Toán 9 - Hệ thức lượng trong tam giác

1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Một số hệ thức:
A
C
H
B
c
b
a
c,
b,
1) c2 = ac’, b2 = ab’
2) h2 = b,c,
3) ah = bc
4)
5) a2 = b2 + c2
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có: 
2. Ví dụ:
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
	a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
	b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC=700.
3. bài tập cơ bản:
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.
	Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.
	Chứng minh: 
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:
1. Định nghĩa: 
2. Tính chất:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
- Chú ý: 
+) 
+) Khi góc tăng từ 0o đến 90o thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm.
+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng cotg của góc kia và ngược lại. 
+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tính các TSLG của góc B và góc C.
Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính cạnh còn lại. Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn.
Bài 2: Chứng minh rằng sin < tg; và cos< cotg.
HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B = .
sinB = ; tgB = 
Vì BC > AC nên < Suy ra sin < tg;
Chứng minh tương tụ ta được cos< cotg.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.
	Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o.
HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có:
	cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o.
Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o.
Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o
NX: Nhờ có tính chất sin < tg mà ta có thể so sánh được các TSLG.
Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o .
b) N = tg35o. tg40o.tg45o.tg50o. tg55o.
Bài 5: 
a) Biết sin=, hãy tính cos, tg, cotg.
b) Biết tg = , hãy tính sin, cos, cotg.
Bài 6: Cho biểu thức
 với 45o.
a) Chứng minh rằng 
b) Tính giá trị của A biết .
HD: 
a) 
b) chia cả tử và mẫu cho cos.
NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin.
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
HD.
Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó.
	sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45o.
	Vậy x = 45o.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và góc C.
Bài 2: 
a) Biết cos=, hãy tính sin, tg, cotg.
b) Biết cotg = , hãy tính sin, cos, tg.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o.
b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o.
Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:
	Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o.
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn .
a) (cos - sin)2 + (cos + sin)2.
b) 
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
a) Chứng minh răng: 
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho hình thang ABCD có Biết AB = 2; CD = 1,2. Tính diện tích hình thang.
HD. Vẽ BHCD thì BH = AD = 1,2; DH = AB = 2.
Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:
HC = HB.cotgC 1
CD =CH + HD 3.
Diện tích hình thang ABCD là:
 (đvdt)
Nhận xét: Vẽ BHCD.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp:
a) 
b) 
HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác.
Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và , tính độ dài AD.
Giải.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S1, S2, S. Ta có:
Vì: S = S1 + S2 Nên 
Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C.
KQ: 
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20; .
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm; . Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và . Tính diện tích hình thang.
Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và . Tính diện tích hình bình hành.
Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 48o. Tính diện tích tứ giác.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 12; .
b) b = 13; c = 20.
Bài 6: Giải tam giác ABC biết:
AB = 6,8; ; 
Bài 7: Giải tam giác ABC biết:
AB= 4,7; BC = 7,2; 
B. BÀI TẬP:
C. BÀI TẬP BỔ XUNG:
Bài 1
Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC. 
a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.
b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP Ç NQ, R là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng.
Giải
B
J
C
N
I
M
P
Q
H
O
R
S
A
a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: 
 Þ
 A, I, J thẳng hàng. 
b/ Gọi S là trung điểm của PQ Þ I, O, S thẳng hàng
và O là trung điểm của IS, AH // IS Þ theo câu a thì ta có J, O, R thẳng hàng.
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau:
a/ b/ 
B
A
C
E
D
K
H
Giải
Vẽ DH ^ AB, DK ^ AC Þ DH = DK = 
a/ áp dụng định lý Talét cho DABC ta có: 
 Þ .
Cách khác:
Chú ý: SABC = AB.ADsinÐ(AB;AC) 
a/ Ta có: SABC = AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 Þ
Þ
b/ Ta có: SABC = AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450 Þ Þ AB.AC = (AC - AB) Þ 
.
Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau:
a/ b/ 
B
A
C
M
H
Giải
a/ Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
Þ .
b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2
Þ AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2.
Bài 4
Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N.
a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN
c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.
A
B
C
N
M
O
H
Giải 
a/ Ta có: ÐB = ÐC = 600
ÐO1 + ÐO2 = 1200; ÐO1 + ÐM1 = 1200
Þ ÐM1= ÐO2 Þ ÐN1 = ÐO1 Þ DBOM ~ DCNO Þ
BO/CN = BM/CO Û BO.CO = BM.CN Û BO2 = BM.CN
b/ Từ (a) ta có: 
Mặt khác: ÐMBO = ÐMON = 600 Û DBOM ~ DONM Û ÐM1 = ÐM2 Þ OM là tia phân giác của ÐBMN .
c/ Do O là giao điểm của hai tia phân giác của ÐBMN và ÐMNC Þ O cách đều AB, MN và AC.
Gọi H là hình chiếu của O lên AB Þ OH = OB.sinB = Þ MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm O bán kính .
Bài 5
Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và ÐMON = 600.
Chứng minh rằng: BM.CN £ BC2/4. Dấu bằng xảy ra khi nào?
A
B
C
M
O
N
Giải
Ta có: ÐBOM =1800 - ÐB - ÐBMO = 1200 - ÐBMO
Mà: ÐBOM = 1800 - ÐMON - ÐCON = 1200 - ÐCON
Þ ÐBMO = Ð CON Þ DBOM ~ DCNO Þ 
BM/CO = BO/CN Û BM.CN = BO.CO £ 
Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của DABC. Chứng minh rằng: .
Giải
Xét DAKB và DCKH có: ÐAKB = ÐCKH = 900
A
B
C
K
H
ÐBAK = ÐHCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vuông góc)
Þ DAKB ~ DCKH Þ Þ
Þ 
Þ 
Bài 7
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: 
Giải
B
A
C
O
D
E
a/ Xét DABD có ÐA = 900 Þ 
Vẽ đường phân giác BD ta có:
Þ .
Bài 8
Cho hình thoi ABCD. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp DABD và DABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi.
a/ Chứng minh rằng: .
b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 và R2.
Giải
a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC tại O1 và cắt BD tại O2 Þ O1 và O2 là tâm các đường tròn ngoại tiếp DABD và DABC Þ O1A = R1 và O2B = R2.
C
B
A
D
K
O2
O1
O
a
DO1AK ~ DABO Þ (1)
DO2BK ~ DABO Þ (2) 
Từ (1) và (2) Þ 
Þ .
b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB
DAOB ~ DAKO2 Þ 
DAOB ~ DO1KB Þ Þ 
Xét DAOB ta có: AB2 = OA2 + OB2 
.
Vậy: .
Bài 9
Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: 
A
D
C
B
M
Giải
Xét DABC có: AM > AB - BM
Xét DACM có: AM > AC - MC
Cộng từng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC Û .
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD Þ AB = CD
Xét DACD có: AD < AC + CD = AC + AB Þ 2AM < AC + AB Þ .
Bài 10
CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD
Giải
B
D
C
A
O
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Þ ta có:
AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =
= (OA + OB) + (OC + OD)Þ AC + BD > AB + CD.
BTVN
Bài 1
Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 là điểm đối xứng của H qua AB, B1 là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC.
Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH đồng dạng với nhau và AO vuông góc với BI.