Tuyển tập 20 đề thi học sinh giỏi Toán 8

TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI HSG TOÁN 8
ĐỀ 1 
Câu 1: Cho x = ; y = Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2: Giải phương trình:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3: Xác định các số a, b biết: = +
Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ 2 
Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: = = . Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + )
Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5:Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho: AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB> 2BC. Tính góc của 
B, Nếu AB < BC. Tính góc của .
ĐỀ 3 
Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2: Cho A = : 
a, Rút gọn A	b, Tìm A khi x= -	c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3: 
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < ++< 2
b, Cho x,y 0 CMR: + +
Câu 5:Cho đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc 
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR đều.
ĐỀ 4 
Câu 1:Phân tích thành nhân tử:
a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1
Câu 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A = + + 
b, Cho biểu thức: M = 
+ Rút gọn M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = 1 và a3 > 36, CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca
b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất: P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6: Cho . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc và của tứ giác ABDC.
ĐỀ 5 
Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003. Biết x,y,z thoả mãn: = ++
Câu 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0. CMR: +++ 0
Câu 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Câu 6: Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ 6 
Câu 1:
Cho = và = . Tính giá trị của biểu thức A = 
Câu 2: 
Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức. M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = +
Câu 4: 
a, Cho 0 a, b, c 1. CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0 <a0 <a1 < ... < a1997. CMR: < 3
Câu 5:
a,Tìm a để PT = 5 – a có nghiệm Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: ++ =
Câu 6: Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc cắt BC tại P, kẻ phân giác góc cắt CD tại Q. CMR PQ AM
ĐỀ 7 
Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn: + + = 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất A = ++
Câu 3: Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M120 aZ
Câu 4: Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = 
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = 
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT:x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:Giải BPT: > - 1
Câu 7:Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3. CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8: . Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E. CMR: cân.
ĐỀ 8 
Câu 1:Cho A = 
a, Rút gọn A
b, Nếu nZ thì A là phân số tối giản.
Câu 2:Cho x, y > 0 và x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - )
Câu 3: 
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 a, b , c 1. CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1
Câu 4: Tìm x, y, z biết: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5: Cho nZ và n 1. CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = 
Câu 6: Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN. CMR: AK = BC
ĐỀ 9 
Câu 1: Cho M = + + ; N = + +
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2. CMR: + + 1
Câu 3.Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số sao cho là số nguyên tố
Câu 5:Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A = + + + không phải là số nguyên.
Câu 6: Cho cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP. CMR: BC PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0). Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
ĐỀ 10 
Câu 1:Cho a, b, c > 0 và 
P = ++
Q = + + 
a, CMR: P = Q
b, CMR: P 
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1. CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0
Câu 3:CMR x, yZ thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 6:Cho x = ; y = . Tính giá trị: M = 
Câu 7: . Giải BPT: (x là ẩn số)
Câu 8: Cho , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.Tính PQ theo BC
ĐỀ 11 
Câu 1: Cho x = ; y = ; z = . CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 
Câu 3: 
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1CMR: b+c 16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6:Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC. CMR: E, O, F thẳng hàng.
ĐỀ 12 
Câu 1:Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b, Cho: .CMR: 
Câu 4: CMR: ++.....+ < Với nN và n1
Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = (x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
ĐỀ 13 
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-)(1-).....(1-)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2. Tính M = 
Câu 2:
a, Cho a, b, c > 0. CMR: + + 
b, Cho ab 1. CMR: + 
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 và ==
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = 
Câu 5:Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) ( k là số nguyên dương cho trước.)
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ đều. CMR: D, E, F thẳng hàng.
ĐỀ 14 
Câu 1: Cho A = (
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2: 
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:Cho a, b, c > 0. CMR: 
Câu 4:CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1
Câu 5: Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn . Xác định f(x)
Câu 6:Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.CMR: OE = OF
ĐỀ 15 
Câu 1:Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0. Tính giá trị M = 
Câu 2: Cho a ≠ 0 ; 1 và . Tìm a nếu x1997 = 3
Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm: 
Câu 4:Với nN và n >1. CMR: 
Câu 5:Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1. Tìm giá trị M biết: xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:Cho (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E. So sánh S và S
ĐỀ 16 
Câu 1:Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2. CMR: với abc ≠ 0
Câu 2:Cho abc ≠ 0 và . CMR: 
Câu 3:Cho a,b,c là 3 số dương và nhỏ hơn 1. CMR: Trong 3 số:(1-a)b;(1-b)c;và(1-c)a không đồng thời lớn hơn 
Câu 4:Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:Cho nN và n >1. CMR: 1 +
Câu 7:Cho về phía ngoài vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của vuông góc với EF và AI = EF
Câu 8: CMR: là phân số tối giản (với nN).
ĐỀ 17 
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:. Cho x > 0 và x2 + = 7. Tính giá trị của M = x5 + 
Câu 3:Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1. CMR: 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.CMR: 0 a, b, c 
Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
Câu 6:Tìm nghiệm nguyên của PT: = 3
Câu 7: Cho biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của 
ĐỀ 18 
Câu 1:Rút gọn: M = 
Câu 2:Cho: x = . Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4. CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n N thì P.Q là số chẵn.
Câu 5:
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 12 + 22 +....+n2 là một số chính phương.
Câu 6:Cho vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc).
a, CMR: AH = CK
b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng 
ĐỀ 19 
Câu 1:Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
CMR: S = 
 M = 
Câu 2: 
a, Cho a, b, c > 0. CMR: 
b, Cho 0 a, b, c 1. CMR: a+b+c+ + abc
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất:A = 
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = (x,y > 0)
Câu 4:
a,Tìm nghiệm Z+ của: 
b, Tìm nghiệm Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y
Câu 5: Cho , đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc của 
Câu 6:Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho P = 
ĐỀ 20 
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 và ; abc ≠ 0. CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 và 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 . CMR: z là số lớn nhất.
Câu 2:
a, Cho a, b, c ≠ 0. CMR: 
b, Cho nN, n > 1 . CMR: 
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0
a, P = 
b, Q = 
Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1
Câu 6:Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC, BD.
a, CMR: S = 
b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME.