Toán 9 - Hai mặt phẳng vuông góc

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN:
A.Kiến thức cơ bản:
1.Góc giữa hai mặt phẳng:
a) Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0o.
b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:
	Cho (P) (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c
 Trong (P) qua I kẻ a c.Trong (Q) qua I kẻ b c.
	Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b).
c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos.
	Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q), = góc ((P), (Q)).
2.Hai mặt phẳng vuông góc:
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90o.
	+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)(Q) hay (Q) (P).
b)Tính chất :
* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
	Tóm tắt : (P)(Q) .
* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
	Tóm tắt : (P)(Q), (P) (Q) = c, a 
* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
	Tóm tắt : (P)(Q), A 
* Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vuông góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó .
	Tóm tắt: (P) 
* Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
	Tóm tắt: a 
3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
a)Hình lăng trụ đứng:
* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b)Hình lăng trụ đều: 
* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy .
c)Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
d)Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
e)Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
a)Hình chóp đều:
* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
* Nhận xét:
	+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
	+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.
	+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau.
b)Hình chóp cụt:
* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
* Nhận xét:
	+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau.
	+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
	+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.
B.Kĩ năng cơ bản:
1. Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
	Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
2. Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng
	Phương pháp: Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
II.CÁC VÍ DỤ: 
1/ Loại toán tự luận:
S
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA (ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC.
CMR: a) S, H, E thẳng hàng
 b) (SBC) (SAE), (SBC) (CFH).
 c) OH (SBC).
Giải:
H
+ SA (ABC), AE BC SE BC
 (Theo định lí 3 đường vuông góc)
C
A
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên 
S, H, E thẳng hàng
O
E
F
* Ta có : BC AE, BC SE 
BC (SAE)
B
Mà BC (SBC) nên (SBC) (SAE).
 * Vì SA (ABC) SA CF và AB CF 
Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC CH SB
Từ đó suy ra SB (CFH), mà SB 
Theo chứng minh trên ta có:
+ BC (SAE), OH 
+ SB (CFH), OH 
Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)OH (SBC).
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
	a)CMR: (SAB) (SAD), (SAB) (SBC).
	b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
	c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) (SDI).
D
t
S
H
I
B
C
Giải:
a)* Gọi H là trung điểm của AB.
- Vì SAB là tam giác đều SH AB.
Do (SAB) (ABCD), 
(SAB) (ABCD) = AB
SH (ABCD) SH AD (1)
- Vì ABCD là hình vuông AB AD (2)
- Từ (1) và (2) AD (SAB).
Mà AD (SAD). Vậy (SAD) (SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC) (SAB)
A
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)
 và (SBC):
- Ta có AD (SAD), BC (SBC), AD // BC (SBC) = St // AD
- Vì (SAD) (SAB), (SBC) (SAB) St (SAB) St SA, St SB
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
* Tính góc ASB:
 Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60o.
c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HCDI
Mặt khác do SH (ABCD) SH DI.
Vậy DI (sHC), mà DI 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO (ABCD), Đặt SO = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN) (SAB), (SMN) SCD).
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để 2 mặt phẳng đó vuông góc.
Giải:
a)* Ta có SO (ABCD) 
Từ giả thiết MN AB
, mà AB 
nên (SAB) (SMN)
Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) bằng 90o
 * Lập luận tương tự ta có (SCD) (SMN)
D
A
S
t
B
C
góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90o
M
* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h
N
 tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông
O
 góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) 
và (SCD):
- AB 
- Vì (SAB) 
Do SM góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa 2 đường thẳng SM và SN. Giả sử góc MSN = .đặt = góc (SM,SN) cos= cos
 *Tính góc :
- Ta có SM2 = SN2 = h2 + a2, MN = 2a.
- Xét tam giác SMN: MN2 = SM2 + SN2 – 2 SM.SN.cos
4a2= 2(h2 + a2) – 2(h2+ a2).coscos= cos (1)
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là mà cos thoả mãn (1)
 *(SAB)(SCD) = 90o cosh = a.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC).
Giải:
* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng 
H
C
B
A
D
B’
C’
A’
D’
(A’BC) và (A’DC):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập
 phương nên 
 và 
BD (1)
- Trong mặt phẳng (A’DC)
 kẻ DH A’C (2)
- Từ (1) và (2) 
Vì (A’BC) nên góc giữa
 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC) là góc
 giữa 2 đường thẳng BH và DH.
Do vậy nếu gọi là góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC), là góc BHD thì 
 (nếu ) hoặc (nếu )
* Tính :
- Xét có A’D
- Vì 
- Xét BD2 = BH2 + DH2 - 2BH.DH.cos
coscoss=- 
Vậy góc giữ 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC) bằng 600
2/ Loại toán trắc nghiệm:
Ví dụ 5: Mệnh đề nào sau đây đúng:
(A). Góc giữa 2 mặt phẳng luôn là góc nhọn
(B). Góc giữa (P) và (Q) bằng h góc giũa (P) và (R) khi (Q) // (R) hoặc (Q)(R)
(C). Góc giữa (P) và (Q) bằng h góc giũa (P) và (R) th ì (Q) // (R).
(D). Cả 3 mệnh đề trên đều đúng.
	Đáp án: (B).
	HD: Dựa vào định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Góc giữa mặt phằng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
(B). Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
(C). Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng mà tan= 
(D). Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
	Đáp án: (A)
	HD: Giả sử O = AC và hình lập phương có cạnh là a.
đặt = góc A’OA là góc giữa mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ABCD)
Dễ dàng chứng minh được góc giữa mặt phẳng (A’BD) với các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương đều bằng và tan=
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). 
(B). 
(C). 
(D). mp(a,b)
	Đáp án: (B)
	HD: Theo điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc
Ví dụ 8: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng n sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
(B). Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
(C). Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 mặt phẳng thì song song với nhau.
(D). Ba mệnh đề trên đều sai
	Đáp án (D)
Ví dụ 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
(A). Nếu hình hộp có 2 mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương.
(B). Nếu hình hộp có 3 mặt chung 1 đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
(C). Nếu hình hộp có 6 mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.
(D). Nếu hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.
	Đáp án: (B).
	HD: Nếu hình hộp có 3 mặt chung 1 đỉnh là hình vuông thì 6 mặt của nó đều là hình vuông nên nó là hình lập phương.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với (P)?
(A). Không có. (B). Có một
(C). Có một hoặc vô số (D).Có vô số
	Đáp án: (C).
	HD: + Nếu a không vuông góc với (P) thì có 1
 + Nếu a vuông góc với (P) thì có vô số.
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA (ABC) và SA = 
Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
(A). Oo (B). 30o (C). 60o (D). 90o
 b) Góc giữa (SAB) và (SAC) bằng:
(A). 30o (B). 45o (C). 60o (D). 90o
 c) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng:
(A). 30o (B). 45o (C). 60o (D). 90o
	Đáp án: a) (D). b) (C). c) (A).
	HD: a) SA góc (SAB,ABC) = 90 o
 b) SA 
 Góc (SAB,SAC) = góc BAC = 60o
+ Gọi M là trung điểm BCGóc(SBC,ABC) = Góc SMA = .
+ Xét tam giác vuông SMA có SA = tan
Ví dụ 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đội một vuông góc với nhau. Gọi tương ứng là các góc tạo bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Khi đó 3 góc thoả mãn điều kiện nào dưới đây?
(A). cos2+ cos2+ cos2= 2 (B).sin2+sin2+sin2 =2
A
(C). tan2+ tan 2+ tan2= 2 (D). cot2+ cot2 + cot2 =2
 Đáp án (B)
F
 HD: * Xác định :
D
+ Gọi H là trực tâm của tam giác
 ABC 
Và CH
E
H
O
C
= góc ODH.
+ Tương tự = góc OEH, = góc 
OFH (xem hình vẽ)
B
 * 
+ Xét tam giác vuông ODH có sin2 
Vì trong tam giác vuông OAB có OD AB 
+ Tương tự sin2 
Từ đó suy ra: 
Vì 
III. Bài tập:
1/ Bài tập tự luận:
Cho tứ dien ABCD có ABCD và AH(BCD)
CMR: (ABH) (BCD) và (ABH) (ACD)
Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Cho hình chóp S.SBCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a
CMR: (SAB) (ABCD), (SAB) (SAD)
CMR: (SAB) (SBC), (SAC) (SBD)
CMR: giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) vuông góc với (SAB)
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (SCD) và (SAD), (SCD) và (ABCD), (SAD) và (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BD = a, SC (ABCD), SC= . Chứng minh rằng (SAB) (SAD)
2/ Bài tập trắc nghiệm:
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a. Góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) không phải là góc nào sau đây?
(A). Góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
(B). Góc giữa 2 đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đó và vuông goác với đường thẳng a.
(C). Góc giữa 2 đường thẳng b và b’, trong đó b nằm trong (P) và vuông góc với a, còn b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (Q).
(D). Góc giữa đường thẳng b vuông góc với (P) và hình chiếu của b trên (Q).
2. Cho tứ diện ABCD có 3 đường thẳng AB BC, CD đôi một vuông góc. Góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc nào sau đây?
(A). Góc ACB (B). Góc ADB
(C). Góc AIB, I-trung điểm CD (D). Góc DAB
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA = SC. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
(A). (SAD) (B). SBD)
(C). (SAC) (D).(SAB)
4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Khi đó mặt bên (ABC) tạo với mặt đáy (BCD) một góc thoả mãn điều kiện nào dưới đây?
(A). cos= (B). cos= 
(C). cos= (D). cos= 
5. Cho 3 mặt phẳng (P), (Q), (R). Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Nếu (P) (Q) và (R) (Q) thì (P) // (R).
(B). Nếu (P) // (Q) và (P) (R) thì (Q) // (R).
(C). Nếu (P) (Q) và (Q) // (R) thì (P) (R).
(D). Nếu (P) // (Q) và (Q) // (R) thì (P) (R).
6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ 3 mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là:
(A). (OAB), (OAC), (OBC) (B). (AOB), (AOC), (ABC)
(C). (BOA), (BOC), (BAC) (D). (COA), (COB), (CAB)
7. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 1 điểm A cho trước và vuông góc với 2 mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cho trước?
(A). Không có (B). Có một
(C). Có vô số (D). Có một hoặc vô số
8. Cho (P) (Q), đường thẳng a (Q).Khi đó:
(A). a (P) (B). a // (P)
(C). a(P) (D). a // (P) hoặc a(P) 
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và (SAD) (ABCD). Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A). Đường cao của hình chóp bằng a.
(B). SB = a.
(C). Tam giác SAC cân tại S.
(D). Cả (A), (B), (C), đều sai.
10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi lần lượt là góc của đường chéo A’c với 3 cạnh AA’, A’B’, A’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A). cos + cos + cos = .
(B). cos2 + cos2 + cos 2 = 1.
(C). sin2 + sin 2 + sin 2 = 2.
(D). Cả (A), (B), (C) đều đúng.
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ
Chủ đề 4
1/ Bài tập tự luận:
1.a) * AH 
 * AH Mặt khác AB 
(Theo giả thuyêt).Mà CD 
 b) * Giả sử BH cắt CD tại BMCD
 * Vì CD (ABH).
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (ACD)
 và (BCD) là góc giữa 2 đường thẳng 
AM và BM. Giả sử = góc (AM, BM)
Ta có = góc AMB, nếu góc AMB 
 = 180o – góc AMB, nếu góc AMB > 90o.
H
C
A
D
B
M
2.a) * SA 
 *. SA 
t
 . ABCD là hình vuông 
, mà AB nên (SAB) (SAD).
b)* 
. SA 
. ABCD là hình vuông
mà BCnên (SBC)
(SAB).
A
* . SA 
 . ABCD là hình vuông 
Từ đó suy ra BD mà 
BD nên (SBD) 
S
D
C
B
+ Ta có AD 
+ Vì (SAD) và (SBC) nên St (SAB)
 d) * Ta có CD 
Vậy góc giữa (SCD) và (SAD) bằng 90o
 *+ (SCD) và CD
nên góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SDA.
 + Xét tam giác vuông SAD có SA = AD = a suy ra góc SDA = 45o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45o
 *+(SAD)
 + Theo chứng minh trên St góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
 + Xét tam giác vuông SAB có SA = AB = a góc ASB = 45o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 45o
S
3.+ SC
và ABCD là hình thoi 
H
Do đó BD (1)
 + Gọi O = AC. Trong mặt 
phẳng (SAC) kẻ OH (2)
A
C
B
D
+ Từ (1) và (2) 	
O
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và
 (SAD) là góc giữa 2 đường thẳng
 BH và DH.
+ ta có 2 tam giác vuông AHO và ASC đồng dạng vì có góc A chung nên:
 (3)
+ Xét tam giác vuông SCA có SC= 
(Vì đều cạnh a ).
 (4)
+ Từ (3) và (4) (5)
+ Tam giác HBD có đường trung tuyến HO thoả mãn hệ thức (5) nên nó là tam giác vuông tại H suy ra góc (BH,DH) = 90o suy ra (SAB) (SAD).
2/Bài tập trắc nghiệm:
1.Đáp án (D)
	HD: (D) sai khi (P) (Q).
2.Đáp án (A)
	HD: + ABBC, ABCD .
 + (ACD) góc ACB là góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD).
3.Đáp án (B)
	HD: + Gọi O = AC, vì SA=SC 
 + ABCD là hình thoi, 
 mà AC
4.Đáp án (B)
	HD: + Kẻ AH= góc AMH.
 + Ta có AM=DM=cos.
5.Đáp án (C)
6. Đáp án (A)
	HD: + OA
 +Tương tự : OB
7. Đáp án (D)
	HD: + Nếu (P) cắt (Q) thì có một vì qua A có duy nhất 1 mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q)
 + Nếu (P) // (Q) thì có vô số mặt phẳng vì qua A có duy nhất 1 đường thẳng a vuông góc với cả a (P) và (Q) suy ra có vô số mặt phẳng chứa a sẽ vuông góc với (P) và (Q).
8. Đáp án (D)
	HD: + Nếu a và (P) có điểm chung thì a 
 + Nếu a và (P) không có điểm chung thì a // (P).
9. Đáp án (B)
	HD: + Chứng minh tam giác SAB vuông cân tại A .
10. Đáp án (D)
	HD: A’C=acos, coscoss(A), (B), (C) đều đúng