Tổng hợp kiến thức Hình học Lớp 9

 1) Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: 
 *AB2 = BH. BC ; AC2 = HC. BC 
 * AH 2 = BH. HC 
 * AB. AC = AH. BC 
 * 
*Với 2 góc nhọn ;
* Nếu 
*Tỷ số lượng giác của một số góc đặc biệt 
 Tỷ số 
 lượng giác 
 300 
 450 
 600 
1
2
2
2
3
2
 Cos 
3
2
2
2
1
2
 Tg 
3
3
 1 
 3 
 Cotg 
 3 
 1 
3
3
3)Giải tam giác vuông : 
B 
A 
C H 
A 
 
Sin 
B 
a 
c 
b A 
C 
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC vuông tại A 
* b = a.sinB = a.CosC ; c = a. sinC = a. cosB 
* b = c.tgB = c.cotgC ; c = b.tgC = b.cotgB 
huyền 
đối 
kề 
huyền 
đối 
kề 
kề 
đối 
*ΔABC vuông tại A  BC = 
 AB = ; AC = 
 TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC LỚP 9
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
AH AB AC
1 1 1
2 2 2
  
* ΔABC vuông tại A  AB2 + AC 2 = BC2 ( Định lý Pythagore thuận, đảo) 
2)Tỷ số lượng giác của một góc nhọn : 
 B 
  (= ) 
BC
AB
  = 
BC
AC
 * Sin
  = 
AB
AC  = ; cot * tan
AC
AB
 * Cos
 C 
  nếu ta có Sin α  Sinβ (hoặc cos = Cosβ ; tan = tanβ ; cot = cotβ ) thì =  
α + β = 900 thì ta có :Sin = Cosβ ; Cosα = Sinβ ; tan α = cotβ ; cotα = tanβ 
2
BC 3
 ΔABC vuông tại A có B = 600  AC = 
2
BC
 ΔABC vuông tại A có C = 300  AB = 
2 2BC AB 2 2BC AC 
2 2AB AC 
1)Định nghĩa và sự xác định đường tròn: 
a) Định nghĩa : Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R là đường 
tròn tâm O, bán kính R . Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) . 
b) Vị trí của một điểm đối với đường tròn : 
* Điểm M nằm trên đường tròn ( O ; R )  OM = R . 
 * Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R )  OM > R . 
 * Điểm M nằm trong đường tròn ( O ; R )  OM < R . 
 * Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn . 
 Định lí : 
 * Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn ) 
* Tâm của đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác . 
2) Tính chất đối xứng của đường tròn : 
* Định lí : Trong một đường tròn : 
 *Đường thẳng và đường tròn không giao nhau : 
- Số điểm chung : 0 ; - Hệ thức : d > R 
*Định lí : Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm 
của dây đó . 
(Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB tại I  I là trung điểm của AB ). 
*Định lí đảo : đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không 
là đường kính ) thì vuông góc với dây đó . (Đường tròn ( O ) có OM 
cắt AB tại I và I là trung điểm của dây AB  OM ⊥ AB tại I ) 
(Đường tròn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD tại K  OI = OK ) 
O 
d 
O 
H 
d 
 c) So sánh độ dài dây và đường kính : 
 d) Sự xác định của đường tròn: 
A B
M
I
O
N
b) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm : 
 a) Liên hệ giữa đường kính và dây cung: 
 + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm 
 + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 
 (Đường Tròn (O) có OI ⊥AB tại I, OK⊥CD tại K, OI = OK  AB = CD) 
A
B
C
D
O
I
K
 3)Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn : 
 Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ. tròn ( O, R ) đến đ .thẳng a 
 *Đường thẳng và đường tròn cắt nhau : 
a 
 - Số điểm chung : 2 ;- Hệ thức : d < R 
 +Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến của 
 đường tròn ( O, R ) 
 a 
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN 
* Định lí 1:( t/c của tiếp tuyến ) Nếu một đ.thẳng là tiếp tuyến của đ. tròn thì nó vuông góc với 
b.kính đi qua t. điểm (Nếu a là tiếp tuyến của đ. tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d ) 
* Định lí 2 ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng tròn 
và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn . 
( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ). 
* Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) 
 + Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao 
 điểm các đường phân giác trong của tam giác . 
 Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) và 
 ( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > 0 . 
 * Hai đường tròn không giao nhau : 
 - Số điểm chung : 0 ;-Hệ thức giữa d , R , r : 
O
Ở ngoài nhau : d > R + r Đựng nhau : d < R – r Đặc biệt : đồng tâm ( d = 0 ) 
* Hai đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 2 
 - Hệ thức giữa d, R, r là: R – r < d < R + r 
 + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường 
nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung 
( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt nhau tại hai điểm A và B thì 
O 
a 
d 
( A và B là hai tiếp điểm ) thì : 
 + MA = MB . 
 + OM là phân giác của góc AOB 
 + MO là phân giác của góc AMB 
A 
B C 
O 
* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường 
tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại 
tiếp đường tròn ) 
B
A
IO
I O
rR
F
E IO
I 
 * Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc : 
- Số điểm chung : 1 ; - Hệ thức : d = R 
+ Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của 
đường tròn ( O ; R ) và H gọi là tiếp điểm 
 H 
 + OM ⊥ AB tại I ; I là trung điểm của AB ( OM là trung trực của AB ) 
O
A
B
M
 5) Vị trí tương đối của hai đường tròn : 
OI ⊥ AB tại H và HA = HB ) 
 Tiếp xúc ngoài : d = R + r Tiếp xúc trong : d = R – r 
 + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ. tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. 
1) Góc ở tâm :Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn 
2) Góc nội tiếp : 
* Định nghĩa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó . 
* Tính chất : 
 - Định lí : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn . 
 - Hệ quả : Trong một đường tròn : 
 + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau 
 + Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông . 
 + Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hay bằng 900 )có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung . 
( Góc ở tâm AOB chắn cung AB ) 
n 
Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay 
hai đường tròn bằng nhau . 
* Hai đường tròn tiếp xúc : 
- Số điểm chung : 1 
- Hệ thức giữa d, R, r : 
* Số đo cung : 
 + Số đo cung nửa đường tròn là 1800 
O A I O
A
I
 CHƯƠNG III :GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
+ Sđ AmB = 3600 – sđ AnB 
 + AOB  sđ AB 
O
A
B
x
y
m
 *So sánh hai cung : 
  + AB > CD AB CD
  + AB = CD AB CD
  + sđ AB  sđ CD AB CD
+ sđ AB = sđ CD  AB CD 
O
A
B
C
D
O
C
B
A
( Đường tròn ( O ; OA) có : (Đường tròn ( O ) đường kính MN có : 
sđ
1
ABC
2
 sđ AC ; 
1
ABC AOC
2
 ) MPN 90  ; CFD CED ) 
 4) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung : 
x
B
A
O
*Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (đi từ 
tiếp điểm ) bằng nửa số đo của cung bị chắn . 
 Sđ
* Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp và số đo 
của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một 
cung thì bằng nhau 
cung ;góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) 
C 
C 
Tứ giác ABCD có ABD ACD = 
( tứ giác ABCD có ABD và ACDcùng 
cạnh AD dưới một góc  )  tứ giác 
ABCD nội tiếp ) 
D 
A 
B 
M N
P
O
C
D
E
F
3) Tứ giác nội tiếp 
 xAB ACB ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 
 sđ AB 
2
xAB
1
 5) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn 
Số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai 
cung bị chắn (một cung nằm giữa hai cạnh của góc và cung kia nằm 
giữa các tia đối của hai cạnh đó ) 
1
AEC (
2
 sđ AC + sđ DB ) 
E
D
C
B
A
O
n
B
A
O
9) Diện tích hình tròn , diện tích hình quạt tròn : 
cạnh của góc .Ta có : sđ
8) Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ), độ dài cung tròn : 
 * Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ) : 
* Độ dài cung tròn : ( R là bán kính đường tròn ; 
 n0 là số đo độ cung . 
* Diện tích hình tròn : 
* Diện tích hình quạt tròn : 
 S = ( R là bán kính hình tròn ; n0 là số đo độ 
hình quạt ; 
7) Tứ giác nội tiếp : 
* Định nghĩa : một tứ giác có bốn đỉnh 
nằm trên đường tròn gọi là tứ giác nội 
tiêp đương tròn . 
* Định lí ( Tính chất ) : Trong một tứ giác 
nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 
1800 
* Định lí đảo ( cách nhận biết ) : Nếu một 
tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 
bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường 
tròn . 
 (sđ AB - sđ CD ) 
2
AIB
1
6) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn : Số đo góc có đỉnh ở 
bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn bởi hai 
O
A
B
C
D
I
O
A
B
C
D


 
180
L
Rn
AB
C = 2 R ( R là bán kính đường tròn ;   3,14 
B
A
O
AB
L là độ dài cung AB ; 3,14  ) 
 
360 2
hay S =
R n ABL .R
2
 S =  R2 
1) HÌNH TRỤ : Quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định, hình phát sinh là 
 hình trụ 
 * Đáy là hai hình tròn bằng nhau ( D ; AD ) và ( C ; CB ) thuộc hai mặt phẳng 
 song song 
 * Đường thẳng CD là trục hình trụ . 
 * AB là đường sinh ( AB quét nên mặt xung quanh hình trụ ) 
 a) Diện tích xung quanh của hình trụ : 
 Sxq = 2πR .h ( R là bán kính hình tròn đáy ) ; h là chiều cao hình trụ . 
 c) Thể tích hình trụ : V = π R2.h 
cố định, hình phát sinh là HÌNH NÓN . 
 * Đáy là hình tròn ( A ; AC ) ; Đỉnh là B 
 * BC là đường sinh ( BC quét nên mặt xung quanh hình nón ) 
 * Độ dài AB là chiều cao hình nón ; Đường thẳng AB là trục 
 hình nón . 
 a) Diện tích xung quanh hình nón : 
 Sxq = πRl ( R là bán kính hình tròn đáy ; l là độ dài đường sinh ) 
 b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + S 
 c) Thể tích hình nón : V = πR2.h ( h là chiều cao hình nón ) 
 3) Hình cầu : Quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định 
 thì hình phát sinh là hình cầu tâm O , bán kính R 
 a) Diện tích mặt cầu : S = 4π R2 ( R là bán kính hình cầu ) 
 b) Thể tích hình cầu : 
 V = πR3 
A 
B 
h 
R
C 
D 
A 
C 
B 
hl 
R 
đáy 
B 
O 
A
C 
R
CHƯƠNG IV : HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU 
 b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy 
 2) HÌNH NÓN : Quay hình tam giác ABC vuông tại A một vòng quanh cạnh AB 
3
1
3
4
 1) Tg ; Cotg 
3) Vị trí của một điểm đối với đường tròn : 
a) Điểm M nằm trên đường tròn ( O; R )  OM = R 
b) Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R )  OM > R 
c) Điểm M nằm trong đường tròn ( O; R )  OM < R 
 b)Nếu ΔAMB vuông tại M thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAMB là 
 trung điểm O của cạnh huyền AB và OA = OB = OM = AB 
 5) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông AB = AC = a 
 thì bán kính của đường tròn ( O ; R ) ngoại tiếp ΔABC là 
 OB = OA = OC = R = 
6) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O ; R ) có hai điểm chung A và B ta nói đường thẳng 
7) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) chỉ có một điểm chung C ,ta nói đường thẳng a 
8) Đường thẳng a là tiếp tuyến của ( O ) ; C là tiếp điểm thì a ⊥ OC 
A B
O 
 1 
 2 
a và đường tròn ( O ) cắt nhau . Đường thẳng a còn gọi là cát 
tuyến của đường tròn ( O ; R ) 
b) OH ⊥a tại H. Đuờng thẳng a và đường tròn ( O ; R ) cắt 
nhau khi và chỉ khi OH < R 
R 
và đường tròn ( O ) tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a 
là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ). Điểm C gọi là tiếp 
điểm 
b) OH ⊥a tại H, đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) tiếp 
xúc nhau  OH = R 
 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ ÁP DỤNG LÀM TOÁN 
 * Nếu Cotgβ  >  
 * Nếu Cosβ  > 
 * Nếu Tgβ < Tg < Tg thì β <  <  
    thì β < <2) Nếu Sinβ < Sin < Sin
  = 1  ; Sin2 2Cos ; Tg . Cotgα = 1



Sin
Cos



Cos
=
Sin
9) Nếu A là điểm chính giữa của cung NM thì NA AM 
O
a
HC
R
HA B
O
a
  
2 2
AB 2 a 2
  M 4) a) Nếu điểm M thuộc đường tròn đường kính AB thì AMB 1v = 90
NM
A
10) Đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC ngoại 
tiếp đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường phân giác 
trong của tam giác của ABC . 
11) Đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC nội 
tiếp đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường trung trực 
của tam giác của ABC . 
** Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua 
điểm chính giữa của cung căng dây ấy. 
15) Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây 
căng cung ấy và ngược lại . 
17) Với đa giác đều nội tiếp đường tròn ( O; R ) : 
a) Nếu lục giác đều có cạnh là a thì a = R . 
21) Tam giác đều có cạnh là a thì S = và đường cao h = 
13) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN 
trung điểm của dây NM 
* Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa 
hai 
a) Đường tròn ( O ) có E là điểm chính giữa của cung CD  OE ⊥ CD 
b) Đường tròn ( O ) có OE ⊥ CD ( E thuộc cung CD )  E là điểm 
12) Trong một đường tròn hai cung chắn bởi hai 
dây song song thì bằng nhau . 
13)* Trong một đường tròn đường kính đi qua 
điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung 
điểm của dây căng cung ấy. 
A B
CD
O
NM
P
Q
I
O
điểm chính giữa của cung NM  PN PM 
là dây có PN PM và  PQ NM = I  I là 
là 2 dây )  AD BC 
14) Đường tròn ( O ) có AB // DC (AB và CD 
15) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN là dây cung ; MI = IN và PQ NM = I  P là 
C D
O
E
chính giữa của cung CD hay sđ CE = sđ ED = sđ CD 
2
1
16) Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn  ABCD là hình thang cân . 
22) Nếu tứ giác ABCD có DAC DBC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn . 
2
a 3
4
a 32
  thì EF là cạnh của tam giác đều nội tiếp  EF = R 3 . 20)Đường tròn ( O; R ) có EF 120
thì CD là cạnh của hình vuông nội tiếp  CD = R 2  19) Đường tròn ( O; R ) có CD 90
  thì AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp  AB = R . 18) Đường tròn ( O; R ) có AB 60
c) Nếu tam giác đều có cạnh là c thì c = R 3 . 
b) Nếu hình vuông có cạnh là b thì b = R 2 . 
D C
B
A
y '
x'
t
yx O
23)Ox’ là tia phân giác của góc xOt ; 
Oy’ là tia phân giác của góc tOy 
và góc xOt kề bù với góc tOy suy ra 
Ox’ ⊥ Oy’  x'Oy' = 900 
24) 
 25) Đường tròn ( O; R ) có OB = R và OB ⊥ AC tại B  AC là tiếp tuyến của 
 đường tròn ( O ) 
Nếu CA và CB là hai tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ( A và B 
là hai tiếp điểm ) thì : 
+ CA = CB ; OA ⊥ CA ; OB ⊥ CB 
+ OC ⊥ AB ; OC là đường trung trực của AB 
+ OC là tia phân giác của góc AOB ; CO là tia phân giác của 
góc ACB 
A B C 
O 
26) a) Đường tròn ( O) có AB là đường kính và B là điểm chính giữa của 
b)Đường tròn ( O) có AB là đường kính và AB ⊥NM tại I  B là điểm 
I 
H . 
d) sđ NB  sđ MB và B MN thì B là điểm chính giữa cung MN 
c) H thuộc cung AN  sđ AN = sđ AH + sđ HN 
 sđ NM ) 
2
MB
1
chính giữa của cung MN ( tức là sđ NB  sđ 
 sđ NM )  AB ⊥ NM tại I 
2
MB
1
cung MN ( tức là sđ NB  sđ 
BA
N
M
O
O C
A
B