Bài tập Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chương
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ thức lượng và đường cao§1
Tóm tắt lý thuyết1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Đặt AB = c, BC = a, CA = b, AH = h,
BH = c′, CH = b′. Khi đó ta có các hệ thức sau
 a2 = b2 + c2
 a · h = b · c
 a · b′ = b2
 a · c′ = c2
 b′ · c′ = h2

1
h2
=
1
a2
+
1
b2
.
A
B C
H
c
b′
b
h
c′
a
Các ví dụ2
b Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Tính BC, AH, BH, CH.
L Lời giải.
Ta có
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25⇒ BC = 5 cm.
AH ·BC = AB · AC ⇒ AH = AB · AC
BC
=
3 · 4
5
= 2,4 cm.
BH ·BC = AB2 ⇒ BH = AB
2
BC
=
32
5
= 1,8 cm.
CH = BC −BH = 3,2 cm.
A C
H
B
3
4

349
350
1. Hệ thức lượng và đường cao
b Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) biết
AB = a, BC = 2a. Tính theo a độ dài AC và AH.
L Lời giải.
Theo định lí Pitago, ta có BC2 = AB2 + AC2, suy ra
AC2 = BC2 − AB2 = (2a)2 − a2 = 3a2 ⇒ AC = a
√
3.
Lại có AH ·BC = AB · AC ⇒ AH = AB · AC
BC
=
a
√
3
2
.
A C
H
B
a
2a

b Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại có AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH. Gọi
E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. Tính diện tích tứ giác AEHF .
L Lời giải.
Tứ giác AEHF có ba góc A, E, F là góc vuông nên AEHF là
hình chữ nhật. Do đó SAEHF = AE · AF .
Ta có BC = 5 cm, AH = 2,4 cm, nên trong các tam giác vuông
AHB và AHC ta có
AE · AB = AH2 ⇒ AE = AH
2
AB
= 2,76 cm.
AF · AC = AH2 ⇒ AF = AH
2
AC
= 1,44 cm.
A
E
C
F
H
B
3
4
Suy ra SAEHF = 2,76 · 1,44 = 3,9744 cm2. 
b Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 25 cm, CH =
144 cm. Tính AB, AC, BC, AH.
L Lời giải.
Ta có
BC = BH +HC = 25 + 144 = 169 cm.
AB2 = BH ·BC = 25 · 169⇒ AB = 65 cm.
AC2 = CH · CB = 144 · 169⇒ AC = 156 cm.
AH=BH · CH = 25 · 144⇒ AH = 60 cm. A C
H
B
25
144

b Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 25
13
cm, AH =
60
13
cm. Tính AB, AC, BC, CH.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
351
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta có
BH · CH = AH2 ⇒ CH = AH
2
BH
=
144
13
cm.
BC = BH + CH = 13 cm.
AB2 = BH2 + CH2 =
652
132
⇒ AB = 65
13
cm.
AC2 = CH · CB = 144⇒ AC = 12 cm. A C
H
B
25
13
60
13

b Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH = 12
5
cm và 4AB = 3BC.
Tính AB, AC, BC, AH, CH.
L Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra AB =
3
4
BC.
Mặt khác, ta có
1
BH2
=
1
BA2
+
1
BC2
. Suy ra
25
144
=
16
9BC2
+
1
BC2
=
25
9BC2
⇒ BC2 = 16⇒ BC = 4 cm.
Suy ra BA = 3 cm. Từ đây, ta tìm được AC = 5 cm, AH = 1,8 cm,
CH = 3,2 cm.
B C
H
A
12
5

b Ví dụ 7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2√5 cm. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD, DC và I là giao điểm của AN và BM .
1. Chứng minh rằng AN vuông góc với MB.
2. Tính AI, MI.
3. Tính diện tích tứ giác BINC.
L Lời giải.
1.
Xét hai tam giác ADN và BAM có Â = “D = 90◦, AD = AB,
DN = AM . Suy ra 4ADN = 4BAM (c-g-c), do đó
D̂AN = ÂBM . Suy ra
M̂AI + ÂMI = D̂AN + ÂMB = ÂBM + ÂMB = 90◦.
Từ đây, ta có AN ⊥ BM.
A
D
M
C
B
N
I
2. Ta có BM2 = AM2 + AB2 = 5 + 20 = 25⇒ BM = 5 cm.
Suy ra MI =
AM2
MB
= 1 cm, AI2 = AM2 −MI2 = 5− 1 = 4⇒ AI = 2 cm.
3. Ta có SBCNI = SBCN + SBIN =
1
2
(BI · IN +BC · CN) = 11 cm2.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
352
1. Hệ thức lượng và đường cao

b Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 5 cm, đường cao AH = 12
5
cm. Tính
BH, CH.
L Lời giải.
Giả sử BH ≥ CH. Ta có BH +HC = BC = 5. (1)
Mặt khác BH ·CH = AH2 = 144
25
. Từ (1) ta có (BH+CH)2 = 25,
suy ra
BH2 + 2BH · CH + CH2 = 25⇒ BH2 + CH2 = 25− 288
25
=
337
25
.
A C
H
B
12
5
Do đó
(BH − CH)2 = BH2 − 2BH · CH + CH2 = 337
25
− 288
25
=
49
25
.
Suy ra BH − CH = 7
5
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
BH =
(BH + CH) + (BH − CH)
2
=
16
5
cm, CH = BC −BH = 9
5
cm.

b Ví dụ 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM vuông góc với AB tại
M . Chứng minh rằng BM =
AB3
BC2
.
L Lời giải.
Trong tam giác vuông AHB ta có BM · BA = BH2, suy ra
BM =
BH2
AB
.
Mặt khác, trong tam giác vuông ABC, ta có BH · BC = AB2,
hay BH =
AB2
BC
. Do đó
BM =
AB4
AB ·BC2 =
AB3
BC2
.
Vậy bài toán được chứng minh.
A
M
C
H
B

b Ví dụ 10. Cho hình vuông ABCD, I là điểm thay đổi trên cạnh AB (I khác A và B).
Đường thẳng DI cắt BC tại K. Chứng minh rằng
1
DI2
+
1
DK2
không đổi.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
353
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI, cắt BC tại H.
Xét hai tam giác ADI và CDH có Â = Ĉ = 90◦, AD = DC,
ÂDI = ĈDH (cùng phụ với góc ĈDI). Suy ra 4ADI = 4CDH
(g-c-g), do đó DI = DH. Suy ra
1
DI2
+
1
DK2
=
1
DH2
+
1
DK2
=
1
DC2
.
Từ đó, ta có đpcm.
A
D
K
H
B
C
I

b Ví dụ 11. Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ BM vuông góc với AC.
Chứng minh rằng
AM
MC
= 2
Å
AB
BC
ã2
− 1.
L Lời giải.
Gọi D là điểm đối xứng với C qua A, khi đó AB = AD = AC
nên tam giác BCD vuông tại B và có đường cao BM .
Suy ra CM · CD = BC2 ⇒ CM · 2AC = BC2, suy ra
2
Å
AC
BC
ã2
=
AC
CM
= 1 +
AM
CM
. Mà AB = AC, nên ta có
2
Å
AB
BC
ã2
− 1 = AM
CM
.
Vậy bài toán được chứng minh.
B
D
C
M
A

Luyện tập3
} Bài 1. Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH, cạnh góc vuông AC = 60 cm, cạnh huyền
BC = 100 cm. Tính chu vi tam giác ABC, ABH, ACH.
L Lời giải.
Xét tam giác vuông ABC có AB =
√
BC2 − AC2 = 80 cm.
 AH =
AB · AC
BC
=
60 · 80
100
= 48 cm.
 BH =
AB2
BC
= 64 cm, CH = BC −BH = 36 cm.
A
B CH
 Chu vi tam giác ABC là AB +BC + CA = 240 cm.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
354
1. Hệ thức lượng và đường cao
 Chu vi tam giác ABH là AB + AH +HB = 192 cm.
 Chu vi tam giác ACH là AC + AH +HC = 144 cm.

} Bài 2. Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5 cm và 12 cm. Tìm cạnh huyền và
các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
L Lời giải.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC ta có
BC =
√
AB2 + AC2 = 13 cm.
Các hình chiếu của các cạnh lên cạnh huyền là
 BH =
AB2
BC
=
52
13
=
25
13
cm.
 CH = BC − CH = 13− 25
13
=
144
13
cm.
A
B CH

} Bài 3. Tìm các cạnh của tam giác vuông, biết đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền theo thứ tự là 4 cm và 5 cm.
L Lời giải.
Vì AM là trung tuyến của 4ABC vuông tại A nên
AM = MC = MB = 5 cm⇒ BC = 2MA = 10 cm.
Xét 4AHM có HM = √AM2 − AH2 = 3 cm. Suy ra
BH = MB −HM = 2 cm, HC = HM +MC = 8 cm.
Xét tam giác vuông ABC có
 AB2 = BH ·BC = 20⇒ AB = 2√5 cm.
 AC2 = CH · CB = 80⇒ AC = 4√5 cm.
A
B CH M
4 cm
5 cm

} Bài 4. Tìm các cạnh của tam giác vuông, biết đường cao ứng với cạnh huyền là 4 cm, diện
tích tam giác vuông bằng 20 cm2.
L Lời giải.
Giả sử tam giác đó là 4ABC có đường cao AH.
Ta có BC =
2SABC
AH
=
2 · 20
4
= 10 cm.
Đặt BH = x (x > 0). Ta có
AH2 = BH · CH ⇔ 16 = x · (10− x)
⇔ x2 − 10x+ 16 = 0
⇔
ñ
x = 2
x = 8.
A
B CH
x
Khi BH = 2 cm: AB2 = BH ·BC = 2 · 10⇒ AB = 2√5 cm; AC = √BC2 − AB2 = 4√5 cm.
Khi BH = 8 cm: AB2 = BH ·BC = 8 · 10⇒ AB = 4√5 cm; AC = √BC2 − AB2 = 2√5 cm.
Khi đó ba cạnh của tam giác là 2
√
5 cm, 4
√
5 cm và 10 cm. 
Giáo viên: ....................................
355
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
} Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 6 cm và HC −HB = 9
cm. Tính HB, HC.
L Lời giải.
Đặt BH = x⇒ CH = 9 + x với x > 0.
Ta có
AH2 = BH ·HC ⇔ x(9 + x) = 36
⇔ x2 + 9x− 36 = 0
⇔
ñ
x = −9
x = 3.
A
B CH
x
Vậy HB = 3 cm, HC = HB + 9 = 12 cm. 
} Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB
AC
=
3
4
, đường cao AH = 18 cm. Tính chu vi tam
giác ABC.
L Lời giải.
Đặt AB = 3x⇒ AC = 4x với x > 0. Suy ra BC = √AB2 + AC2 = 5x.
Ta có
1
AH2
=
1
AB2
+
1
AC2
⇒ AH = AB · AC√
AB2 + AC2
=
12x
5
⇒ x = 15
2
cm.
Chu vi tam giác ABC bằng AB +BC + CA = 12x = 90 cm. 
} Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC và đường cao AH. Tính AB, AC biết
AH = 6 cm và diện tích tam giác ABC bằng 37,5 cm2.
L Lời giải.
Giả sử tam giác đó là 4ABC có đường cao AH.
Ta có BC =
2SABC
AH
=
2 · 37,5
6
= 12,5 cm.
Đặt BH = x (x > 0). Ta có
AH2 = BH · CH ⇔ 36 = x · (12, 5− x)
⇔ x2 − 12, 5x+ 36 = 0
⇔
x = 92
x = 8.
A
B CH
x
Khi BH =
9
2
cm: AB2 = BH ·BC = 9
2
· 12,5⇒ AB = 15
2
cm; AC =
√
BC2 − AB2 = 10 cm.
Khi BH = 8 cm: AB2 = BH ·BC = 8 · 12,5⇒ AB = 10 cm; AC = √BC2 − AB2 = 7,5 cm.
Khi đó là ba cạnh của tam giác là AB = 7,5 cm, AC = 10 cm và BC = 12,5 cm. 
} Bài 8. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O.
Biết AB = 2
√
13, OA = 6. Tính diện tích hình thang.
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
356
1. Hệ thức lượng và đường cao
Xét 4OAB vuông tại O, ta có:
OB =
√
AB2 −OA2 =
À
2
√
13
ä2 − 62 = 4.
Xét 4ABD vuông tại A, đường cao AO ta có:
 AB2 = BD ·OB⇒ BD = AB
2
OB
=
Ä
2
√
13
ä2
4
= 13.
 AD =
√
BD2 − AB2 =
√
132 −
Ä
2
√
13
ä2
= 3
√
13.
 Ta có OD = BD −OB = 13− 4 = 9.
A B
CD
O
2
√
13
6
Xét 4ADC vuông tại D ta có: AD2 = OA · AC ⇒ AC = AD
2
OA
=
AD2
OA
=
Ä
3
√
13
ä2
6
= 19,5.
Mà AD ·DC = OD · AC ⇒ DC = OD · AC
AD
=
9 · 19,5
3
√
13
=
9
√
13
2
.
Vậy SABCD =
1
2
AD · (AB +DC) = 126,75 (đvdt) 
} Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, cạnh bên AC = 30, HB = 32. Tính
độ dài AH, HC, AB.
L Lời giải.
Đặt HC = x (x > 0). Xét 4ABC vuông tại A, đường cao AH
ta có
AH2 = HC ·HB ⇔ 302 = x · (x+ 32)
⇔ (x− 18)(x+ 50) = 0
⇔
ñ
x = 18 (nhận)
x = −50 (loại)
C
H
BA
30
32
Xét 4AHC vuông tại H ta có AH = √AC2 −HC2 = 24.
Xét 4ABC vuông tại A ta có AB2 = HB ·BC = 32 · (32 + 18) = 40. 
} Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 60 cm, AD = 32 cm. Từ D kẻ đường
thẳng vuông góc với đường chéo AC. Đường này cắt AC tại E và AB tại F . Tính độ dài các đoạn
EA, EC, ED, FB, FD.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
357
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét tam giác vuông ADC ta có
EA =
AD2
AC
=
AD2√
AD2 + CD2
=
322√
322 + 602
=
256
17
cm.
EC =
CD2
AC
=
602√
322 + 602
=
900
17
cm.
Xét tam giác vuông ADE có
ED =
√
EA · EC =
322 · 602
322 + 602
=
480
17
cm.
FD =
AD2
ED
=
322
32 · 60
68
=
544
15
cm.
AF =
√
FD2 − AD2 =
322 · 682
602
− 322 = 256
15
cm.
FB = AB − AF = 60− 256
15
= −−644
15
cm.
B
C
A
D
F
E

} Bài 11. Tính diện tích hình thang ABCD, có đường cao bằng 12 cm, hai đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau, DB = 15 cm.
L Lời giải.
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E.
Gọi BH là đường cao của hì ... ra
AO =
AB · AD
BD
=
9 · 12
15
= 7,2 cm. Do đó DO =
√
AD2 − AO2 = 9,6 cm. Mặt khác,
AD2 = AO · AC nên AC = AD
2
AO
= 20 cm.
iii) Kẻ OK vuông góc với DC tại K. Ta có DH = AB = 9 cm; DC =
√
AC2 − AD2 = 16 cm;
DK =
DO2
DC
= 5,76 cm và OK =
√
DO2 −DK2 = 7,68 cm.
Từ đó suy ra SDOH =
OK ·DH
2
=
7,68 · 9
2
= 34,56 cm2.
b) Xét 4BAD và 4ADC có B̂AD = ÂDC = 90◦, ÂBD = D̂AC (cùng phụ với ÔAB) nên
4BAD v 4ADC (g.g). Do đó AD2 = AB · CD. Hơn nữa, BH = AD (do tứ giác ABHD
là hình chữ nhật) nên BH2 = AB · CD.

Đề số 2B (Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà)4
4.1 Trắc nghiệm
Chọn câu trả lời đúng trong mỗi câu sau
} Bài 15. Tam giác MNP vuông tại M thì sinN bằng
A
MP
NP
. B
MP
MN
. C
MN
NP
. D
NP
MN
.
L Lời giải.
Tam giác MNP vuông tại M , cạnh huyền NP , MP là cạnh đối diện với
góc “N nên ta có sinN = MP
NP
.
M
N P
Chọn đáp án A 
} Bài 16. Một cột đèn có bóng dài trên mặt đất là 7,5 m. Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất
một góc xấp xỉ bằng 42◦. Chiều cao của cột đèn (làm tròn đến hàng phần mười) là
A 7 m. B 6 m. C 6,7 m. D 6,8 m.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
418
5. Đề kiểm tra 45 phút
L Lời giải.
Coi cột đèn là cạnh AB, bóng của nó trên mặt đất là cạnh AC thì
tam giác ABC vuông tại A và góc Ĉ = 42◦ (như hình vẽ).
Chiều cao của cột đèn là
AB = AC · tanC = 7,5 · tan 42◦ ≈ 6,8 (m).
42
◦
A
B
C
Chọn đáp án D 
} Bài 17. Với α là góc nhọn, khẳng định nào sau đây là sai?
A 0 < cosα < 1. B cos2 α = 1 + sin2 α.
C cotα =
1
tanα
. D cosα = sin (90◦ − α).
L Lời giải.
Không làm mất tính tổng quát coi α là góc nhọn Ĉ của tam giác vuông
ABC (như hình vẽ) ta luôn có
1. 0 < cosα =
AB
BC
< 1 vì 0 < AB < BC;
2. cotα =
AC
AB
=
1
AB
AC
=
1
tanα
;
3. cosα = cosC =
AC
BC
= sinB = sin (90◦ − α);
4. cos2 α + sin2 α =
AC2
BC2
+
AB2
BC2
=
AC2 + AB2
BC2
=
BC2
BC2
= 1.
α
A
B
C
Chọn đáp án B 
} Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao. Cho biết AB = 9, BC = 15.
Khi đó độ dài AH bằng
A 6,5. B 7,2. C 7,5. D 7,7.
L Lời giải.
Ta có AC2 = BC2 − AC2 = 152 − 92 = 144⇒ AC = 12.
AH ·BC = AB · AC ⇒ AH = AB · AC
BC
=
12 · 9
15
= 7,2.
A
B CH
Chọn đáp án B 
} Bài 19. Cho cosα = 2
3
với 0◦ < α < 90◦. Khi đó sinα bằng
A
√
5
3
. B
4
3
. C
3
4
. D
√
3
5
.
Giáo viên: ....................................
419
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
L Lời giải.
Vì 0◦ 0.
Lại có cos2 α + sin2 α = 1⇒ sin2 α = 1− cos2 α = 1−
Å
2
3
ã2
=
5
9
⇒ sinα =
√
5
3
.
Chọn đáp án A 
} Bài 20. Cho sinα = 3
5
với 0◦ < α < 90◦. Khi đó tanα bằng
A
4
5
. B
3
5
. C
4
3
. D
3
4
.
L Lời giải.
Vì 0◦ 0, cosα > 0. Ta có
1 + tan2 α =
1
cos2 α
⇒ tan2 α = 1
cos2 α
− 1
=
1
1− sin2 α − 1 =
1
1−
Å
3
5
ã2 − 1 = 916
⇒ tanα = 3
4
.
Chọn đáp án D 
} Bài 21. Biểu thức cos4 α + cos2 α · sin2 α + sin2 α bằng
A cos2 α. B sin2 α. C 1. D 2.
L Lời giải.
Ta có
cos4 α + cos2 α · sin2 α + sin4 α
= cos2 α
(
cos2 α + sin2 α
)
+ sin2 α
= cos2 α + sin2 α
= 1.
Chọn đáp án C 
} Bài 22. Một chiếc thang dài 3,5 m đặt dựa vào tường, góc “an toàn” giữa chân thang và mặt
đất để thang không đổ khi người leo lên là 60◦. Khoảng cách “an toàn” từ chân tường đến chân
thang là
A 1 m. B 0,5 m. C 2 m. D 1,75 m.
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
420
5. Đề kiểm tra 45 phút
Coi chân tường, chân thang và ngọn thang lần lượt là điểm
A, B và C (như hình vẽ). Khi đó tam giác ABC là tam giác
vuông tại A có BC = 3,5 m, góc “an toàn” là góc ÂBC = 60◦.
Vậy khoảng cách “an toàn” là
AB = BC · cosB = 3,5 · cos 60◦ = 1,75 m.
3, 5
60
◦
A B
C
Chọn đáp án D 
4.2 Tự luận
} Bài 23. Dựng góc nhọn α, biết cosα = 2
3
L Lời giải.
Dựng tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 3, vẽ cạnh góc
vuông AC có độ dài bằng 2. Khi đó góc kề với AC là góc Ĉ = α cần
dựng (hình bên).
Thật vậy, từ cách dựng trên ta có cosα = cosC =
AC
BC
=
2
3
.
α
2
3
A
B
C

} Bài 24. Cho tam giác KQP có KQ = 5 cm, KP = 12 cm và QP = 13 cm. Đường cao KH
(H thuộc PQ).
1. Chứng minh tam giác KQP vuông.
2. Tính góc Q, góc P và độ dài KH, PH.
3. Lấy điểm O bất kỳ trên cạnh QP (O khác P , Q). Gọi hình chiếu của O trên KP , KQ lần
lượt là A và B. Chứng minh AB = KO. Điểm O ở vị trí nào thì AB là ngắn nhất.
L Lời giải.
1. Ta có PK2 +QK2 = 169 = PQ2, suy ra tam giác KQP vuông tại K.
2. Ta có
Giáo viên: ....................................
421
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
sin P̂QK =
PK
PQ
=
12
13
⇒ P̂QK ≈ 67◦22′
⇒ K̂PQ = 90◦ − 67◦22′ = 22◦38′.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác KPQ, đường cao
KH, ta có
KH · PQ = KP ·KQ⇒ KH = 60
13
cm.
PK2 = PH · PQ⇒ PH = PK
2
PQ
=
144
13
cm.
K A
P
Q
O
H
B
3. Tứ giác AKBO có ÂKB = K̂AO = K̂BO = 90◦ ⇒ AKBO là hình chữ nhật
⇒ AB = KO.
Ta thấy AB = OK ≥ KH (vì KH ⊥ PQ) ⇒ ABmin = OK = KH ⇔ O ≡ H. Vậy AB
ngắn nhất khi điểm O trùng với điểm H.

} Bài 25. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Chứng minh
SADE = SABC · cos2A.
L Lời giải.
Ta có 4ABD ∼ 4ACE (g.g) ⇒ AD
AB
=
AE
AC
.
Kẻ đường cao DH của tam giác ADE
⇒4ADH ∼ 4ABD (chung góc Â) nên ta có DH
BD
=
AD
AB
⇒ SADE
SABC
=
1
2
DH · AE
1
2
BD · AC
=
DH
BD
· AE
AC
=
AE
AC
· AE
AC
=
Å
AE
AC
ã2
.
A
B C
E
H
D
Mà trong 4ACE có AE
AC
= cosA⇒ SADE
SABC
= cos2A⇒ SADE = SABC · cos2A. 
Đề số 3A (Tự luận dành cho học sinh giỏi)5
} Bài 1. Tính diện tích của một tam giác vuông có chu vi 144 cm, biết hiệu giữa đường trung
tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 14 cm.
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
422
5. Đề kiểm tra 45 phút
B H M C
A
Vẽ tam giác ABC vuông tại A, có góc “B > Ĉ. Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM với H,M
thuộc BC. Từ đó suy ra H nằm giữa B và M . Đặt AM = x, ta có BC = 2x, AH = x − 14
(x > 14). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AB2 + AC2 = BC2 = 4x2; AB · AC =
BC · AH = 2x(x− 14). Suy ra
AB2 + AC2 + 2AB · AC = 4x2 + 4x(x− 14)
⇔(AB + AC)2 = 8x2 − 56x
⇔(144− 2x)2 = 8x2 − 56x
⇔
ñ
x = 32
x = −162 (loại)
Khi đó, BC = 64 cm, AH = 18 cm và SABC = 567 cm
2. 
} Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 20 cm, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là
hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB,AC. Tính chu vi tam giác ABC sao cho diện tích
tứ giác ADHE lớn nhất.
L Lời giải.
B H C
A
E
D
Ta có
HD
AC
=
HB
BC
và
HE
AB
=
HC
BC
suy ra
HD
AC
· HE
AB
=
HB ·HC
BC2
=
AH2
BC2
⇒SADHE = (AB · AC)
3
BC4
6 (AB
2 + AC2)3
8BC4
⇒SADHE 6 25.
Vậy diện tích tứ giác ADHE lớn nhất bằng 25 cm2 khi tam giác ABC vuông cân và có chu vi
20 + 20
√
2 cm. 
} Bài 3. Cho tam giác ABC có Â = 60◦, AB = 56 cm, AC = 70 cm. Tính độ dài cạnh BC.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
423
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A
B C
H
Kẻ BH ⊥ AC. Ta có AH = 1
2
· AB = 28, BH = AB sin 60◦ = 28√3.
Suy ra HC = AC −AH = 70− 28 = 42, BC2 = BH2 +HC2 = 4116. Vậy BC = 14√21 cm. 
} Bài 4. Tam giác ABC có BC = 40 cm, đường phân giác AD dài 45 cm, đường cao AH dài
36 cm. Tính các độ dài BD và DC.
L Lời giải.
A
B CH DE
Đặt BD = x, DC = y. Giả sử x < y. Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có HD =
√
AD2 − AH2 = 27.
Dựng phân giác ngoài của góc ngoài tại A, cắt BC tại E. Ta có AE ⊥ AD nên AD2 = DE ·DH.
Suy ra DE =
AD2
DH
=
452
27
= 75 (cm). Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài
DB
DC
=
EB
EC
⇒ x
y
=
75− x
75 + y
. (1)
Mặt khác
x+ y = 40. (2)
Từ (1) và (2) ta có
x2 − 115x+ 1500 = 0⇔
ñ
x = 15
x = 100.
Do x < 40 nên x = 15, khi đó y = 25. Vậy DB = 15 cm và DC = 25 cm. 
Đề số 3B (Tự luận dành cho học sinh giỏi)6
} Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
AB, AC. Chứng minh rằng
1.
EB
FC
=
Å
AB
AC
ã3
.
2. BC ·BE · CF = AH3.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
424
5. Đề kiểm tra 45 phút
L Lời giải.
A
B
E
C
F
H
1. Xét tam giác vuông AHB, đường cao HE có
BH2 = BA ·BE (1.1)
Xét tam giác vuông AHC, đường cao HF có
CH2 = CA · CF (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra Å
BH
CH
ã2
=
AB
AC
· BE
CF
(1.3)
Lại xét tam giác vuông ABC, đường cao AH có®
AB2 = BH ·BC
AC2 = CH ·BC ⇒
BH
CH
=
Å
AB
AC
ã2
(1.4)
Do đó, từ (1.3) và (1.4) suy ra
AB
AC
· BE
CF
=
Å
AB
AC
ã4
⇔ BE
CF
=
Å
AB
AC
ã3
.
2. Ta có 4ABC v 4EBH ⇒ BE
BA
=
BH
BC
⇔ BE = BH ·BA
BC
.
Mà BH ·BC = AB2 ⇒ BH = AB
2
BC
⇒ BE = AB
3
BC2
. Tương tự ta có CF =
AC3
BC2
.
Mà AB · AC = AH ·BC ⇒ AH = AB · AC
BC
. Suy ra
BC ·BE · CF = AB
3
BC2
· AC
3
BC2
·BC =
Å
AB · AC
BC
ã3
= AH3.

} Bài 2. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10, AH là đường cao, AH = AB, đường
chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
425
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A B
CHD
Gọi độ dài đường cao là AH = x. Suy ra
HD =
10− x
2
⇒ AD2 = HD2 + AH2 =
Å
10− x
2
ã2
+ x2. (1.5)
Mặt khác, do tam giác DAC vuông tại A nên
AD2 = DH ·DC = 10
Å
10− x
2
ã
= 5 (10− x) . (1.6)
Từ (1.5) và (1.6) suy raÅ
10− x
2
ã2
+ x2 = 5 (10− x)⇔ 5x2 = 100⇔ x = 2
√
5.
Vậy đường cao AH có độ dài 2
√
5. 
} Bài 3. Một bể nước có thành cao 80 cm, mực nước đo được trong bể cao 60 cm. Ánh sáng
mặt trời chiếu lệch một góc 30◦ so với về mặt nước. Biết khi chiếu tia sáng với góc tới i thì qua
mặt nước sẽ có góc khúc xạ r tính theo công thức
sin i
sin r
=
4
3
(tia sáng như hình vẽ). Tính độ dài
bóng của thành hồ in dưới đáy bể.
r
i
L Lời giải.
D
O
r
60◦
E
A B C
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
426
5. Đề kiểm tra 45 phút
Ta có độ dài bóng cần tính bằng AB +BC. Mà
AB = DO =
DE
tan 30◦
=
20
tan 30◦
= 20
√
3.
Mặt khác
sin i
sin r
=
4
3
⇔ sin 60
◦
sin r
=
4
3
⇔ sin r = 3
√
3
8
⇒ tan2 r = 1
sin2 r
− 1 = 64
27
− 1 = 37
27
⇒ tan r =
37
27
.
Do đó
BC = BF tan r = AD tan r = 60
37
27
=
20
√
111
3
.
Suy ra chiều dài bóng cần tính là
AB +BC = 20
√
3 +
20
√
111
3
=
60
√
3 + 20
√
111
3
.

} Bài 4. Cho tam giác 4ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng
tanB · tanC = 2.
L Lời giải.
Xét tam giác vuông ABD, ta có
tanB =
AD
BD
=
2DH
BD
. (1.7)
Kẻ đường cao BE. Xét tam giác vuông ABE, có
tanC =
BE
CE
. (1.8)
Xét 4BHD và 4BCE có®
B chung
E = D = 90◦
⇒4BHD v 4BCE ⇒ BD
DH
=
BE
CE
.
(1.9)
Do đó, từ (1.7), (1.8) và (1.9) suy ra
tanB · tanC = 2DH
BD
· BD
DH
= 2.
A
B
H
C
E
D

Giáo viên: ....................................