ta có
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 .(Điều phải chứng minh)
Ta có
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
Đó là điều phải chứng minh.
 Phương pháp 7: Đổi biến số
 Ví dụ: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: 	(1)
Giải:
Đặt x=b+c; y=c+a ; z=a+b ta có:
Ta có (1) 
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì 
Vậy ta có điều phải chứng minh