TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng
Giải:
Cách 1: Ta có:
(Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 )
Vậy
Cách 2: (vì 22 )
2) Chứng minh rằng: x2 + 3 +
Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có:
3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng Giải: Cách 1: Ta có: (Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2) Vậy Cách 2: (vì 22) 2) Chứng minh rằng: x2 + 3 + Giải: Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có: 3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: Giải: (BĐT đúng) Vậy 4) Cho a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1 Ta có: a + b 1 Mà (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1 5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki Vậy 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: Giải: 0 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0 Giải: Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2. a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm) 8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) a + a < a + b + c 2a < 2 a < 1. Tương tự b < 1, c < 1 Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 (1 – b – a + ab)(1 - c) > 0 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0 Nên abc < -1 + ab + bc + ca 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2) 9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: Giải: (BĐT đúng) Vậy 10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 1 2b a2 + 1 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b) (a2 + b2 + 1) ab + a + b 11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) Giải: Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0 Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có: (1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y)2 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y) 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y) 4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) 12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì Giải: Ta có: (vì a+b+c=1) Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Giải: a) Ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: a<b+c; b<c+a;c<a+b Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1+b2 2 Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a2 2a a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) 14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x2 + y2 + z2 Giải: Ta có: x2 + y2 + z2 (là bất đẳng thức đúng) 15) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 16) Cho a0, b0,c0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab hai lần 17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0 Giải: Ta có: 0 (là bất đẳng thức đúng) Vậy 18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: a + b + Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: 19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có: Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử abc>0. Ta có Tương tự ta có: Do đó: + += ab(a-b)+. 0 20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a + b 16abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: 1 = (a + b +c)2 4a(b + c) Mà (b + c)2 4bc nên b + c 4a.4bc hay b + c 16abc 21) Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minh Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh 22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Giải: Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2 Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2 (c+a-b)(c-a+b) c2 [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2 (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với mọi x,y,z Giải: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 (BĐT đúng) Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 24) a) Chứng minh (với a,b > 0) b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4 Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 2 Vậy b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)2[(a + + 0 a4 + b4 a3b + ab3 2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3 2(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b) 2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3) 2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0 Vậy a3+b3 a4 + b4 25) a) Cho a 0, b 0. Chứng minh: b) Cho . Chứng minh rằng: Giải: a) (a + b)(9 + ab) 12ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: b) Ta có: a4 + b4 = 26) Cho a+b+cabc. Chứng minh rằng a2+b2+c2abc Giải: Vì a+b+cabc nên có hai trường hợp xảy ra - Trường hợp : Ta có: - Trường hợp: trong ba số có ít nhất một số nhỏ hơn 1 Không mất tính tổng quát, giả sử Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 27) Cho x1, y1. Chứng minh Giải: 28) Chứng minh rằng với mọi a,b Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a+b 0, ta có: (BĐT đúng) Vậy với mọi a,b 29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh: Giải: Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh 30) Cho a,b,c>0. Chứng minh : Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ; 31) Chứng minh rằng: Giải: Ta có: Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 Áp dụng (*) ta có: 32) Cho a0, b0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Vậy 33) Cho xy =1, x>y. Chứng minh rằng Giải: Ta có: (theo BĐT côsi) 34) Chứng minh: Giải: Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b dấu ‘=’ xảy ra khi a = b Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b Ta có: 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (a+b-c)2 0 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < 2 2ab+2ca-2bc 2 (do abc>0) 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức 37) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: Giải: (áp dụng bất đẳng thức phụ ) 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: Tương tự: Vậy 39) a) Chứng minh: với mọi x b) Chứng minh Giải: a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo côsi cho hai số dương) dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x Vậy với mọi x b) (BĐT đúng) Vậy 40) Cho a2. chứng minh rằng: Giải: (vì a2) vì a2 nên 2a – 2 < 2a – 1 41) Chứng minh bất đẳng thức: Giải: Nếu ac + bd 0 thì BĐT đúng Nếu ac + bd > 0 thì (BĐT đúng) Vậy ta có: 42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1. a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng các bất đẳng thức phụ: ( HS tự chứng minh ) a) Ta có: b) 43) Cho a,b 0. Chứng minh a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z3 Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0 Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 1 44) Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: = a + b + c 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1. Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1 Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 46) Cho a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 Hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b thế vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ 47) Chứng minh rằng nếu x+y+z =1 thì x2+y2+z2 Giải: x2+y2+z2 = 48) Chứng minh rằng: 2( (với n là số nguyên dương) Giải: Ta có: Mặt khác: Vậy 49) Cho x,y0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng Giải: Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 và y2 1 mà x0, y0 0x1 và 0x1 x3x2 , y3y2 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y (2) Từ (1) và (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Tương tự: 51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 b)Gọi m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z như nhau, giả sử xyz. Vì m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 m, (y-z)2m Mặt khác: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m 52) Cho a,b là các số dương. Chứng minh: Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương 54) Chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta có đẳng thức: HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 55) Chứng minh 1998 < HD: sử dụng bài toán phụ: 2( để chứng minh 56) a) Cho a,b 1. Chứng minh: b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng: Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Tương tự Vậy b) Vì a+b+c = 1 nên: (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: 57) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0. Chứng minh các BĐT: a) Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu a c) Chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra điều cần chứng minh 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c6 Giải: Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với mọi x,y (do a2 + b2 + c2 = 3 ) Vậy ab+bc+ca+a+b+c6 60) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: Mặt khác: 61) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) Giải: Ta có: p – a = (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: (p – a)(p – b) Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 62) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: 63) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: 1 + a2 2a Tương tự: Chứng minh: dung biến đổi tương đương 64) Chứng minh: HD: Ta có: Áp dụng bài toán trên suy ra BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: Tương tự: 66) Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+ Giải: Ta có: (x+y)2 4xy Mặt khác: (HS tự chứng minh) Suy ra: 8(x4+y4)+ 67) Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh: Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: 68) Cho a+b+c = 3. Chứng minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3 Giải: Áp dụng bài toán phụ x4+y4x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3) Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c3 69) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Chứng minh: Giải: Vì x,y,z>0 và x3+y3+z3 = 1 nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: Tương tự: Vậy 70) Cho a,b>0. Chứng minh: Giải: Ta có: 71) Chứng minh: với a>b>0 HD: bình phương hai vế rồi dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh: Giải: Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 Và (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1 Vậy 73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0 Giải: a+b+c = 0 74) Cho a,b,c > 1. Chứng minh : Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: Tương tự: Vậy 75) Cho x,y là hai số thực sao cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2)2 Giải:
Tài liệu đính kèm: