50 bài tập môn Hình học 9

Baøi 1: Cho DABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N.
Chöùng minh:BEDC noäi tieáp.
Chöùng minh: goùc DEA=ACB.
Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.
Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
Chöùng toû: AM2=AE.AB.
 Gôiï yù:
1.C/m BEDC noäi tieáp:
C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng.
Hinh1
2.C/m goùc DEA=ACB.
Do BECD ntÞDMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v
ÞAED=ACB
3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø ñöôøng thaúng xy (Hình 1)
 Ta phaûi c/m xy//DE.
 Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB=sñ cung AB.
Maø sñ ACB=sñ AB. Þgoùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt)
ÞxAB=AED hay xy//DE.
4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. 
Do xy//DE hay xy//MN maø OA^xyÞOA^MN.^OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)ÞDAMN caân ôû A ÞAO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
 5.C/m :AM2=AE.AB.
Do DAMN caân ôû A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgoùc MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung
 ÞDMAE ∽D BAMÞÞ MA2=AE.AB.
Baøi 2: 
Hinh2
 Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I.
 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?
 2.C/m DMBI noäi tieáp.
 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 Gôïi yù:
1.Do MA=MB vaø AB^DE taïi M neân ta coù DM=ME.
ÞADBE laø hình bình haønh.
Maø BD=BE(AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE) vaäy ADBE ;laø hình thoi.
2.C/m DMBI noäi tieáp.
BC laø ñöôøng kính,IÎ(O’) neân Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt)
ÞBID+DMB=2vÞñpcm. 
 3.C/m B;I;E thaúng haøng.
 Do AEBD laø hình thoi ÞBE//AD maø AD^DC (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do goùc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC ^B;I;E thaúng haøng.
 ·C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; DEID vuoâng ôû IÞMI laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ÞMI=MD.
 4. C/m MC.DB=MI.DC.
 haõy chöùng minh DMCI∽ DDCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén cung MI do DMBI noäi tieáp)
5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 -Ta coù DO’IC Caân Þgoùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ÞMIB=MDB (cuøng chaén cung MB) DBDE caân ôû B Þgoùc MDB=MEB .Do MECI noäi tieáp Þgoùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI)
Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vaäy MI ^O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) ÞMI laø tieáp tuyeán cuûa (O’).
 Baøi 3:
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S. 
C/m BADC noäi tieáp.
BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 Gôïi yù:
 1.C/m ABCD noäi tieáp:
C/m A vaø D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng..
Hinh3
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Haõy c/m AMEB noäi tieáp.
·Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM)
Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD)
Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD)
 ÞAEM=MED.
3.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB)
 -Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS)
 -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD)
 DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)
ÞGoùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
 Vaäy goùc ADB=SCAÞñpcm.
Baøi 4: 
Hinh4
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD caét (O) taïi S.
C/m ADCB noäi tieáp.
C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m: Goùc ASM=ACD.
Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy.
 Gôïi yù:
1.C/m ADCB noäi tieáp:
Haõy chöùng minh:
Goùc MDC=BDC=1v
Töø ñoù suy ra A vad D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Do ABCD noäi tieáp neân
 ÞABD=ACD (Cuøng chaén cung AD)
 ·Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD)
 ·Do MC laø ñöôøng kính;EÎ(O)ÞGoùc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM noäi tieápÞGoùc MEA=ABD. ÞGoùc MEA=MEDÞñpcm
3.C/m goùc ASM=ACD.
 Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD)
 Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vaäy Goùc A SM=ACD.
4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi 2)
5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy.
 Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng haøng.
 ·Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) vaø AC caét BD ôû MÞM laø tröïc taâm cuûa tam giaùc KBCÞKM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KM^BC.Maø ME^BC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng Þñpcm.
 Baøi 5:
Hinh5
 Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng ñöôøng kính AA’.
C/m AEDB noäi tieáp.
C/m DB.A’A=AD.A’C
C/m:DE^AC.
Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF.
 Gôïi yù:
1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm
 vôùi hai ñaàu ñoaïn AB)
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam
 giaùc vuoâng DBA vaø A’CA ñoàng daïng. 
3/ C/m DE^AC.
 Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE^AC.
4/C/m MD=ME=MF.
 ·Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB ÞMN//AC(Tính chaát ñöôøng trung bình)
Do DE^AC ÞMN^DE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây)ÞMN laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ÞME=MD.
 · Goïi I laø trung ñieåm AC.ÞMI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)
ÞA’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).
Do ADFC noäi tieáp ÞGoùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ÞGoùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1vÞMI^DF.Ñöôøng kính MI^daây cung DFÞMI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DFÞMD=MF. Vaäy MD=ME=MF.
Baøi 6: 
 Cho DABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE.
 1/C/m MFEC noäi tieáp.
 2/C/m BM.EF=BA.EM
 3/C/M DAMP∽DFMQ.
 4/C/m goùc PQM=90o. 
 Giaûi:
1/C/m MFEC noäi tieáp:
(Söû duïng hai ñieåm E;F cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng CM)
2/C/m BM.EF=BA.EM
 ·C/m:DEFM∽DABM:
Ta coù goùc ABM=ACM (Vì cuøng chaén cung AM)
 Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).
ÞGoùc ABM=FEM.(1)
Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).ÞGoùc AMB=FME.(2)
Töø (1)vaø(2) suy ra :DEFM∽DABM Þñpcm.
3/C/m DAMP∽DFMQ.
 Ta coù DEFM∽DABM (theo c/m treân)Þ maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø DEFM∽DABM)
Vaäy: DAMP∽DFMQ.
4/C/m goùc:PQM=90o.
 Do goùc AMP=FMQ ÞPMQ=AMF ÞDPQM∽DAFM Þgoùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1vÞMQP=1v(ñpcm).
Baøi 7:
 Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G.
C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy.
C/m DBFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.
C/m GEFB noäi tieáp.
Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F
1/C/m BGEC noäi tieáp:
-Söû duïng toång hai goùc ñoái
-I laø trung ñieåm GC.
2/·C/mDBFC vuoâng caân:
Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o
 (tính chaát hình vuoâng)
ÞGoùc BCF=45o.
Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Þñpcm.
·C/m F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBDC.ta C/m F caùch ñeàu caùc ñænh B;C;D
Do DBFC vuoâng caân neân BC=FC.
Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;
Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).ÞDBFE=DE FD ÞBF=FDÞBF=FC=FD.Þñpcm.
3/C/m GE FB noäi tieáp:
 Do DBFC vuoâng caân ôû F ÞCung BF=FC=90o. Þsñgoùc GBF=Sñ cung BF=.90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF)
Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)ÞGoùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2vÞ Goùc GBF+FEG=2v ÞGEFB noäi tieáp.
4/ C/m· C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ÞGoùc BFG=BEG maø BEG=1vÞBFG=1v.Do DBFG vuoâng caân ôû FÞGoùc BFC=1v.ÞGoùc BFG+CFB=2vÞG;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân :Do GBC=GDC=1vÞtaâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø FÞG naèn treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD. ·Deã daøng c/m ñöôïc Iº F.
Baøi 8:
Cho DABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm treân cung nhoû BC).
C/m BDCO noäi tieáp.
C/m: DC2=DE.DF.
Hinh8
C/m:DOIC noäi tieáp.
Chöùng toû I laø trung ñieåm FE.
1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai goùc ñoái)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung.
SñgoùcECD=sñ cung EC(Goùc giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây)
Sñ goùc E FC=sñ cung EC(Goùc noäi tieáp)Þgoùc ECD=DFC.
ÞDDCE ∽DDFCÞñpcm.
3/C/m DOIC noäi tieáp:
Ta coù: sñgoùc BAC=sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1)
Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau);OD chungÞDBOD=DCODÞGoùc BOD=COD
Þ2sñ goùcDOC=sñ cung BC Þsñgoùc DOC=sñcungBC (2)
Töø (1)vaø (2)ÞGoùc DOC=BAC.
Do DF//ABÞgoùc BAC=DIC(Ñoàng vò) ÞGoùc DOC=DICÞ Hai ñieåm O vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng nhauÞñpcm
4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:
Do DOIC noäi tieáp Þ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)
Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)ÞGoùc OID=1v hay OI^ID ÞOI^FE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EFÞI laø trung ñieåmEF.
Baøi 9:
 Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M¹A vaø M¹B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAN.
C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
C/m:NQ.NA=NH.NM
C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.
Hinh9
Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
 Giaûi:
1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
(Tuyø vaøo hình veõ ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:
-Cuøng laøm vôùi hai ñaøu moät goùc vuoâng.
 -Toång hai goùc ñoái.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xeùt hai Dvuoâng NQM vaø DNAH ñoàng daïng.
3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch:
Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân ôû M
Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vô ... 
Do CD laø phaân giaùc cuûa D CBNÞ(2)
Töø (1) vaø (2) ÞÞñpcm
3/C/M FE//BC:
Do BE laø phaân giaùc cuûa ABI vaø BE^AIÞBE laø ñöôøng trung tröïc cuûa AI.Töông töï CF laø phaân giaùc cuûa DACK vaø CF^AKÞCF laø ñöôøng trung tröïc cuûa AKÞ E laø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AI vaø AKÞ FE laø ñöôøng trung bình cuûa DAKIÞFE//KI hay EF//BC.
4/C/m ADIC nt:
DAI=DCIÞADIC noäi tieáp
Do AEDF ntÞDAE=DFE(cuøng chaén cung DE)
Do FE//BCÞEFD=DCI(so le)
Baøi 43:
 Cho DABC(A=1v);AB=15;AC=20(cuøng ñôn vò ño ñoä daøi).Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø (O’) ñöôøng kính AC.Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi ñieåm thöù hai D.
Chöùng toû D naèm treân BC.
Goïi M laø ñieåm chính giöõa cung nhoû DC.AM caét DC ôû E vaø caét (O) ôû N. C/m DE.AC=AE.MC
C/m AN=NE vaø O;N;O’ thaúng haøng.
Goïi I laø trung ñieåm MN.C/m goùc OIO’=90o.
Tính dieän tích tam giaùc AMC.
1/Chöùng toû:D naèm treân ñöôøng thaúng BC:Do ADB=1v;
ADC=1v(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) 
ÞADB+ADC=2vÞD;B;C thaúng haøng.
-Tính DB: Theo PiTaGo trong D vuoâng ABC coù: BC=.Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ABC coù: AD.BC=AB.ACÞAD=20.15:25=12
2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeùt hai tam giaùc ADE vaø AMC.Coù ADE=1v(cmt) vaø AMC=1v (goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn).Do cung MC=DB(gt)ÞDAE=MAC(2 goùc nt chaén 2 cung baèng nhau) ÞDDAE∽DMACÞ (1)ÞÑpcm.
3/C/m:AN=NE:
Do BA^AO’(DABC Vuoâng ôû A)ÞBA laø tt cuûa (O’)ÞsñBAE=sñ AM 
SñAED=sñ (MC+AD) maø cung MC=DMÞcung MC+AD=AM 
Þ AED =BAC ÞDBAE caân ôû B maø BM^AEÞNA=NE.
—C/m O;N;O’ thaúng haøng:ON laø ñöôøng TB cuûa DABEÞON//BE vaø OO’//BE
ÞO;N;O’ thaúng haøng.
4/Do OO’//BC vaø cung MC=MD ÞO’M^BCÞO’M^OO’ÞDNO’M vuoâng ôû O’ coù O’I laø trung tuyeán ÞDINO’ caân ôû IÞIO’M=INO’ maø INO’=ONA(ñ ñ);DOAN caân ôû OÞONA=OANÞOAI=IO’OÞOAO’I ntÞOAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v ÞOIO’=1v.
5/ Tính dieän tích DAMC.Ta coù SAMC=AM.MC .Ta coù BD=ÞDC=16
Ta laïi coù DA2=CD.BD=16.9ÞAD=12;BE=AB=15ÞDE=15-9=6ÞAE=
Töø(1) tính AM;MC roài tính S.
Baøi 44:
 Treân (O;R),ta laàn löôït ñaët theo moät chieàu,keå töø ñieåm A moät cung AB=60o, roài cung BC=90o vaø cung CD=120o.
C/m ABCD laø hình thang caân.
Chöùng toû AC^DB.
Tính caùc caïnh vaø caùc ñöôøng cheùo cuûa ABCD.
Goïi M;N laø trung ñieåm caùc caïnh DC vaø AB.Treân DA keùo daøi veà phía A laáy ñieåm P;PN caét DB taïi Q.C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc PMQ.
1/C/m:ABCD laø hình thang caân:Do cung BC=90o ÞBAC=45o 
(goùc nt baèng nöûa cung bò chaén).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120oÞ
AD=90o ÞACD=45o ÞBAC=ACD=45o.ÞAB//CD.
Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.Þ BCD=CDA. ÞABCD laø thang caân.
2/C/mAC^DB:
Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD.sñAID=sñ cung(AD+BC)=180o=90o.
ÞAC^DB.
3/Do cung AB=60oÞAOB=60oÞDAOB laø tam giaùc ñeàuÞAB=R.
Do cung BC=90o ÞBOC=90oÞ DBOC vuoâng caân ôû OÞBC=AD=RDo cung CD=120o ÞDOC=1200.MN^CDÞDOM=600Þsin 600=ÞDM=. ÞCD=2DM=R
-Tính AC:Do DAIB vuoâng caân ôû IÞ2IC2=AB2ÞIA=AB= Töông töï IC=; AC = DB=IA+IC =
4/PN caét CD taïi E;MQ caét AB taïi K;PM caét AB taïi J.
Vì NB=NA
 Þ 
—Do JN//ME Þ 
Do AN//DE Þ
—Do NI//ME Þ
 NB//ME Þ
ÞNI=NJ.Maø MN^AB(tc thang caân)ÞDJMI caân ôûp MÞMN laø phaân giaùc
Baøi45:
 Cho D ñeàu ABC coù caïnh baèng a.Goïi D laø giao ñieåm hai ñöôøng phaân giaùc goùc A vaø goùc B cuûa tam giaácBC.Töø D döïng tia Dx vuoâng goùc vôùi DB.Treân Dx laáy ñieåm E sao cho ED=DB(D vaø E naèm hai phía cuûa ñöôøng thaúng AB).Töø E keû EF^BC. Goïi O laø trung ñieåm EB.
C/m AEBC vaø EDFB noäi tieáp,xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc töù giaùc treân theo a.
Keùo daøi FE veà phía F,caét (D) taïi M.EC caét (O) ôû N.C/m EBMC laø thang caân.Tính dieän tích.
c/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DAC.
C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB.
Chöùng toû A;D;N thaúng haøng.
Tính dieän tích phaàn maët traêng ñöôïc taïo bôûi cung nhoû EB cuûa hai ñöôøng troøn.
 E A
 N 
 O —
 D
 B F C
 M
1/Do DABC laø tam giaùc ñeàu coù D laø giao ñieåm 2 ñöôøng phaân giaùc goùc A vaø BÞBD=DA=DC maø DB=DEÞA;B;E;C caùch ñeàu DÞAEBC nt trong (D).
Tính DB.Aùp duïng coâng thöùc tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñeàu ta coù: DB=
Do goùc EDB=EFB=1vÞEDFB noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giaùc vuoâng EDB coù:EB2=2ED2=2.( )2.
ÞEB=ÞOE=
2/C/m EBMC laø thang caân:
Goùc EDB=90o laø goùc ôû taâm (D) chaén cung EBÞCung EB=90oÞgoùc ECN=45o.ÞDEFC vuoâng caân ôû FÞFEC=45oÞMBC=45o(=MEC=45o) ÞEFC=CBM=45oÞBM//EC.Ta coù DFBM vuoâng caân ôû FÞBC=EM ÞEBMC laø thang caân.
Do EBMC laø thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùcÞSEBMC=BC.EM (BC=EM=a)ÞSEBMC=a2.
3/C/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DCA:
Ta coù ACB=60o;ECB=45oÞACE=15o.
Do BD;DC laø phaân giaùc cuûa Dñeàu ABC ÞDCB=ACD=30o vaø ECA=15o ÞECD=15o ÞECA=ECDÞEC laø phaân giaùc cuûa goùc ECA.
4/C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB:
Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45oÞBEF=DEC vaø DEC=DCE=15o.Maø BE F=BDF(cuøng chaén cung BF) vaø NED=NBD(cuøng chaén cung ND)ÞNBD=BDFÞBN//DF maø BN^EC(goùc nt chaén nöûa ñuôøng troøn (O) ÞDF ^EC.Do DC//BM(vì BMCE laø hình thang caân)ÞDF^BM nhömg DBFM vuoâng caân ôû FÞFD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB.
5/C/m:A;N;D thaúng haøng: Ta coù BND=BED=45o (cuøng chaén cung DB) vaø ENB=90o(cmt);ENA laø goùc ngoaøi DANCÞENA=NAC+CAN=45o
ÞENA+ENB+BND=180oÞA;N;D thaúng haøng.
6/Goïi dieän tích maët traêng caàn tính laø:S.
Ta coù: S =Snöûa (O)-S vieân phaân EDB
—S(O)=p.OE2=p.()2=ÞS(O)=
—S quaït EBD==
—SDEBD=DB2=
—Svieân phaân=S quaït EBD - SDEDB=-=
— S =-=.
Baøi 46:
 Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC.Goïi a laø moät ñieåm baát kyø treân nöûa ñöôøng troøn;BA keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy ôû F.Goïi D laø ñieåm chính giöõa cung AC;DB keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy taïi E.
C/m BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC vaø OD//AB.
C/m ADEF noäi tieáp.
Goïi I laø giao ñieåm BD vaø AC.Chöùng toû CI=CE vaø IA.IC=ID.IB.
C/m goùc AFD=AED
1/* C/mBD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC:Do cung AD=DC(gt)ÞABD=
DBC(hai goùc nt chaén hai cung baèng nhau)ÞBD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC.
*Do cung AD=DC Þgoùc AOD=DOC(2 cung baèng nhau thì hai goùc ôû taâm baèng nhau).
 F
 A
 D E
 I
 F
 A
 B O C
Hình 47
OD//BA
Hay OD laø phaân giaùc cuûa D caân AOCÞOD^AC.
Vì BAC laø goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn ÞBA^AC 
 2/C/m ADEF noäi tieáp:
ÞADB=AFE
 Do ADB=ACB(cuøng chaén cung AB)
 Do ACB=BFC(cuøng phuï vôùi goùc ABC) 
Maø ADB+ADE=2vÞAFE+ADE=2vÞADEF noäi tieáp.
3/C/m: *CI=CE:
Ta coù:sñ DCA=sñ cung AD(goùc nt chaén cung AD) Sñ ECD=sñ cung DC (goùc giöõa tt vaø 1 daây)
Maø cung AD=DCÞDCA=ECD hay CD laø phaân giaùc cuûa DICE.Nhöng CD^DB (goùc nt chaén nöûa ñt)ÞCD vöøa laø ñöôøng cao,vöøa laø phaân giaùc cuûa DICEÞDICE caân ôû CÞIC=CE.
*C/m DIAD∽DIBC(coù DAC=DBC cuøng chaén cung DC)
4/Töï c/m:
Baøi47:
 Cho nöûa ñtroøn (O);ñöôøng kính AD.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy hai ñieåm B vaø C sao cho cung AB<AC.AC caét BD ôû E.Keû EF^AD taïi F.
C/m:ABEF nt.
Chöùng toû DE.DB=DF.DA.
C/m:I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp DCJD.
Goïi I laø giao ñieåm BD vôùi CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
1/Söû duïng toång hai goùc ñoái.
2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xeùt hai tam giaùc vuoâng BDA vaø FDE coù goùc D chung.
ÞDBDA∽DFDEÞñpcm.
3/C/m IE laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DFBC:
Xem caâu 3 baøi 35.
4/ C/m: BI2=BF.BC-IF.IC
 C
 B
 E
 I M
 A F O D
Hình 47
Goïi M laø trung ñieåm ED.
*C/m:BCMF noäi tieáp: Vì FM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng FEDÞFM=EM=MD=EDÞCaùc tam giaùc FEM;MFD caân ôû MÞMFD=MDF vaø EM F=MFD+MDF=2MDF(goùc ngoaøi DMFD)
Vì CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCFÞ2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
ÞBMF=BCFÞBCMF noäi tieáp.
*Ta coù BFM∽DBIC vì FBM=CBI(BD laø phaân giaùc cuûa FBC-cmt) vaø BMF=BCI(cmt) ÞÞBF.BC=BM.BIu
*D IFM∽DIBC vì BIC=FIM(ññ).Do BCMF noäi tieápÞCFM=CBM(cuøng chaén cung CM)Þ ÞIC.IF=IM.IB v
Laáy utröøv veá theo veá
Þ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
Baøi 48:
 Cho (O) ñöôøng kính AB;P laø moät ñieåm di ñoäng treân cung AB sao cho PA<PB. Döïng hình vuoâng APQR vaøo phía trong ñöôøng troøn.Tia PR caét (O) taïi C.
C/m DACB vuoâng caân.
1/ C/mDABC vuoâng caân:
Ta coù ACB=1v(goùc nt chaén nöûa ñt) Vaø APB=1v ;Do APQR laø hvuoâng coù PC laø ñöôøng cheùo ÞPC laø pg cuûa goùc APBÞ cung AC=CB Þdaây AC=CB ÞDABC vuoâng caân.
2/C/m JANQ noäi tieáp:
Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQÞDPAJ=DQPJ
Þ goùc PAJ=PQJ maø JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2vÞ JAB+JQB=2vÞJQBA nt.
Veõ phaân giaùc AI cuûa goùc PAB(I naèm treân(O);AI caét PC taïi J.C/m 4 ñieåm J;A;Q;B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
Chöùng toû: CI.QJ=CJ.QP.
RR
 I
 P
 J Q
 B
— ÂO
 A 
 R
 C
Hình 48
3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
 Ta caàn chöùng minh DCIJ∽DQPJ vì AIC=APC(cuøng chaén cung AC) vaø APC=JPQ=45oÞJIC=QPJ
 Hôn nöõa PCI=IAP( cuøng chaén cung PI);IAP=PQJ(cmt)Þ PQJ=ICJ
4/
Baøi 49:
 Cho nöûa (O) ñöôøng kính AB=2R.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy ñieåm M sao cho cung AM<MB.Tieáp tuyeán vôùi nöûa ñöôøng troøn taïi M caét tt Ax vaø By laàn löôït ôû D vaø C.
Chöùng toû ADMO noäi tieáp.
Chöùng toû AD.BC=R2.
Ñöôøng thaúng DC caét ñöôøng thaúng AB taïi N;MO caét Ax ôû F;MB caét Ax ôû E. Chöùng minh:AMFN laø hình thang caân.
Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân nöûa ñöôøng troøn ñeå DE=EF
Hình 49
 F
 C
 E
 M
 D
 N A O B
1/C/m ADMO nt:Söû duïng toång hai goùc ñoái.
2/C/m: AD.BC=R2.
ßC/m:DOC vuoâng ôû O: Theo tính chaát hai tt caét nhau ta coù ADO=MDO ÞMOD=DOA.Töông töï MOC=COB.Maø : MOD+DOA+MOC+COB=2v
ÞAOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
ßAùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng DOC coù OM laø ñöôøng cao ta coù:DM.MC=OM2.Maø DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caét nhau) vaø OM=R Þñpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt caét nhau)vaø ADO=ODM ÞOD laø ñöôøng trung tröïc cuûa AM hay DO^AM. Vì FA^ON;NM^FO(t/c tt) vaø FA caét MN taïi D 
ÞD laø tröïc taâm cuûa DFNOÞDO^FN.Vaäy AM//FN.
Vì DOAM caân ôû OÞOAM=OMA.Do AM//FN ÞFNO=MAO vaø AMO=NFO ÞFNO=NFO vaäy FNAM laø thang caân.
4/Do DE=FE neân EM laø trung tuyeán cuûa D vuoâng FDMÞED=EM.u Vì DMA=DAM vaø DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vÞEDM=DEM hay DEDM caân ôû D hay DM=DEv.Töø uvaø vÞDEDM laø D ñeàu ÞODM=60oÞAOM=60o.Vaäy M naèm ôû vò trí sao cho cung AM=1/3 nöûa ñöôøng troøn.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 50:
 Cho hình vuoâng ABCD,E laø moät ñieåm thuoäc caïnh BC.Qua B keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi DE ,ñöôøng naøy caét caùc ñöôøng thaúng DE vaø DC theo thöù töï ôû H vaø K.
Chöùng minh:BHCD nt.
Tính goùc CHK.
C/m KC.KD=KH.KB.
Khi E di ñoäng treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng naøo?
1/ C/m BHCD nt(Söû duïng H vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng DB)
2/Tính goùc CHK:
Do BDCE nt ÞDBC=DHK(cuøng chaén cung DC) maø DBC=45o (tính chaát hình vuoâng)ÞDHC=45o maø DHK=1v(gt)ÞCHK=45o.
3/C/m KC.KD=KH.KB.
Chöùng minh hai tam giaùc vuoâng 
 A D
 B E C
 H
 K
Hình 50
KCB vaø KHD ñoàng daïng.
4/Do BHD=1v khoâng ñoåi ÞE di chuyeån treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng troøn ñöôøng kính DB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Heát phaàn I