Toán học 9 - Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
1. So sánh hai số thực
Cho hai số thực bất kỳ, bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :
; “ a nhỏ hơn b ”
; “ a bằng b ”
. “ a lớn hơn b ”.
Hệ quả :
“ a không nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu : .
“ a không lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu : .
Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :
 : ta gọi a là số thực âm;
 : ta gọi a là số thực không;
 : ta gọi a là số thực dương.
2. Định nghĩa : Ta gọi hệ thức ( hay , , ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
Tính chất :
 ( tính chất bắc cầu )
Tương tự : 
Khi ta cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự : 
Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự : 
Ghi nhớ
Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số 0.
Bất cứ số âm nào cũng nhỏ hơn số 0.
Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số âm.
Trong hai số dương số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó lớn hơn.
Trong hai số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.
Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Với mọi số thực a bao giờ ta cũng có : “ bình phương của một số thực bao giờ cũng là một số không âm ”.
Ví dụ 1 : Điền các dấu thích hợp vào các ô vuông
 a) 3,45 … 3,54 b) -1,21 … - 4,57 c) - 4 … -7
 d) … e) … f) … 
Bài giải
 a) 3,45 - 4,57 c) - 4 > -7
 d) > e) > f) < 
Ví dụ 2 : Cho m bất kỳ, chứng minh :
 a) b) c) 
Bài giải
a) Vì “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ”
 Ta được .
b) Vì “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ”
 Ta được .
c) Vì “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số -3m bất kỳ ”
 Ta được Û .
Ví dụ 3 : Cho chứng minh 1) 2) 3) 
Bài giải
1) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ”
 Û Û , (1).
2) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ”
 Û Û , (2).
3) Từ (1) và (2) ta có .
Ví dụ 4 : Cho hãy so sánh :
 a) và b) và c) và 
Bài giải
a) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”
 Û .
b) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm -3 ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ”
 Û .
c) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
 Û .
Ví dụ 5 : Cho chứng minh :
 a) b) c) 
Bài giải
a) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : - 3 ”
 Û Û .
b) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : - 5 ”
 Û Û 
Vì nên , theo tính chất bắc cầu ta có .
c) “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : -3 ”
 Û “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ”
 Û 
Vì nên theo tính chất bắc cầu ta có .
Ví dụ 6 : So sánh hai số , nếu :
 a) b) 
Bài giải
a) “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
 Û Û “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ”
 Û Û .
b) “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số -7 ”
 Û “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm ”
 Û Û .
Ví dụ 7 : Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
 1) 2) 3) .
Bài giải
1) Với a, b bất kỳ ta có Û .
2) Û Û .
3) Û Û .
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. Định nghĩa : Bất phương trình dạng hoặc ( , , ) trong đó a, b là hai số đã cho, , gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn .
Ví dụ 1 : Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn ?
a) ® bất phương trình bậc nhất một ẩn.
b) ® không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
c) ® không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Nghiệm của bất phương trình - tập nghiệm của bất phương trình
Ghi nhớ :
Giá trị làm cho bất phương trình trở thành một bất đẳng thức đúng thì là một nghiệm của bất phương trình.
Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình, ký hiệu là S.
Ví dụ 1 : Trong các số -1, 0, 1, 2, 3 số nào là nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a) b) c) d) 
Bài giải
a) Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức đúng nên là nghiệm của bất phương trình . Tương tự , , là nghiệm của bất phương trình .
b) Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức đúng nên là nghiệm của bất phương trình .Tương tự , là nghiệm của bất ph trình .
c) Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức sai nên không thể là nghiệm của bất phương trình .
 Þ Û bất đẳng thức đúng nên là nghiệm của bất phương trình .
3. Các phép biến đổi bất phương trình
Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình mà đổi dấu là phép biến đổi tương đương.
Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số dương thì được một bất phương trình mới cùng chiều với bất phương trình đã cho. Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số âm thì được một bất phương trình mới ngược chiều với bất phương trình đã cho.
Ví dụ 1 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
 a) b) c) d) 
Bài giải
a) “ chuyển - 4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4”
Û “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ”
Û ///////////////////|///////////( 
b)“chuyển từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành ”
Û “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 3 ”
Û | ]////////////////////////
c) Û Û Û .
d) Û Û .
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
 a) b) 
 c) d) 
Bài giải
a) Û Û 
Û Û Û .
 | )////////////////////////// 
b) Û 
Û vô nghiệm với mọi .
c) ÛÛÛÛÛ
 | )////////////// 
d) Û Û Û 
Û Û Û : )///////|//////////////////////////
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa : 
 nếu ; “Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính số đó ”
 nếu ; “Giá trị tuyệt đối của số không là số không ”
 nếu .“Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của số đó ”.
Muốn giải phương trình có chứa giá trị tuyệt đối trước hết ta phải tìm cách bỏ giá trị tuyệt đối rồi mới có thể giải phương trình đó.
Ví dụ 1 : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức
 a) nếu hoặc 
 b) nếu hoặc 
 c) nếu 
 d) nếu hoặc .
Bài giải
a) Þ Þ Þ.
 Þ Þ Þ.
b) Þ Þ Þ .
 Þ Þ Þ .
c) Þ Þ Þ .
d) Þ Þ.
 Þ Þ.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
 a) b) 
 c) d) 
Bài giải
a) Với Þ Þ Þ Û Û 
Û giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình.
Với Þ Þ Þ Û Û 
Û giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình.
Vậy .
b) Với Þ Þ Þ Û 
Û Û giá trị này không thỏa mãn điều kiện nên nó không là nghiệm.
Với Þ Þ Þ Û Û 
Û giá trị này không thỏa mãn điều kiện nên nó không là nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với Û .
 Þ Û Û 
Û giá trị này thỏa mãn điều kiện nên nó là nghiệm của phương trình.
Với Û .
Þ Û Û 
Û giá trị này thỏa mãn điều kiện nên nó là nghiệm của phương trình.
Vậy .
d) Với Û .
Þ Û Û Û 
Û giá trị này không thỏa mãn điều kiện nên nó không là nghiệm.
Với Û .
Þ Û Û Û 
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Giải phương trình
 a) b) 
 c) d) 
Bài giải
a) Þ Þ Þ.
 Þ Þ Þ.
b) Þ Þ Þ .
 Þ Þ Þ .
c) Þ Þ Þ .
d) Þ Þ.
 Þ Þ.
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ( Cauchy )
Nếu , thì 
“ Trung bình cộng của hai số không âm bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của hai số đó ”
Bài giải
Vì , nên tồn tại , và thế thì :
 Û Û Û .