Tổng hợp 30 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán

Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
TỔNG HỢP 30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN
MÔN	TOÁN
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Sở Giáo dục và đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
a)	4 x2 - 1 + x =
2 x2 - x +
2 x +1 .
ì xy( x +y) =2
b) í	.
î x3 +y3 +x +y =4
Câu 2. (3 điểm)
a) Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm dương của phương trình x2 – 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
5	5
x1 +x2
là một số nguyên.
b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6.
Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6.
Câu 3. (3 điểm)
Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O (AB không phải là đường kính). C và D là 2 điểm phân biệt, thay đổi nằm giữa A và B. Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng tại E, F khác M.
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF.
Chứng minh rằng khi C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm của hai đường thẳng AO1 và BO2 là một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = 1. Chứng minh rằng:
1	£	a
+	b	+	c	.
a +b +c
( ab +a +1) 2
( bc +b +1) 2
( ca +c +1) 2
1
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh ) Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu 1. Cho phương trình :
x2 - 2 x m +2 m (
m +1) - 3

=0 (1)
x - 1
a) Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2. a) Giải bất phương trình :
( x +3)( x - 1) - 2 x - 1 <x2 - 7
ìï
b) Giải hệ phương trình : í
ïî
x y +2 y x =3x y x +2x y =3 y

2x - 1
2 y - 1
Câu 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
a2 - 3ab +b2 +a - b =a2 - 2ab +b2 - 5a +7b =0
Chứng tỏ rằng : ab - 12a +15b =0
b) Cho :
A =(
x2 +4 - 2)( x +
x +1)(
x2 +4 +2)
x - 2
x +1
x( x x - 1)
Hãy tìm tất cả các giá trị của x để A ³ 0
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60 o . Gọi M , N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh các điểm I , M , E và K
cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc . Nếu sau 6 ngày , tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ . Biết rằng , mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm .
- HẾT -
2
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Sở Giáo dục-đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt thành phố huế
Thừa Thiên Huế	Khóa ngày 12.7.2007
Đề chính thức	Môn: TOáN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,75 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức: A

+
3 - 2 3 	6
=
b) Rút gọn biểu thức

ç
B =æ

-
1 	1 	ö
÷:

x - 1
3 	3 + 3
( x >0 vµ x ¹ 1) .
Bài 2: (2,25 điểm)
èx +
x	x +1 ø
x +2
x +1
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm
B ( 4 ; 0)
và C ( - 1 ; 4) .
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng
y =2x - 3 . Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).
c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số u và v biết: u +v =1, uv =- 42 và u >v .
b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.
a) Chứng minh rằng: DDOE là tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: AD ×BE = R 2 .
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB
nhỏ nhất.
Bài 5: (1,5 điểm)
Một cái xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19 cm và 9 cm, độ dài đường sinh
l =26 cm . Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy dưới (xem hình vẽ). a) Tính chiều cao của cái xô. Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ?
3
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên toán - tin trường đại học vinh
Vòng I (150 phút)
Câu I.
1. Tính giá trị của biểu thức:
P 	v 	x3	y3 3 ( x 	y) 	200
Biết rằng:
3
x 	3 	2 	2
3
3 	2 	2 y
3
17 	12 2
3
17 	12 2
2. Rút gọn biểu thức sau:
P 	1 	1

1 	... 	1
1 	5 	5 	9
9 	1 3
2 0 0 1 	2 0 0 5
Câu II. Giải các phương trình sau:
1.	x2 	x 	2004 2004
2.	x3 3 	2 x2 	3 x 	2 0
Câu III. Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a,b,c và h a ,h b ,h c tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng:	(a2+b2+c2).(ha2 + hb2 +hc2) >
36
A
Câu IV. Cho tam giác ABC, có	=600, AC = b, AB = c (với b > c). Đường kính EF của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M. Gọi I, J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường AB, AC, gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB, AC.
a)	Chứng minh tứ giác AIEJ Và CMJE nội tiếp
b)	Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.
c)	Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c. d)	Tính IH + JK theo b,c
1
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 THPT CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯờNG ĐạI HọC VINH
Vòng II (150 phút)
Câu V.
a) Tìm các giá trị của tham số m để tập nghiệm của phương trìng sau có đúng một phần tử:
2
m
7
x	2
2	2	4
x	m
2
2
m	6 0
x
b) Giải hệ phương trình:
7 x	12
x	y	z	1 x
1 	1 	51
y	z	4
y
z
2 	2 	2 	1 x
2
x
1 	1 y2 	z2

771
16
Câu VI. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x - y + 2004, trong đó các số thực x và y thỏa mãn các hệ thức:
2 	2
x	y 36
9 	16
Câu VII. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c nghiệm đúng phương trình:
x2 + y2 + z2 = 3xyz và thỏa mãn điều kiện: Min {a,b,c } > 2004.
Câu VIII. Cho ngũ giác ABCDE, Gọi M,P,N,Q là các trung điểm của AB, BC, DE, EA. Chứng minh MN đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi MN//CD.
Câu IX. Cho đ[ngf thẳng xy và một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ấy. Điểm M
chuyển động trên xy, trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho:
AI.AM = k2, trong đó k là số dương cho trước và k nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng xy. Dựng hình vuông AIJK, tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K.
2
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 TRƯờNG THPT CHUYÊN TĨNH Năm học: 2007 - 2008
Thời gian: 150'
Bài 1: a) Giải phương trình: x4- 2x3 + 4x2-3x - 4 = 0
b)Tìm những điểm M(x;y) trên đường thẳng y = x +1 có tọa độ thỏa mãn đẳng thức:
y2 3 y	x	2 x 0
Bài 2: Các số x, y, z khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0. Tính giá trị biểu thức
P	yz
2
x
zx	xy
z
2 	2
y
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 -xy + y2 = 2x - 3y - 2
Bài 4: Tìm tất cả các bộ ba số dương (x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình
2
2008
x
2008
y2007
2007
z2006
2006
2 y	z
2007
x
2006
2 z2008 x	y
Bài 5: Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn( E, F
là các tiếp điểm). Tia PO cắt đường tròn tại A và B sao cho A nằm giữa P và O. Kẻ EH vuông góc với FB ( H	FB). Gọi I là trung điểm của EH. Tia BI cắt đường tròn tại M ( M # B), EF cắt AB tại N
a) Chứng minh	= 900.
EMN
b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm P, E, M.
z	x	y
Bài 6: Ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z > 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y
z
2 	2 	2
P	x
y	z	z	x	x	y
3
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
ĐỀ DỰ THI
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ( khối chuyên) MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
-------------------------------
Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y	¢ biết
a) x2 -25 = y(y+6)
b) 1+x + x2 +x3 = y3
Bài 2: ( 1, 5 điểm) Cho P =

x - 1 +

x - 2

x - 1 +1
x2 - 4( x - 1)
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b) Rút gọn P.
Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y=
hoành độ lần lượt là -2 và 4
1 x 2
4

và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó. b) Viết phương trình đường (D).
c) Tìm vị trí của điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ xÎ	[-2 , 4] sao cho
AMB có diện tích lớn nhất .
Bài 4: ( 3, 5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở E và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau ở I.
a) Tìm quỹ tích của điểm I.
b) Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường tròn cố định và đường IH đi qua điểm cố định.
Bài 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng:
( 1999 +
1997 +.... +
3 + 1) -
( 1998 +
1996 +.... +
2) >
500
HẾT
4
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
SỞ GD VÀ ĐT ĐẮC LẮC	KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007
_ _ _ _ _ _	_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ CHÍNH THỨC	MÔN : TOÁN (CHUYÊN)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1.5 điểm) Cho f(x)= -( m2 +1)x+2(1+ 2 )m+4+2 2 , m là tham số. Định m để f(x) £ 0 với mọi xÎ [1;2]
Bài 2: (1.5. điểm) Cho x,y,z là các số nguyên khác nhau đôi một.Chứng minh:
( x -
y)5 +( y -
z)5 +( z -
x)5
chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
1	1	1
Bài 3: (1.5. điểm) Chứng minh phương trình : x2 +xy + y 2

=1 không có nghiệm nguyên dương
Bài 4: (1.5. điểm) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số thỏaa mãn các tính chất sau: Chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau
Chữ số hàng chục và hàng đơn vị giống nhau
Số đó có thể viết được thành tích ba số, mỗi thừa số đều làsố có hai chữ số và chia hết cho 11.
Bài 5: (2 điểm)	Cho VABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). H là tr ... ất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức là số nguyên
Bài 2 : Tìm min của 
Bài 3 :
a)Chứng minh với mọi m nguyên dương ,biểu thức	không phài là số chính phương b)Chứng minh rằng với mọi m nguyên dương thì	không thể thành tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
Bài 4 :Cho tam giác ABC vuông cân ,góc A=90 độ .CM là trung tuyến (M nằm trên AB).Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC ở H.Tính tỉ số 
Bài 5 :Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc với nhau .Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1993-1994
20
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Ngày thứ I : Bài 1 :
a)Giải phương trình 
b)Giải hệ phương trình
Bài 2 : Tìm max và min của A= khi x,y thay đổi thỏa mãn	;
Bài 3 :Cho hình thoi ABCD .Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các :delta ABD,ABC và a là độ dài cạnh hình thoi .CMR:
Bài 4 : Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho nhận giá trị nguyên dương
Ngày thứ II:
Bài 1: Giải hệ phương trình : 
Bài 2:Có tồn tại hay không các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện : .
Bài 3: Số 1997 viết đước dưới dạng tổng	hợp số, nhưng không viết được dưới dạng tổng hợp số . Hỏi	bằng bao nhiêu ?
Bài 4: Xét tam giác ABC ngoại tiếp vòng tròn có bán kính bằng 1 . Gọi lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 5: Trên đường tròn cho 16 điểm và màu : xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô một màu) . Giữa mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu tím hoặc màu nâu . Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu : xanh, đỏ, vàng) và mọi cách tô trên mỗi đoạn thẳng nối giữa hai cặp điểm (chỉ dùng 2 màu : tím, nâu) ta đều tìm được trên hình vẽ một tam giác có đỉnh là các điểm đã cho mà các đỉnh được tô bằng cùng một màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu (khác màu tô trên đỉnh) .
21
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1998-1999
Ngày thứ I: Bài 1:
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2:Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3: Cho các số . Chứng minh rằng :
Bài 4: Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB<2R) . Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn (O)
tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .
Bài 5:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương	sao cho mỗi sốvà	đều là lập phương của một số nguyên dương .
b) Cho các số	thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Ngày thứ II:
22
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Bài 1:
a) Giải hệ phương trình : 
b) Với những giá trị nào của câu a thì phương trình sau đây có nghiệm :
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Bài 3:
a) Cho a, b, c là các số thỏa mãn :
i. 
ii. phương trình	vô nghiệm
Chứng minh rằng :
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 4:
Cho bảng ô vuông kích thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) . Kí hiệu (m,n) là ô vuông nẳm ở giao hàng thứ m (tính từ trên xuống) và cột n ( tính từ trái sang phải ) . Cho các số nguyên	với và . Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc :
a) Lần thứ nhất tô màu năm ô : 
b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột .
Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Giải thích tại sao ?
Bài 5:
Cho tam giác đều ABC . Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính bằng
nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam giác . Gọi	 là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn . Biết bán kính của vòng tròn	là
, hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC .
23
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1999-2000
Ngày thứ I:
Bài 1: Cho các số thỏa mãn :
Tính giá trị của biểu thức	.
Bài 2:
a) Giải phương trình : 
b) Giải hệ phương trình :
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương	sao cho chia hết cho	.
Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và
EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF . a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .
Bài 5:
Các số dương	thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
24
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Ngày thứ II:
Bài 1: Giải phương trình : 
Bài 2: Cho các số	được xác định bởi công thức với mọi	. Tính giá trị của tổng
Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999
Bài 4: Cho vòng tròn tâm O bán kính R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn với
.
a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn . Vòng tròn nội tiếp tam giác
MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M thay đổi .
b) Tìm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng	vuông góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB .
Bài 5:Cho hình tròn (O') bán kính bằng 1 . Giả sử là 8 điểm bất kì nằm trong hình tròn (kể cả trên biên) . Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1
25
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2000-2001
Ngày thứ I: Bài 1:
a) Tính
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2:
a) Giải phương trình
b) Tìm tất cả các giá trị của a ( a R ) để phương trình :	có ít nhất một ngiệm nguyên .
Bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB
tại E và với cạnh CD tại F .
a) Chứng minh rằng .
b) Cho biết ,	. Tính diện tích hình thang ABCD .
Bài 4: Cho x, y là hai số thực bất kì khác không. Chứng minh rằng : Đẳng thức xảy ra khi nào ?
26
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Ngày thứ II: Bài 1:
a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : .
b) Cho cặp số thỏa mãn : , . Chứng minh : , .
Bài 2:
a) Giải phương trình .
b) Cho có tính chất , , đều là các số hữu tỉ . Chứng minh rằng là các số hữu tỉ .
Bài 3:
a) Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu các góc B và D của tứ giác là vuông hoặc tù thì
.
b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC
là tam giác không tù và góc là góc bé nhất của tam giác ABC .
Bài 4: Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng, trong các đoạn thẳng vừa thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác cũng có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho .
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
27
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Năm học 2005-2006
Vòng 2:
Bài 1 : 
Bài 2: Giải hệ phương trình
Bài 3:	thỏa mãn a)CMR
b)Tìm min của
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong :delta ABC
a)Giả sử độ .CMR: 
b)Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tại M,N.Gọi Q là điểm đối xứng với B
qua trung điểm của đoạn MN.Chứng minh rằng khi P thay đổi trong :delta ,đường thẳng PQ luôn đi qua D
Bài 5:
a)Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh .CMR trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của 1 hình thang
b)Có bao nhiêu phân số tối giản (m,n là các số nguyên dương ) thỏa mãn
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN NĂM HỌC 2006-2007
VÒNG I
Câu I: Giải PT:
28
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Câu II: Với những giá trị x thỏa mãn điều kiện 
Câu III: Tìm số tự nhiên gồm 4 chữ số thỏa mãn đồng thời 2 tính chất: (i) Khi chia số đó cho 100 ta được số dư là 6
(ii) Khi chia số đó cho 51 ta được só dư là 17
Câu IV: Cho hình vuong ABCD có cạnh AB=a. Trên các cạnh AB, BC,CD,DA láy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho: luôn là tổng bình phương của 2 đa thức bậc hai.
VÒNG II Câu I:
Chứng minh rằng: 
Câu III:
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
2)Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x(số nguyên lớn nhất không vượt quá x).Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
Câu IV:
Cho :delta ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm nằm trong :delta ABC.Các đường thẳng
AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại A',B',C'(khác A,B,C).Dây cung B'C' cắt các cạnh AB,AC tương ứng tại các điểm M,N.Dây cung C'A' cắt các cạnh AB,BC tương ứng tại các điểm Q,P.Dây cung A'B' cắt các cạnh BC,CA tương ứng tại các điểm F,E.
1.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy ra đ�ìng thời.Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội
tiếp :delta ABC.
2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh rằng 6 điểm M,N,P,Q,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu V:
Chứng minh rằng đa giác lồi có 2n cạnh(n N,n 2) luôn có ít nhất n đường chéo không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
29
Tổng hợp 30 đề thi vào lớp 10 chuyên – Môn Toán
Bài 1:a) GiảI phơng trình

x +1 + x - 1 =1 + x 2 - 1
b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ
ì x3 +y3 +x - y =8
î
í 2 y 2 - x2 - xy +2 y - 2x =7
Bài 2: Cho các số thực dơng a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 .
Bài 3: Cho	ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn, có hai đờng chéo AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ). Gọi M và N lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB và BC; P và Q lần lợt là các giao điểm của các đờng thẳng MH và NH với các đờng thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đờng tròn .
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q =1 (
2
x10
y 2
y10
+
)
+
x2
1 ( x16 +y16 ) - (1+x2 y 2 )2
4
-----------------------------
Nguyễn Đức Tuấn ( t_toan ) – Sưu tầm
Chúc các bạn thành công!
30