Tuyển tập đề thi môn Toán THCS tỉnh Hải Dương

 1 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS 
TỈNH HẢI DƯƠNG 
hieuchuoi@ 
Tháng 7.2006 
www.VNMATH.com
 2 
GIỚI THIỆU 
Tuyển tập đề thi này gồm tất cả 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT 
chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) và 10 đề thi học 
sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương. Phần cuối tuyển tập là 30 bài toán được chọn từ 
các đề thi khác. Cấu trúc tuyển tập như sau: 
Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 
Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 
Phần III: Một số bài toán từ các đề thi khác 
Xin chú thích thêm vể các bài toán ở Phần III, đó là các bài toán được 
chọn từ các đề thi Toán không được giới thiệu toàn bộ trong tuyển tập này. Có 
nhiều bài toán khó, đề phân loại học sinh trong các cuộc thi, hoặc những bài 
toán đã được cải biên cho hay hơn, khó hơn. 
Tuyển tập này không có lời giải, mọi vấn đề hỏi đáp, yêu cầu, góp ý xin 
xem tại  
 Toán cho học sinh THCS 
 Đề thi-Đáp án 
 
Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương 
Tuyển tập chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn thông 
cảm. 
hieuchuoi@ 
Tháng 7.2006 
www.VNMATH.com
 3 
PHẦN I 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
www.VNMATH.com
 4 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 1997-1998 
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN – THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2 2( 1) ( 1)ab a b= − + + 
2) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 3 3 34 2 0x y z− − = 
Câu II: 
1) Tính tổng 
 1 1 1 1 1 11 1 .... 1
2 2 2 2 2 22 3 3 4 1997 1998
S = + + + + + + + + + 
2) Tính giá trị biểu thức A: 
2 2 1A x x x= + + + với 1 1 12 2
2 8 8
x = + − 
Câu III: 
Ba đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC tại 1 1 1, ,A B C . Chứng minh rằng: 
1 1 1AA BB CC AB BC CA+ + > + + 
Câu IV: 
Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác 
BAD cắt cạnh BC và CD tại M 
và N. 
1) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN nằm trên 
đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD . 
2) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN và đường 
tròn ngoại tiếp tam giác CBD. Chứng minh rằng 
 090AKC = . 
Câu V: 
Chứng minh bất đẳng thức: 
2
1 1
1997 1998
a b b c c a
c a b
− − −  
+ + ≤ − 
 
Trong đó 1997 , , 1998a b c≤ ≤ 
www.VNMATH.com
 5 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 1998-1999 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Giải hệ phương trình 
2
2
2
xy y
yz z
zx x
− =

− =
 − =
Câu II: 
Dãy số 1, 2 ,..., na a a được cho theo quy luật sau: 
1 2 1 1
1 1
1 1
1; ;....; n n
n
a a a a a
a a− −
= = + = + 
Chứng minh rằng 14517 21a< < 
Câu III: 
Cho tam giác ABC không cân, BD và CE là hai đường phân giác trong của 
góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho ID=IE 
1) Tính độ lớn góc 
BAC . 
2) Chứng minh đẳng thức 
3 1 1
AB BC CA AB BC BC CA
= +
+ + + +
Câu IV: 
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. AM, BM, 
CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P, Q, R. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
AM BM CM
MP MQ MR
+ + 
www.VNMATH.com
 6 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 1998-1999 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3 2 6 0
2 8 10 12 0
x xy y x y
x xy y x x
 + + − + − =

+ − + + + =
Câu II: 
Tìm các số nguyên k, m, n đôi một khác nhau và đồng thời khác 0 để đa 
thức ( )( )( ) 1x x k x m x n− − − + phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số 
nguyên. 
Câu III: 
Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài hình tròn. Qua M kẻ cát 
tuyến cắt đường tròn tại B, C (MC > MB) và tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm). 
1) Gọi E, F là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ B, C. Chứng minh 
rằng EF luôn song song với một đường thẳng cố định khi cát tuyến MBC 
thay đổi. 
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên MO. Chứng minh rằng tứ giác 
BHOC là tứ giác nội tiếp. 
3) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC khi cát tuyến MBC thay đổi. 
Câu IV: 
Cho đa giác lồi 1 2 3 4 5 6 7 8A A A A A A A A có các góc ở đỉnh bằng nhau và độ dài 
các cạnh là những số nguyên. Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu 
xanh hoặc đỏ. 
Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng độ dài 
các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ. 
Câu V: 
Chứng minh bất đẳng thức: 
( )2
1
2
3 2
m
n n
− ≥
+
 với *,m n N∈ 
www.VNMATH.com
 7 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2000-2001 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Tính giá trị của biểu thức: 
1995.1997.1998.1999.2000.2001 36+ 
Câu II: 
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 
5 2 4 3 2 2 3 6 7x y y x x y x y− + + − − + + + + + + = 
2) Giải phương trình theo tham số m: 
m m m x x− − − = 
3) Cho tứ giác lồi có diện tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh 
và hai đường chéo. 
Câu III: 
Chứng minh rằng với bất kì hai số a và b luôn tìm được các số x, y trong đó 
0 1,0 1x y≤ ≤ ≤ ≤ . Thỏa mãn bất đẳng thức: 
1
3
xy ax by− − ≥ 
Có thể thay số 
1
3
ở bất đẳng thức trên bằng hằng số c khác với 
1
3
c > được 
không? 
Câu IV: 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt 
nhau tại I. Gọi 1O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, 2O là tâm của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI. 
1) Chứng minh tứ giác 1 2OOO I là hình bình hành. 
2) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O tại M, N, cắt đường tròn tâm 
1O và tâm 2O thứ tự tại P, Q. Chứng minh rằng PM=QN. 
www.VNMATH.com
 8 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2001-2002 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Chứng minh rằng biểu thức: 
2 2
x y x y
A xy x xy y
 +   + 
= + − + − −   
   
Không phụ thuộc vào x và y. 
Câu II: 
1) Giải phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 4 1 12 1x x x− − − = + 
2) Xác định các giá trị của m để phương trình: 
2 2
24 4 1 6 7 0
2
x mx m
x x
x m
− + +
+ − + =
−
Có một nghiệm duy nhất. 
Câu III: 
1) Cho hai đường tròn tâm 1O và 2O tiếp xúc trong tại M (đường tròn tâm 
2O nằm trong), N là một điểm nằm trên ( )2O (N khác M), qua N kẻ một 
tiếp tuyến với ( )2O cắt ( )1O tại A và B. Đường thẳng MN cắt ( )1O tại E. 
Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến với ( )2O kẻ từ E. Đường thẳng EI cắt 
đường tròn ( )1O tại C. 
Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
2) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và r, R lần lượt là độ dài bán kính 
đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần 
và đủ để tam giác ABC đều là: 
1 1 1 3
2a b c Rr
+ + = 
Câu IV: 
Cho n là số tự nhiên lẻ và n có thể biểu diễn không ít hơn hai cách là tổng 
của hai số chính phương. Chứng minh rằng n là hợp số. 
www.VNMATH.com
 9 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2002-2003 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Bài I: 
Cho đa thức f(x) có bậc 2000 thỏa mãn điều kiện ( ) 1f n
n
= với 
1,2,3,....,2001n = . Tính giá trị f(2002). 
Bài II: 
1) Giải phương trình ( )3 28 1 3 2x x x+ = − 
2) Cho ba số , , Ν*k m n∈ đồng thời thỏa mãn 
1 1 1
1
k m n
+ + < 
Xác định số hữu tỉ q nhỏ nhất sao cho 
1 1 1
q
k m n
+ + ≤ . 
Bài III: 
1) Cho tam giác nhọn ABC có 
 060BAC = và nội tiếp trong đường tròn tâm 
O. Gọi H là trực tâm tam giác đó. 
Chứng minh rằng OH AB AC= − 
2) Cho tam giác đều ABC và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam 
giác đều đó đồng thời đi qua hai đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài 
đường trong, M là điểm trên đường tròn (M không trùng với B và C). 
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. 
Bài IV: 
1) Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau: 
1 2 314; 144; 1444;...; 1444...4nu u u u= = = = (có n chữ số 40. 
Tìm các số hạng của dãy là số chính phương. 
2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô của một hình vuông 3x3 ô 
(mỗi số chỉ lấy 1 lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo 
đều là bội của 9. Chứng minh rằng chữ số nằm ở ô của tâm hình vuông là 
bội của 3. 
Hãy chỉ ra một cách xếp có số ở ô tâm là 6. 
www.VNMATH.com
 10 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2003-2004 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng 
{ }; 1; 0; 0T ax by x y x y= + + = > > 
Chứng minh rằng các số 
2ab
a b+
 và ab đều thuộc tập hợp T. 
Câu II: 
Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các 
cạnh AB và AC, đường phân giác của góc B cắt đường thẳng DE tại H. 
Chứng minh tam giác BHC là tam giác vuông. 
Câu III: 
1) Giải hệ phương trình; 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
45
85
x y x y
x y x y
 + − =

− + =
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số 
1 1 1
; ;a b c
b c a
+ + + là các số nguyên dương. 
Câu IV: 
Tìm đa thức ( )f x và ( )g x hệ số nguyên sao cho: 
( )
( )
2 7
2
2 7
f
g
+
=
+
Câu V: 
Tìm số nguyên tố p để 24 1p + và 26 1p + đều là các số nguyên tố 
Câu VI: 
Cho phương trình 2 0x ax b+ + = có hai nghiệm là 1x và 2x ( )1 2x x≠ . Đặt 
1 2
1 2
n n
n
x x
u
x x
−
=
−
 (n là số tự nhiên). Tìm giá trị a và b sao cho đẳng thức 
www.VNMATH.com
 11 
( )1 2 3 1
n
n n n nu u u u+ + +− = − đúng với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra 
1 2n n nu u u+ ++ = . 
www.VNMATH.com
 12 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2004-2005 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Tìm giá trị của a đề phương trình: 
( ) ( ) ( )4 3 21 3 3 3 3 3 3a x a a a x− + − + + = − 
Có vô số nghiệm. 
Câu II: 
Tìm các số tự nhiên a, b, c ( )a b c≤ ≤ thỏa mãn đẳng thức: 
1 1 1
1 1 1 2
a b c
   + + + =   
   
Câu III: 
Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho 
3
3
a b
b c
−
−
 là số hữu tỉ. 
1) Chứng minh rằng 2b ac= 
2) Với 1b ≠ . Chứng minh rằng 2 2 2a b c+ + là hợp số. 
Câu IV: 
Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho 

 
 0180AMB CMD+ = . Chứng minh rằng 
 
MAD MCD= . 
Câu V: 
Cho tam giác cân ( )ABC AB AC= , đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt 
cạnh AC tại D thỏa mãn BC BD DA= + . 
1) Tính các góc của tam giác ABC. 
2) Chứng minh rằng 3 3 23a b ab+ = ( );AB AC b BC a= = = . 
www.VNMATH.com
 13 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2005-2006 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho phương trình 2 5 3 0x x− + = . 
Gọi hai nghiệm của phương trình là 1 2,x x . Tính giá trị của biểu thức: 
1 22 1A x x= − − + 
Câu II: 
1) Giải hệ phương trình: 
10 6 4
6 10 4
x y
x y
 + + − =

− + + =
2) Cho phương trình ( )( )( )( ) ( )2 21 2 3 6 1x x x x m x− − − − = − (ẩn x) 
Giả sử phương trình có bốn nghiệm là 1 2 3 4, , ,x x x x . Chứng minh giá trị của 
biểu thức 
1 2 3 4
1 ... bc+ + ≤ + 
www.VNMATH.com
 24 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2003-2004 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I : 
Giải phương trình: 
( )( )
2 2 2 2 4 0
57 3 6 38 6 57 3 6 38 6
17 12 2 3 2 2 3 2 2
xy x y a x y x y xy b
a
b
− − + + + + − =
= + + + − − +
= − + − + +
Câu II: 
Hai phương trình ( ) ( )2 21 1 0; 1 0x a x x b x c+ − + = + + + = có nghiệm 
chung, đồng thời hai phương trình ( ) ( )2 21 0; 1 0x x a x cx b+ + − = + + + = cũng 
có nghiệm chung. 
Tính giá trị của biểu thức 
2004a
b c+
Câu III: 
Cho hai đường tròn ( )1O và ( )2O cắt nhau tại A và B. Đường thẳng 1O A 
cắt ( )2O tại D. Đường thẳng 2O A cắt ( )1O tại C. Qua A kẻ đường thẳng song 
song với CD cắt ( )1O tại M và cắt ( )2O tại N. Chứng minh rằng: 
1) Năm điểm 1 2, , , ,B C D O O cùng nằm trên một đường tròn. 
2) BC BD MN+ = 
Câu IV: 
Tìm các số thực x và y thỏa mãn 2 2 3x y+ = và x y+ là một số nguyên. 
www.VNMATH.com
 25 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2004-2005 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình 
2 2004 1 0x x+ + = và 3 4,x x là 
nghiệm của phương trình 2 2005 1 0x x+ + = . Tính giá trị của biểu thức 
( )( )( )( )1 3 2 3 1 4 2 4x x x x x x x x+ + − − 
2) Cho a, b, c, d là các số thực và 2 2 1a b+ < . Chứng minh rằng phương trình 
( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 1 0a b x ac bd x c d+ − − + − + + − = luôn có nghiệm. 
Câu II: 
Cho hai số tự nhiên m và n thỏa mãn 
1 1m n
n m
+ +
+ là số nguyên. Chứng minh 
rằng ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m n+ . 
Câu III: 
Cho hai đường tròn ( )1O và ( )2O cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung của hai 
đường tròn gần B có tiếp điểm là C và D; ( ) ( )1 2;C O D O∈ ∈ . Qua A kẻ đường 
thẳng song song với CD, cắt ( )1O tại M và cắt ( )2O tại N. Đường thẳng BC, BD 
cắt đường thẳng MN tại P, Q. Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng 
minh rằng: 
1) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 
2) Tam giác EPQ là tam giác cân 
Câu IV: 
Giải hệ phương trình 5 5
1
11
x y
x y
+ =

+ =
www.VNMATH.com
 26 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2005-2006 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
Rút gọn biểu thức 
( )
( )
3 2 2 2
3 2 2 2
5 1 9 3
5 1 9 3
a a a a a
A
a a a a a
− + − − + +
=
− + − − − −
Câu II: 
Chứng minh rằng 0
5 1
cos72
4
−
= 
Câu III: 
1) Cho phương trình ( )2 23 2 1 6 11 0x p x p p− − + − + = (p là tham số) 
Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. 
2) Giải hệ phương trình 
( )
( )2 2
1
2 1 3
2
1
4 1 25
4
x y
y x
x y
xy
  
− − =  
  

  + + =   
Câu IV: 
Cho hai đường tròn ( ) ( )1 2,O O cắt nhau tại A và B. 
1) Một điểm M trên ( )1O , Qua M kể tiếp tuyến MD với ( )2O (D là tiếp 
điểm). Chứng minh rằng biểu thức 
2
.
MD
MAMB
 không phụ thuộc vào vị trí 
của M trên ( )1O . 
2) Kéo dài AB về phía B lấy điểm C. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với 
đường tròn ( )1O (E, F là các tiếp điểm và F nằm cùng phía với ( )2O bờ 
AB). Đường thẳng BE và BF cắt đường tròn ( )2O tại P và Q. Gọi I là 
trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thẳng hàng. 
www.VNMATH.com
 27 
PHẦN III 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC ĐỀ THI KHÁC 
www.VNMATH.com
 28 
Bài 1: Cho tam giác cân ( )ABC AB AC= . M là điểm chuyển động trên cạnh 
đáy BC. Dựng đường tròn thứ nhất đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường 
tròn thứ hai đi qua M tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại D. 
1) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua 1 điểm cố định 
2) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí 
của M. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN – Đã cải biên) 
Bài 2: Cho 1997 số thực 1 2 1997, ,...,a a a thỏa mãn 
1 2 3 1997
2 2 2 2
1 2 3 1997
... 0
... 1997
a a a a
a a a a
+ + + + =

+ + + + =
Chứng minh rằng trong 1997 số đó bao giờ cũng tồn tại hai số có tích không 
vượt quá 1− . 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. D là một điểm trên cạnh BC. 
1) Gọi 1 2; ;O O O thứ tự làm tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; 
ABD; ADC. Chứng minh rằng 1 2OOO là tam giác cân khi và chỉ khi AD là 
phân giác 
BAC . 
2) Dựng điểm D sao cho 2ABD
ADC
S
S
= 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 
Bài 4: Tìm các cặp số tự nhiên ( ),x y thỏa mãn phương trình: 
2 23 2 8 0x xy y− − + = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm chuyển động trên 
nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. 
Đường thẳng OC cắt AM tại E và đường thẳng OD cắt BM tại F. Chứng minh tứ 
giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
CEFD có chu vi nhỏ nhất. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 
www.VNMATH.com
 29 
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z với x y z< < thỏa mãn phương trình: 
( ) ( ) ( )4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 22 50x y z y x z z x y x y z+ + + + + + = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 22M x y z= + − với , ,x y z thỏa 
mãn: 
2 2
4 3 10
x y z
x y z
+ − =

+ − =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 8: Cho đường tròn ( )O và dây BC không qua tâm. A là điểm chuyển động 
trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. BM và CN là các đường cao của 
tam giác ABC. ( );M AC N AB∈ ∈ . Chứng minh rằng độ dài đường tròn ngoại 
tiếp tam giác AMN không đổi. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 
Bài 9: Cho , ,x y z là các số dương và 1xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2 3x xy y y yz z z zx x+ + + + + + + + ≥ 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2001-2002 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 10: Chứng minh rằng 2 2 2 2a b a c b c+ − + ≤ − với , ,a b c R∈ 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2002-2003 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 11: Cho đường tròn ( )O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường 
tròn. Từ M kẻ MH vuông góc AB ( )H AB∈ . Gọi E và F là hình chiếu của H 
trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D. 
1) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố dịnh khi M thay 
đổi trên đường tròn. 
2) Chứng minh 
MA AH AD
MB BD BH
= 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2003-2004 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
www.VNMATH.com
 30 
Bài 12: Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3 3 3; 1ab c a b c> + = + . Chứng 
minh rằng 1a b c+ > + . 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 13: Cho đường tròn ( )O và dây AB không qua tâm. M là điểm trên đường 
tròn sao cho tam giác ABM nhọn. Phân giác 
MAB và 
MBA cắt ( )O lần lượt tại 
P và Q. Gọi I và giao điểm của AP và BQ. 
1) Chứng minh rằng MI vuông góc PQ 
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với 
MB, và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường 
thẳng cố định khi M thay đổi. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O . Góc 
 060BAC = . H là 
trực tâm tam giác ABC. Đường thẳng OH cắt AB và AC lần lượt ở M và N. 
Chứng minh rằng BM CN MN+ = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN – Đã cải biên) 
Bài 15: Cho phương trình ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠ có hai nghiệm là 1 2,x x thỏa 
mãn 1 2 0ax bx c+ + = . Tính giá trị của biểu thức 
2 2 3 3M a c ac b abc= + + − 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 16: Tính giá trị của 
5 3
4 2
4 3 9
3 11
x x x
A
x x
− − +
=
+ +
 với 
2
1
1 4
x
x x
=
+ +
(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2004-2005) 
Bài 17: Tìm số nguyên m để 2 20m m+ + là số hữu tỉ. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2003-2004) 
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá ( )77 4 3+ 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2002-2003) 
www.VNMATH.com
 31 
Bài 19: Tìm cặp số nguyên ( ),x y thỏa mãn phương trình: 
3 7 3200x y+ = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2001-2002) 
Bài 20: Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện ( )BC AC AB AC≥ + . 
Giả sử D là một điểm trên BC kéo dài sao cho 
 
CAD ABC= . Chứng minh rằng: 
2
2 2
BD AD AB
AD BD AD
−
≥
−
Bài 21: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương: 
2 2 2
1
2 2 2
bc ac ab
a bc a ac c ab
+ + ≤
+ + +
(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương – vòng 1 – Năm học 1997-
1998- đã cả biên) 
Bài 22: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H, K lần lượt là trực 
tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh AH, BK cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đoạn. 
(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương - vòng 1 – Năm học 1997-
1998) 
Bài 23: 
1) Tìm số có ba chữ số aba sao cho ( )3aba a b= + 
2) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn 
2 2
3
7
a b
a ab b
+
=
− +
(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương – vòng2 – Năm học 1997-
1998) 
Bài 24: Cho a, b là các số thực dương và 2 3 3 4a b a b+ ≥ + . Chứng minh rằng 
3 3 2a b+ ≤ . 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi) 
Bài 25: Giải phương trình 2 2 21 1 2x x x x x x+ − + − + = − + . 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Dự bị) 
(Còn tiếp ở trang sau) 
www.VNMATH.com
 32 
5 bài toán từ 26 tới 30 là 5 bài toán trong Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi 
tỉnh Hải Dương năm 1997. 
Bài 26: Tìm tất cả các số tự nhiên k thỏa mãn: Tích các chữ số của k bằng 
44 86868k − . 
Bài 27: Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
2x y b
x y xy b
 − =

− =
Bài 28: Tìm mối liên hệ giữa , ,a b c biết rằng tích một nghiệm của phương trình 
2 1 0x ax+ + = với một nghiệm nào đó của phương trình 2 1 0x bx+ + = là một 
nghiệm của phương trình 2 1 0x cx+ + = . 
Bài 29: Cho MN là một dây của đường tròn ( )O . Vẽ một tam giác ABC bất kì có 
AB là đường kính của đường tròn và hai cạnh AC, BC lần lượt đi qua M, N. 
Chứng minh rằng đường cao hạ từ C của tam giác ABC đi qua một điểm cố định. 
Bài 30: Trong lục giác lồi ABCDEF độ dài các đường chéo AD, BE, CF đều lớn 
hơn 2. Hỏi có thể luôn tìm được ở lục giác đó một cạnh có độ dài lớn hơn 1 hay 
không? 
___HẾT___ 
www.VNMATH.com