Tuyển tập 80 Bài toán Hình học Khối 9

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải: 
Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Ð CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900.
CF là đường cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; ÐA là góc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: Ð BEC = Ð ADC = 900 ; ÐC là góc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ÐC1 = ÐA1 (vì cùng phụ với góc ABC)
ÐC2 = ÐA1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ÐC1 = Ð C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C 
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 => ÐC1 = ÐE1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
ÐC1 = ÐE2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
ÐE1 = ÐE2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải: 
Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
 Ð CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
 => Ð CEH + Ð CDH = 1800
 Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: 	BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến 
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ÐBEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.
 Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ÐE1 = ÐA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => ÐE3 = ÐB1 (2)
Mà ÐB1 = ÐA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ÐE1 = ÐE3 => ÐE1 + ÐE2 = ÐE2 + ÐE3 
Mà ÐE1 + ÐE2 = ÐBEA = 900 => ÐE2 + ÐE3 = 900 = ÐOED => DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ó ED2 = 52 – 32 ó ED = 4cm
Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh ÐCOD = 900.
3.Chứng minh AC. BD = .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
5.Chứng minh MN ^ AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 900.
Theo trên ÐCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
Theo trên ÐCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 
6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B 
Do đó BI ^ BK hayÐIBK = 900 . 
Tương tự ta cũng có ÐICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có ÐC1 = ÐC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
ÐC2 + ÐI1 = 900 (2) ( vì ÐIHC = 900 ). hoctoancapba.com
ÐI1 = Ð ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 
Từ (1), (2) , (3) => ÐC1 + ÐICO = 900 hay AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Lời giải:
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính 
Và dây cung) => ÐOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 hoctoancapba.com Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác cân. => ÐB1 = ÐB2 
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ÐB1 = ÐB2 => D AHB = DAIB => AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao 
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải: 
(HS tự làm).
2.Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâm
chắn cung AM => é ABM = (1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => é AOP = (2) 
Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP (3) 
Mà ÐABM và ÐAOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ÐPAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); ÐNOB = 900 (gt NO^AB).
=> ÐPAO = ÐNOB = 900; OA = OB = R; ÐAOP = ÐOBN (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ 
Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có ÐPAO = ÐAON = ÐONP = 900 => K là trung điểm của PO (t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
 AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7)
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ÐAPM => ÐAPO = ÐMPO (8).
Từ (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M b ...  xác định tâm và bán kính theo R.
M
HD: a) AB CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) 
//
E
 ACBD là hình vuông.
=
 b) = = 450 ; = = 450
O
B
A
 = ED là tia phân giác của .
 = 450 ; = 450 (∆ EMB vuông cân tại E)
 = (2 góc đồng vị) ED // MB.
D
c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE DE ; ED // BM 
 CE BM CE là đường trung trực BM.
d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R
 Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R)
Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M.
 a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường tròn đó.
 b. Chứng minh: CA = CM.
 c. Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O ở K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp.
Bài 59: BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H.
 a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. 
 b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O.
 c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’.
 d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC.
 Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN.
Bài 60: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường tròn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P.
 a. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được.
 b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC.
 c. Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆CPD.
Bài 61: Cho ∆ABC cân (AB = AC; < 900), một cung tròn BC nằm bên trong ∆ABC tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK.
 a. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.
 b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác .
 c. Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC.
C
 Bài 62: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CIAM (IAM). 
 a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường tròn.
=
M
 b. Chứng minh: Tứ giác BMCI là hình bình hành.
1
2
N
 c. Chứng minh: . 
=
I
 d. Chứng minh: MA = 3.MB.
HD: a) () ; ()
B
O
A
 Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900)
 b) MB // CI (BM). (1)
∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) (đ/đ) ; NC = NB ; (slt)
 CI = BM (2). Từ 1 và 2 BMCI là hình bình hành.
 c) ∆ CIM vuông cân (;) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vì OI chung ; 
IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) mà: 
 d) ∆ ACN vuông có : AC = R ; NC = (với R = AO)
Từ đó : AN =  ; NI = 
 MB = AM = AN + MN = + = 
 AM = 3 BM.
 Bài 63: Cho ∆ABC có = nội tiếp trong đường tròn (O), đường cao AH cắt đường tròn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. 
 a. Chứng minh: .
 b. Tính .
 c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hỏi tâm I của đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động trên đường nào? Nêu cách dựng đường đó (chỉ nêu cách dựng) và cách xác định rõ nó (giới hạn đường đó).
A
 d. Chứng minh: ∆IOE cân ở I.
HD: a) ABHK nội tiếp ;
K
 ( cùng chắn cung BD) 
 b) CE cắt AB ở F. ;
I
F
E
 AFEK nội tiếp = 1200 
 c) 
H
C
B
 Vậy I chuyển động trên cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn BC, cung 
 này nằm trong đường tròn tâm (O).
S
D
 d) Trong đ/tròn (O) có = sđ ; trong đ/tròn (S) có = sđ 
 vì = (so le trong) nên: = mà = = đpcm.
D
C
Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PKAD và PH AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh rằng:
a. I là trung điểm của AP.
b. Các đường PH, BI và AM đồng quy.
c. PM = PK = AH.
K
P
d. Tứ giác APMH là hình thang cân.
M
HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R(B)) mà (góc nội tiếp )
 BIAP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến 
 I là trung điểm của API
b) HS tự c/m.
c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA
 AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật AH = KP PM = PK = AH
H
B
A
d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t)
 = PA // MH
Vậy APMH là hình thang cân.
Bài 65: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn.
b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.
H
O
c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN.
B
A
HD: a) BOIM nội tiếp được vì 
I
b) ; (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
 ∆ IBN ~ ∆OMB.
N
M
c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R(O)
Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó SAIO lớn nhất 
Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức 
 Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R(O) thì SAIO lớn nhất .
A
Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (DA và DC). 
D
a. Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của .
b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI CE.
=
c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn.
=
E
O
d. Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC.
HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). HS tự c/m :
 AB = AC = BC = R
C
B
Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC
AO hay AI là tia phân giác của .
I
b) Ta có : DE = DC (gt) ∆ DEC cân ; = = 600 (cùng chắn )
∆CDE đều. I là điểm giữa = = 
 DI là tia phân giác ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao DI CE
c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE IE = IC mà I và C cố định IC không đổi E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I (cung nhỏ )
D → C thì E → C ; D → A thì E → B   E đi động trên nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều.
Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho :
 AE = DF =. 
a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng.
b. Chứng minh AF BE.
c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF.
Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; = 450. Vẽ các đường cao BD và CE. 
Gọi H là giao điểm của BD, CE.
a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC.
c. Tính tỷ số: d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OADE
Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì ( + ) không đổi.
c. DB.DC = DN.AC
Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh:
a. BC // DE.
b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được.
c. Tứ giác BCQP là hình gì?
Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
a. ∆ABD ~ ∆CBA.
b. = 
c. Tứ giác APBQ nội tiếp.
Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được.
b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?
c. Kẻ MHAB (HAB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH.
 d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh:.
Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I.
a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC.
b. Chứng minh: IC2 = IK.IB.
c. Cho = 600. Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O.
Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ ENAC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F.
a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó.
b. Chứng minh: EB là tia phân giác của .
c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED.
a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.
b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao?
c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O).
Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC =AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K.
a. Tính độ lớn góc .
b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK.
c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB. 
 Chứng minh: H, E, K thẳng hàng.
d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC.
Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được.
b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao?
c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh: r2 = r12 + r22.
Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M.
a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì?
b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó.
c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy.
Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’.
a. Chứng minh: HEAC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.
Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp 
 ∆ ABH và ∆ ACH . 
1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK.
2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N.
 a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Chứng minh AM = AN.
 c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN.