120 Đề ôn tập vào lớp 10

120 §Ò ¤N TËP VµO LíP 10
I, mét sè ®Ò cã ®¸p ¸n
®Ò 1
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Tính : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
c) Chứng minh : OK.OS = R2. 
Bài 5 : (1 điểm) 
Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 
Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : 
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. 
Bµi 3:
Do ca n« xuÊt ph¸t tõ A cïng víi bÌ nøa nªn thêi gian cña ca n« b»ng thêi gian bÌ nøa: (h)
Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) (x>4)
Theo bµi ta cã: 
Vëy vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h
Bµi 4:
a) Ta cã (GT) (2 gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b¨ng nhau)
* Do A, M nh×n HK d­êi 1 gãc b»ng nhau MHKA néi tiÕp.
b) Do BC = BD (do ), OC = OD (b¸n kÝnh) OB lµ ®­êng trung trùc cña CD
 CDAB (1)
Xet MHKA: lµ tø gi¸c néi tiÕp, (gãc nt ch¾n nöa ®­êng trßn) (®l)
 HKAB (2)
Tõ 1,2 HK // CD
Bµi 5: 
(*) , §Ó PT cã nghiÖm (3)
(**) §Ó PT cã nghiÖm th× (4)
Céng 3 víi 4 ta cã: 
 (lu«n lu«n ®óng víi mäi a, b)
De 2
Đề thi gồm có hai trang.
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : 	(4 điểm)
1. Tam giác ABC vuông tại A có . Giá trị cosC bằng :
a). ; 	b). ; 	c). ; 	d). 
2. Cho một hình lập phương có diện tích toàn phần S1 ; thể tích V1 và một hình cầu có diện tích S2 ; thể tích V2. Nếu S1 = S2 thì tỷ số thể tích bằng :
a). ; 	b). ;	c). ;	d). 
3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
a). x ³ 2 ;	b). x ≤ –2 ;	c). x ³ –2 và x ≤ 2 ; 	d). x ³ 2 hoặc x ≤ –2
4. Cho hai phương trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Để hai phương trình cùng vô nghiệm thì :
a). a > 1 ;	b). a < 1 ;	c). ;	d). 
5. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm đối nhau là :
a). m < 0 ; 	b). m = –1 ; 	c). m = 1 ; 	d). m = – 4
6. Cho phương trình có nghiệm x1 , x2. Biểu thức có giá trị :
a). A = 28 ;	b). A = –13 ;	c). A = 13 ; 	d). A = 18
7. Cho góc a nhọn, hệ phương trình có nghiệm :
a). ; 	b). ; 	c). ; 	d). 
8. Diện tích hình tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a là :
a). ;	b). ;	c). ;	d). 
PHẦN 2. TỰ LUẬN : 	(16 điểm)
Câu 1 : 	(4,5 điểm)
Cho phương trình . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10.
Giải phương trình: 
Câu 2 : 	(3,5 điểm)
Cho góc nhọn a. Rút gọn không còn dấu căn biểu thức :
Chứng minh: 
Câu 3 : 	(2 điểm)
Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Câu 4 : 	(6 điểm)
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P Î (O), Q Î (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
-----HẾT-----
ĐÁP ÁN 
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : 	(4 điểm) 	0,5đ ´ 8
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
a).
x
x
b).
x
x
c).
x
x
d).
x
x
PHẦN 2. TỰ LUẬN :
Câu 1 : 	(4,5 điểm)
1. 
Đặt X = x2 (X ³ 0)
Phương trình trở thành (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 	+
 	(I)	+
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X2.
Þ phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = ; x3, 4 = 	
	+
Vậy ta có 	+
Với m = 1, (I) được thỏa mãn	+
Với m = –5, (I) không thỏa mãn.	+
Vậy m = 1.
2. 
Đặt (t ³ 1)	
Được phương trình 	+
	3t2 – 8t – 3 = 0
	Þ t = 3 ; (loại)	+
Vậy 
Þ x = ± 1.	+
Câu 2 : 	(3,5 điểm)
1.
 (vì cosa > 0)	+
	+
	(vì cosa < 1)	+
2. 
	+
	 = 
 = 	+
 = 	+
 = 	+
Câu 3 : 	(2 điểm)
	+
Tương tự, 	
	+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. 	+
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1	+
Câu 4 : 	(6 điểm)
O
O’
B
A
C
D
E
F
I
P
Q
H
+
1.
Ta có : 	ABC = 1v 
	 	ABF = 1v
Þ B, C, F thẳng hàng.	+
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.	++
2.
ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O)	+
Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)	+
Þ EBA = AFD hay EBI = EFI	+
Þ Tứ giác BEIF nội tiếp.	+
3.
Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng	+
Þ Þ HP2 = HA.HB	+
Tương tự, HQ2 = HA.HB	+
Þ HP = HQ Þ H là trung điểm PQ.	+
Lưu ý :
Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm.
Các cách giải khác được hưởng điểm tối đa của phần đó.
Điểm từng phần, điểm toàn bài không làm tròn.
 lu«n lu«n cã nghiÖm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------®Ò 3--
I.Tr¾c nghiÖm:(2 ®iÓm)
H·y ghi l¹i mét ch÷ c¸i ®øng tr­íc kh¼ng ®Þnh ®óng nhÊt.
C©u 1: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh lµ : 
A . 4
B . 
C . 16
D . 44
C©u 2 : Gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh mx2 +2 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
A. 
B. 
C. vµ 
D. vµ 
C©u 3 :Cho néi tiÕp ®­êng trßn (O) cã . S® lµ:
A . 750
B . 1050
C . 1350
D . 1500
C©u 4 : Mét h×nh nãn cã b¸n kÝnh ®­êng trßn ®¸y lµ 3cm, chiÒu cao lµ 4cm th× diÖn tÝch xung quanh h×nh nãn lµ:
A 9(cm2)
B. 12(cm2) 
C . 15(cm2)
D. 18(cm2)
II. Tù LuËn: (8 ®iÓm)
C©u 5 : Cho biÓu thøc A=
 a) T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa.
 b) Rót gän biÓu thøc A.
 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<1.
C©u 6 : Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× ®Çy bÓ sau 2 giê 24 phót. NÕu ch¶y riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u th× ®Çy bÓ?
C©u 7 : Cho ®­êng trßn t©m (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm C (AB>BC). VÏ ®­êng trßn t©m (O') ®­êng kÝnh BC.Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. VÏ d©y MN vu«ng gãc víi AC t¹i I, MC c¾t ®­êng trßn t©m O' t¹i D.
 a) Tø gi¸c AMCN lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh tø gi¸c NIDC néi tiÕp?	 
	c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ID vµ ®­êng trßn t©m (O) víi ®­êng trßn t©m (O'). 
§¸p ¸n 
C©u
Néi dung
§iÓm
1
C
0.5
2
D
0.5
3
D
0.5
4
C
0.5
5
a) A cã nghÜa 
0.5
b) A=
0.5
=
0.25
=2
0.25
c) A<1 2<1
0.25
0.25
 x<1
0.25
KÕt hîp ®iÒu kiÖn c©u a) VËy víi th× A<1
0.25
6
2giê 24 phót= giê
Gäi thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (giê) ( §k x>0)
0.25
Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: x+2 (giê)
Trong 1 giê vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc : (bÓ)
0.5
Trong 1 giê vßi thø hai ch¶y ®­îc : (bÓ)
Trong 1 giê c¶ hai vßi ch¶y ®­îc : +(bÓ)
Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh: +=
0.25
GiaØ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x1=4; x2=-(lo¹i)
0.75
VËy: Thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ:4 giê
 Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: 4+2 =6(giê)
0.25
7
VÏ h×nh vµ ghi gt, kl ®óng 
0.5
a) §­êng kÝnh ABMN (gt) I lµ trung ®iÓm cña MN (§­êng kÝnh vµ d©y cung)
0.5
IA=IC (gt) Tø gi¸c AMCN cã ®­¬ng chÐo AC vµ MN c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng vµ vu«ng gãc víi nhau nªn lµ h×nh thoi.
0.5
b) (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn t©m (O) )
BN AN.
AN// MC (c¹nh ®èi h×nh thoi AMCN).
BN MC (1)
(gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn t©m (O') )
BD MC (2)
Tõ (1) vµ (2) N,B,D th¼ng hµng do ®ã (3).
(v× ACMN) (4)
0.5
Tõ (3) vµ (4) N,I,D,C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh NC
 Tø gi¸c NIDC néi tiÕp
0.5
c) OBA. O'BC mµ BA vafBC lµ hai tia ®èi nhau B n»m gi÷a O vµ O' do ®ã ta cã OO'=OB + O'B ®­êng trßn (O) vµ ®­êng trßn (O') tiÕp xóc ngoµi t¹i B
0.5
MDN vu«ng t¹i D nªn trung tuyÕn DI =MN =MI MDI c©n .
T­¬ng tù ta cã mµ (v× )
0.25
 mµ 
do ®ã IDDO ID lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O').
0.25
Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a
§Ò 4
C©u1 : Cho biÓu thøc 
 A=Víi x¹;±1
 .a, Ruý gän biÓu thøc A
 .b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x=
 c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3
 C©u2.a, Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
 b. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
 <0
 C©u3. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)
C©u 4. Cho nöa ®­êng trßn t©m O , ®­êng kÝnh BC .§iÓm A thuéc nöa ®­êng trßn ®ã D­ng h×nh vu«ng ABCD thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB, kh«ng chøa ®Ønh C. Gäi Flµ giao ®iÓm cña Aevµ nöa ®­êng trßn (O) . Gäi Klµ giao ®iÓm cña CFvµ ED 
chøng minh r»ng 4 ®iÓm E,B,F,K. n»m trªn mét ®­êng trßn 
Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× sao. ? 
®¸p ¸n
C©u 1: a. Rót gän A=
b.Thay x= vµo A ta ®­îc A= 
c.A=3 x2-3x-2=0=> x=
C©u 2 : a)§Æt x-y=a ta ®­îc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4
Tõ ®ã ta cã
* (1)
 *(2)
Gi¶i hÖ (1) ta ®­îc x=3, y=2 
Gi¶i hÖ (2) ta ®­îc x=0, y=4 
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4
 Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) 
mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x 
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi x-5>0 =>x>5 
C©u 3: Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 
XÐt 2m-1¹0=> m¹ 1/2 khi ®ã ta cã
	= m2-2m+1= (m-1)2³0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m
ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) 
víi m¹ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x== 
pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0 
=>=>m<0 
VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0
C©u 4: 
a. Ta cã KEB= 900 
mÆt kh¸c BFC= 900( gãc néi tiÕp ch¾n n÷a ®­êng trßn)
do CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D 
=> BFK= 900 => E,F thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK
hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK.
b. BCF= BAF 
Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450
Ta cã BKF= BEF
Mµ BEF= BEA=450(EA lµ ®­êng chÐo cña h×nh vu«ng ABED)=> BKF=450
V× BKC= BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B
§Ò 5
Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = 
a,Rót gän P
b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.
b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n =50
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh:
a,Ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2.
b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O . H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A.
a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.
b, Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng.
c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt.
Bµi 5: Cho hai sè d­¬ng x; y tho¶  ... nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.
b/ 2x1+3x2=13
C©u 3T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh 
 mx-y=1
 m3x+(m2-1)y =2
v« nghiÖm, v« sè nghiÖm.
C©u 4: t×m max vµ min cña biÓu thøc: x2+3x+1
 x2+1
C©u 5: Tõ mét ®Ønh A cña h×nh vu«ng ABCD kÎ hai tia t¹o víi nhau mét gãc 450. Mét tia c¾t c¹nh BC t¹i E c¾t ®­êng chÐo BD t¹i P. Tia kia c¾t c¹nh CD t¹i F vµ c¾t ®­êng chÐo BD t¹i Q.
a/ Chøng minh r»ng 5 ®iÓm E, P, Q, F vµ C cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
b/ Chøng minh r»ng: SAEF=2SAQP
c/ KÎ trung trùc cña c¹nh CD c¾t AE t¹i M tÝnh sè ®o gãc MAB biÕt CPD=CM
h­íng dÉn 
C©u 1: a/ BiÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠2 vµ x>1
 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2 
 A= . ( )
 (x-2)2 x-1
 x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2
 = . = = 
 x-2 x-1 x-1 x-1 
b/ §Ó A nguyªn th× x- 1 lµ ­íc d­¬ng cña 1 vµ 2
* x- 1 =1 th× x=0 lo¹i
* x- 1 =2 th× x=5 
vËy víi x = 5 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn b»ng 1
C©u 2: Ta cã ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 ®Ó ph­¬ng tr×nhcã hai nghiÖmph©n biÖt khi vµchØ khi m≤-7-4 3 vµ m≥-7+4 3 (*) 
a/ Gi¶ sö x2>x1 ta cã hÖ x2-x1=1 (1)
 x1+x2=m+5 (2)
 x1x2 =-m+6 (3) 
Gi¶i hÖ ta®­îc m=0 vµ m=-14 tho· m·n (*) 
b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13(1’)
 x1+x2 = m+5(2’)
 x1x2 =-m+6 (3’) 
gi¶i hÖ ta ®­îc m=0 vµ m= 1 Tho¶ m·n (*)
C©u 3: *§Ó hÖ v« nghiÖm th× m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2
 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 
 3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2 
 ∀m
*HÖv« sè nghiÖm th×: m/m3=-1/(m2-1) =1/2
 3m3-m=-m3 m=0 
 3m2-1= -2 m=±1/2 
 V« nghiÖm 
 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó hÖ v« sè nghiÖm.
C©u 4: Hµm sè x¸c ®Þnh víi ∀x(v× x2+1≠0) x2+3x+1
gäi y0 lµ 1 gi¸ trÞcña hµmph­¬ng tr×nh: y0= 
 x2+1
 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm 
*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4
VËy: ymin=-2 vµ y max=4
C©u 5: ( Häc sinh tù vÏ h×nh)
Gi¶i
a/ A1 vµ B1 cïng nh×n ®o¹n QE d­íi mét gãc 450 
Þ tø gi¸c ABEQ néi tiÕp ®­îc. 
Þ FQE = ABE =1v. 
chøng minh t­¬ng tù ta cã FBE = 1v 
Þ Q, P, C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kinh EF.
b/ Tõ c©u a suy ra ∆AQE vu«ng c©n. 
Þ = (1)
t­¬ng tù ∆ APF còng vu«ng c©n 
Þ = (2)
tõ (1) vµ (2) Þ AQP ~ AEF (c.g.c) 
 = ( )2 hay SAEF = 2SAQP
c/ §Ó thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD 
ÞMCD= MPD=APD=CPD=CMD 
ÞMD=CD Þ ∆MCD ®Òu Þ MPD=600 
mµ MPD lµ gãc ngoµi cña ∆ABM ta cã APB=450 vËy MAB=600-450=150
§Ò 17
Bµi 1: Cho biÓu thøc M =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
T×m x ®Ó M = 5
T×m x Z ®Ó M Z.
bµi 2: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh
 3x2 +10 xy + 8y2 =96
 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3
Bµi 3: a. Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n + + = 4
Chøng ming r»ng: + + 
	b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (víi x ) 
Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. KÎ tia Ax, Ay sao cho = 45
Tia Ax c¾t CB vµ BD lÇn lît t¹i E vµ P, tia Ay c¾t CD vµ BD lÇn lît t¹i F vµ Q
Chøng minh 5 ®iÓm E; P; Q; F; C cïng n»m trªn mét ®êng trßn
S= 2 S
KÎ ®êng trung trùc cña CD c¾t AE t¹i M. TÝnh sè ®o gãc MAB biÕt = 
Bµi 5: (1®)
 Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: ; H·y tÝnh P = 
®¸p ¸n 
Bµi 1:M = 
 a.§K 0,5®
 Rót gän M =
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = M = 
 c. M = 
 Do M nªn lµ íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
 (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 
 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
 (x + 2y)(3x + 4y) = 96 
 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 
 mµ 96 = 25. 3 cã c¸c íc lµ: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 ®îc biÓu diÔn thµnh tÝch 2 thõa sè kh«ng nhá h¬n 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12
L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tæng 4x + 6y lµ sè ch¼n do ®ã
 HÖ PT nµy v« nghiÖm 
 HoÆc
 HoÆc HÖ PT v« nghiÖm
VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1)
 b. ta cã /A/ = /-A/ 
 Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ (1)
 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)
KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
 (3) s¶y ra khi vµ chØ khi
Bµi 3
Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô
Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã 
(a2y + b2x)(x + y)
a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy 
a2y2 + b2x2 2abxy
a2y2 – 2abxy + b2x2 0
(ay - bx)2 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0
DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay 
¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã 
T¬ng tù 
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
 V× 
Ta cã: 
V× (x - 2006)2 0 víi mäi x 
x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0 
Bµi 4a. néi tiÕp; = 900 à gãc AQE = 900 à gãcEQF = 900
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450
à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 à gãc APF = 900 à gãc EPF = 900 . 0,25®
C¸c ®iÓm Q, P,C lu«n nh×n díi 1gãc900 nªn 5 ®iÓm E, P, Q, F, C cïng n»m trªn 1 ®êng trßn ®êng kÝnh EF 0,25®
b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) gãc APQ = gãc AFE 
 Gãc AFE + gãc EPQ = 1800 
 àTam gi¸c APQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c AEF (g.g)
à 
gãc CPD = gãc CMD à tø gi¸c MPCD néi tiÕp à gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung MD)
L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC)
 gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)
à gãc CPD = gãcMDC = gãc CMD = gãcMCD à tam gi¸c MDC ®Òu à gãc CMD = 600
à tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM)
Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300
à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750
à gãcMAB = 900 – 750 = 150
Bµi 5§Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)
à x = -(y + z) 
à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3
§Ò 19
Bµi 1Cho biÓu thøc A = + 	 
a. Rót gän biÓu thøc A
b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho c¸c ®­êng th¼ng:
	y = x-2 (d1)
	y = 2x – 4 (d2)
	y = mx + (m+2) (d3)
a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®­êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m.
b. T×m m ®Ó ba ®­êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy .
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
	a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
	b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m.
	c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1))
Bµi 4: Cho ®­êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE.
	a. Chøng minh r»ng DE// BC
	b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
	c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F
	Chøng minh hÖ thøc: = + 
Bµi 5: Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 
®¸p ¸n 
Bµi 1: - §iÒu kiÖn : x 0	
a. Rót gän: 	
- Víi x <0: 	 
- Víi 0<x	2: 	 
- Víi x>2 : 
b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn:
A nguyªn x2 + 3 
 3 => x = 
Bµi 2:
	a. (d1) : y = mx + (m +2)
 m (x+1)+ (2-y) = 0 
	§Ó hµm sè lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m
	=.>	
	VËy N(-1; 2) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ (d3) ®i qua 
	b. Gäi M lµ giao ®iÓm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiÖm cña hÖ
	 => 
	VËy M (2; 0) .	
	NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3)
	Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= -
	VËy m = - th× (d1); (d2); (d3) ®ång quy 
Bµi 3: a. = m2 –3m + 4 = (m - )2 + >0 m.
	VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 
	b. Theo ViÐt: => 
	 x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m 
P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)
 = (2m - )2 + 
VËyPmin = víi m = 
Bµi 4: VÏ h×nh ®óng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
 a. S®CDE = S® DC = S® BD = 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b. APC = s® (AC - DC) = AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC
cïng nh×n ®oan AC) 
c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp
CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC)
Suy ra CPQ = CDE => DE// PQ
Ta cã: = (v× DE//PQ) (1)	
 = (v× DE// BC) (2)	 
Céng (1) vµ (2) : 
	=> (3)	 	 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 	 
Bµi 5:Ta cã: < < (1)
	 < < (2) 
 < < (3) 
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
 1 < + + < 2 
§Ò 20
Bµi 1: (2®)
Cho biÓu thøc:
 P = 
a) Rót gän P.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
Bµi 2: (2®) Mét ng­êi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®­êng khã ®i nªn ng­êi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i, v× thÕ ng­êi ®ã ®Õn B chËm h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ng­êi ®i xe ®¹p.
Bµi 3: (1,5®) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 3
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = 1
Bµi 4: (3®) Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. §iÓm M tuú ý trªn nöa ®­êng trßn. Gäi N vµ P lÇn l­ît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB. AP c¾t BN t¹i I.
a) TÝnh sè ®o gãc NIP.
b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. 
 Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®­îc.
c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn trßn t©m O
Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®­êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d)
T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é hai ®iÓm ®ã.
T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi. 
---------------------------------------------------
(Häc sinh kh«ng ®­îc sö dông bÊt cø tµi liÖu nµo)
§¸p ¸n 
M«n: To¸n 9
Bµi 1: (2®)
a) (1,5®)
- Thùc hiÖn ®­îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: 	0,75®
- Thùc hiÖn phÐp chia ®óng b»ng 	0,25®
- Thùc hiÖn phÐp céng ®óng b»ng: 	0,25®
- §iÒu kiÖn ®óng: x ³ 0; x ¹ 1	0,25®
b) (0,5®)
- ViÕt P = lËp luËn t×m ®­îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0 	0,5®
Bµi 2: (2®) 
1) LËp ph­¬ng tr×nh ®óng (1,25®)
- Gäi Èn, ®¬n vÞ, ®k ®óng	0,25®
- Thêi gian dù ®Þnh	0,25®
- Thêi gian thùc tÕ	0,5®
- LËp luËn viÕt ®­îc PT ®óng	0,25®
2) G¶i ph­¬ng tr×nh ®óng	0,5®
3) ®èi chiÕu kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi ®óng	0,25®
Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hÖ ®óng:	1®
 b) (0,5®)
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ®óng	0,25®
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n x + y = 1 vµ KL	0,25®
Bµi 4: (3®) VÏ h×nh ®óng 	0,25®
a) TÝnh ®­îc sè ®o gãc NIP = 1350	0,75®
b) (1®)
VÏ h×nh vµ C/m ®­îc gãc NDP = 900	0,5®
 	Chøng minh ®­îc tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®­îc.	0,5®
(1®) + C/m phÇn thuËn
 KÎ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®­îc gãc EJF = 450 	0,25®
 LËp luËn vµ kÕt luËn ®iÓm J:	0,25®
+ C/m phÇn ®¶o	0,25®
+ KÕt luËn quü tÝch	0,25®
Bµi 5: (1,5®) a) (1®)
T×m ®­îc ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt:	 	0,5®
T×m ®­îc to¹ ®é 2 ®iÓm A, B	0,5®
b) T×m ®­îc quü tÝch trung ®iÓm I: vµ kÕt luËn	0,5®
L­u ý: hai lÇn thiÒu gi¶i thÝch hoÆc ®¬n vÞ trõ 0,25®
Ii, 100 ®Ò tù «n